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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2017京都薬科大　数学１



第1問

　　次の　　　 に当てはまる数または式を解答欄に記入せよ。

　(1) xの2次不等式x2+(k+2)x-(k2-5k+2)＞0の解がすべての実数である
　　　 ような定数kの値の範囲は、　ア　 ＜k＜　イ　 である。

　(2) 白、赤、青の3個のさいころを同時に投げるとき、3個の目の積が奇数に
　　　 なるのは　ウ　 とおりで、偶数になるのは　エ　 とおりである。また、
　　　 3個の和が奇数になるのは　オ　 とおりで、偶数になるのは　カ　 とお
　　　 りである。

　(3) 空間に3点A(2，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)をとるとき、三角形ABC
　　　 の面積は　キ　 である。また、空間の原点Oから平面ABCへ下した垂線
　　　 の長さは　ク　 である。

　(4) log102=a、log103=bのとき、次の値をaとbで表せ。
　　　　　log1012=　ケ　 、　log23=　コ　 、　log245=　サ　

　(5) 0≦$\small\sf{\theta}$ ＜2$\small\sf{\pi}$ のとき、方程式 $\small\sf{\begin{align*} \sf 2\tan^2\theta=\frac{3}{1+\cos2\theta}\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ の値は、全部で
　　　 　シ　 個ある。それらの値のうちで、最も大きい値は　ス　 であり、最も
　　　 小さい値は　セ　 である。



2017京都薬科大　数学２



第2問

　　3次関数f(x)=x3-3px2+q+2p3を考える。ただし、pとqは定数で、p＞0
　　とする。次の　　　 にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。

　(1) 3次関数f(x)は、x=　ア　 のとき極大値　イ　 をとる。また、x=　ウ　
　　　 のとき極小値　エ　 をとる。

　(2) f(x)=0が異なる3個の実数解を持つようなqの範囲は、
　　　　　オ　 ＜q＜　カ　 である。

　(3) q=-2p3のとき、点(0，-27p3)から曲線y=f(x)へ引いた接線の方程式は
　　　 y=　キ　 である。この接線の接点を通り、接線と垂直に交わる直線の
　　　 方程式は、y=　ク　 である。




2017京都薬科大　数学３



第3問

　　Oを原点とする座標平面上に、P(1，-p)とQ(0，p)という2点をとる。
　　ただし、pは定数で、p＞0とする。tを任意の実数とし、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\left(2-t\right)\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$
　　を満たす点Rを考える。次の　　　 に当てはまる数または式を解答欄に
　　記入せよ。

　(1) tがすべての実数値をとって変わるとき、点Rは直線y=　ア　 上にある。

　(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|^2\end{align*}}$ はtとpを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|^2\end{align*}}$ =　イ　 と表せる。よって、t=　ウ　 のとき、
　　　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|^2\end{align*}}$ は最小値　エ　 をとる。

　(3) (2)で答えたt=　ウ　 のとき、3点O、R、(0，2p)を通る円の半径は　オ　
　　　　 で、中心は(　カ　 ，　キ　 )である。

　(4) (2)で答えたt=　ウ　 のとき、3点O、R、(1，0)を通る放物線とx軸で囲
　　　 まれた部分の面積Sをpで表すと、S=　ク　 である。Sはp=　ケ　 のとき、
　　　 最小値　コ　 をとる。



2017京都薬科大　数学４



第4問

　　以下で定めるルールにしたがって、投げたさいころの
　　目に応じて座標平面上で点Pを進める。さいころを4回
　　投げて、原点Oを出発点として点Pを進めるとき、次の
　　　　　 に当てはまる数または式を解答欄に記入せよ。

　(1) 次のルールAにしたがって、原点Oを出発点として点Pを進める。

　　　　ルールA
　　　　　さいころの出た目をnで表す。1≦n≦3ならば、Pを上に1だけ進める。
　　　　　4≦n≦6ならば、Pを右へ1だけ進める。

　　　 さいころの目が3，5，4，2の順に出たとき、点Pは(　ア　 )，　イ　 )に
　　　 到達する。さいころを4回投げたとき、Pが到達可能な点は5つあり、それ
　　　 らはすべて直線y=　ウ　 上にある。Pの到達点のx座標がrになる確率
　　　 をf(r)で表すと、f(0)=　エ　 、f(1)=f(3)=　オ　 、f(2)=　カ　 である。
　　　 Pの到達点の座標を(a，b)と表すとき、「a2+b2≧mとなる確率は1」が
　　　 成り立つような自然数mの最大値は　キ　 である。また、Pが(1，1)を
　　　 通ったとき、(2，2)に到達する条件付き確率は　ク　 である。


　(2) 次のルールBにしたがって、原点Oを出発点として点Pを進める。

　　　　ルールB
　　　　　さいころの出た目をnで表す。1≦n≦2ならば、Pを上に1だけ進める。
　　　　　3≦n≦4ならば、Pを右へ1だけ進める。5≦n≦6ならば、Pをどの方向
　　　　　へも進めない。

　　　 さいころの目が3，5，4，2の順に出たとき、点Pは(　ケ　 )，　コ　 )に
　　　 到達する。さいころを4回投げたとき、Pの到達点が(s，t)になる確率を
　　　 $\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (s，t)で表すと、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (0，0)=　サ　 、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (0，1)=　シ　 、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (1，1)=　ス　
　　　 である。Pの到達点の座標を(a，b)と表すとき、a2+b2≦4とになる確率は
　　　 　セ　 である。