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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017関西大 理系(2月5日) 数学1



第1問

  eを自然対数の底とし、関数f(x)=(x-1)e-xがある。また、y=f(x)のグラフを
  Cとし、C上の点でy座標が最大となる点をA、変曲点をBとする。次の問いに
  答えよ。

 (1) f(x)の導関数f’(x)とf’(x)の導関数f”(x)を求め、f(x)の増減と凹凸を
    表に示せ。

 (2) 2点A、Bを通る直線の方程式を求めよ。

 (3) 点BにおけるCの接線の方程式を求めよ。

 (4) (3)の接線とC、および直線x=2で囲まれる図形の面積を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/12/01(土) 02:05:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2017(2/5)
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2017関西大 理系(2月5日) 数学2



第2問

  平面上にOA=2、OB=2$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$⁢ 、∠AOB=90°の△OABがあり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とする。また、点Mを辺ABの中点とし、点Pを直線OA上に、点Q
  を直線OB上に、∠PMQ=90°を満たすようにとる。次の    をうめよ。
  ただし、 ⑥  ⑦  は数値でうめよ。

 (1) p、qを実数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ =p$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}\end{align*}}$ はp、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b }\end{align*}}$ を用いて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}\end{align*}}$ =
     ①  と表される。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ =q$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MQ}\end{align*}}$ はq、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$を用いて
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MQ}\end{align*}}$ = ②  と表される。

 (2) (1)のとき、pとqには関係式 ③  =2 が成り立つ。また、0≦p≦1の
    とき、qのとり得る値の範囲は ④  である。

 (3) 点Pを辺OAの中点とする。直線OMに関して、点Pと対称な点をP’と
    すると、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP\ '}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$を用いて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP\ '}\end{align*}}$ = ⑤  と表される。また、線分OM
    上に点Rをとる。線分ARと線分PRの長さの和が最小となるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$=
     ⑥  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}\end{align*}}$ である。このとき、△PQR の面積は ⑦  である。




2017関西大 理系(2月5日) 数学3



第3問

  複素数平面上に3点$\small\sf{\sf A(\alpha),\ B(\beta),\ P(t)}$ がある。ただし、i は虚数単位であり、
  $\small\sf{\alpha}$ =2+3i、$\small\sf{\beta}$ =1+5iである。また、tは実数である。次の    をうめよ。

 (1) 2点A、B間の距離は ①  である。

 (2) $\small\sf{\sf r\gt0\ ,\ 0\leqq\theta\lt 2\pi}$ とする。$\small\sf{\alpha\beta=r(\cos\theta+i \sin\theta)}$ と表したとき、r= ② 
    $\small\sf{\theta}$ = ③  である。よって、点C($\small\sf{\alpha}$ n$\small\sf{\beta}$ n)が実軸にあるような最小の正の整数
    nはn= ④  である。

 (3) t<0とする。O(0)を原点とし、∠AOB=∠APBが成り立つようなtの値はt=
     ⑤  である。

 (4) 点Aを中心とし、点Bを反時計回りに$\small\sf{\theta}$ だけ回転した点をD(γ)とする。
    γの実部をa、虚部をbとすると、aとbは$\small\sf{\sin\theta,\ \cos\theta}$ を用いて、a= ⑥ 
    b= ⑦  と表される。




2017関西大 理系(2月5日) 数学4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) K、A、L、S、E、R、Sの7文字を横一列に並べる。
   (ⅰ) 「KAISERS」や「RASKIES」のようにA、I、Eがこの順に並ぶのは
      全部で ①  通りある。
   (ⅱ) 「KIRSEAS」や「SAISERK」のように2のSの間にA、I、Eのうち、
      ちょうど2文字が並ぶのは全部で ②  通りある。

 (2) 0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\pi}$ のとき、方程式3cos2$\small\sf{\theta}$ -4sin$\small\sf{\theta}$ -1=0を満たすsin$\small\sf{\theta}$ の値は
    sin$\small\sf{\theta}$ = ③  であり、この方程式のすべての解の和は ④  である。

 (3) 双曲線C:x2-y2=1の焦点の座標は ⑤  である。また、長軸の長さと
    短軸の長さの比が$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ :1であり、焦点がCの焦点と一致するような楕円の
    方程式は ⑥  =1である。