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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017京都薬科大 数学1



第1問

  次の    に当てはまる数または式を解答欄に記入せよ。

 (1) xの2次不等式x2+(k+2)x-(k2-5k+2)>0の解がすべての実数である
    ような定数kの値の範囲は、 ア  <k< イ  である。

 (2) 白、赤、青の3個のさいころを同時に投げるとき、3個の目の積が奇数に
    なるのは ウ  とおりで、偶数になるのは エ  とおりである。また、
    3個の和が奇数になるのは オ  とおりで、偶数になるのは カ  とお
    りである。

 (3) 空間に3点A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,3)をとるとき、三角形ABC
    の面積は キ  である。また、空間の原点Oから平面ABCへ下した垂線
    の長さは ク  である。

 (4) log102=a、log103=bのとき、次の値をaとbで表せ。
     log1012= ケ  、 log23= コ  、 log245= サ 

 (5) 0≦$\small\sf{\theta}$ <2$\small\sf{\pi}$ のとき、方程式 $\small\sf{\begin{align*} \sf 2\tan^2\theta=\frac{3}{1+\cos2\theta}\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ の値は、全部で
     シ  個ある。それらの値のうちで、最も大きい値は ス  であり、最も
    小さい値は セ  である。



2017京都薬科大 数学2



第2問

  3次関数f(x)=x3-3px2+q+2p3を考える。ただし、pとqは定数で、p>0
  とする。次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。

 (1) 3次関数f(x)は、x= ア  のとき極大値 イ  をとる。また、x= ウ 
    のとき極小値 エ  をとる。

 (2) f(x)=0が異なる3個の実数解を持つようなqの範囲は、
     オ  <q< カ  である。

 (3) q=-2p3のとき、点(0,-27p3)から曲線y=f(x)へ引いた接線の方程式は
    y= キ  である。この接線の接点を通り、接線と垂直に交わる直線の
    方程式は、y= ク  である。




2017京都薬科大 数学3



第3問

  Oを原点とする座標平面上に、P(1,-p)とQ(0,p)という2点をとる。
  ただし、pは定数で、p>0とする。tを任意の実数とし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\left(2-t\right)\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$
  を満たす点Rを考える。次の    に当てはまる数または式を解答欄に
  記入せよ。

 (1) tがすべての実数値をとって変わるとき、点Rは直線y= ア  上にある。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|^2\end{align*}}$ はtとpを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|^2\end{align*}}$ = イ  と表せる。よって、t= ウ  のとき、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|^2\end{align*}}$ は最小値 エ  をとる。

 (3) (2)で答えたt= ウ  のとき、3点O、R、(0,2p)を通る円の半径は オ 
     で、中心は( カ  キ  )である。

 (4) (2)で答えたt= ウ  のとき、3点O、R、(1,0)を通る放物線とx軸で囲
    まれた部分の面積Sをpで表すと、S= ク  である。Sはp= ケ  のとき、
    最小値 コ  をとる。



2017京都薬科大 数学4



第4問

  以下で定めるルールにしたがって、投げたさいころの
  目に応じて座標平面上で点Pを進める。さいころを4回
  投げて、原点Oを出発点として点Pを進めるとき、次の
      に当てはまる数または式を解答欄に記入せよ。

 (1) 次のルールAにしたがって、原点Oを出発点として点Pを進める。

    ルールA
     さいころの出た目をnで表す。1≦n≦3ならば、Pを上に1だけ進める。
     4≦n≦6ならば、Pを右へ1だけ進める。

    さいころの目が3,5,4,2の順に出たとき、点Pは( ア  ), イ  )に
    到達する。さいころを4回投げたとき、Pが到達可能な点は5つあり、それ
    らはすべて直線y= ウ  上にある。Pの到達点のx座標がrになる確率
    をf(r)で表すと、f(0)= エ  、f(1)=f(3)= オ  、f(2)= カ  である。
    Pの到達点の座標を(a,b)と表すとき、「a2+b2≧mとなる確率は1」が
    成り立つような自然数mの最大値は キ  である。また、Pが(1,1)を
    通ったとき、(2,2)に到達する条件付き確率は ク  である。


 (2) 次のルールBにしたがって、原点Oを出発点として点Pを進める。

    ルールB
     さいころの出た目をnで表す。1≦n≦2ならば、Pを上に1だけ進める。
     3≦n≦4ならば、Pを右へ1だけ進める。5≦n≦6ならば、Pをどの方向
     へも進めない。

    さいころの目が3,5,4,2の順に出たとき、点Pは( ケ  ), コ  )に
    到達する。さいころを4回投げたとき、Pの到達点が(s,t)になる確率を
    $\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (s,t)で表すと、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (0,0)= サ  、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (0,1)= シ  、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (1,1)= ス 
    である。Pの到達点の座標を(a,b)と表すとき、a2+b2≦4とになる確率は
     セ  である。