青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2017（2/5）

2017関西大　理系（2月5日）　数学１

第1問

　　eを自然対数の底とし、関数f(x)=(x-1)e^-xがある。また、y=f(x)のグラフを
　　Cとし、C上の点でy座標が最大となる点をA、変曲点をBとする。次の問いに
　　答えよ。

　(1) f(x)の導関数f’(x)とf’(x)の導関数f”(x)を求め、f(x)の増減と凹凸を
　　　表に示せ。

　(2) 2点A、Bを通る直線の方程式を求めよ。

　(3) 点BにおけるCの接線の方程式を求めよ。

　(4) (3)の接線とC、および直線x=2で囲まれる図形の面積を求めよ。

解答はこちら↓

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2017関西大　理系（2月5日）　数学２

第2問

　　平面上にOA=2、OB=2$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$⁢ 、∠AOB=90°の△OABがあり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、
　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とする。また、点Mを辺ABの中点とし、点Pを直線OA上に、点Q
　　を直線OB上に、∠PMQ=90°を満たすようにとる。次の　　　をうめよ。
　　ただし、　⑥　、　⑦　は数値でうめよ。

　(1) p、qを実数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ =p$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}\end{align*}}$ はp、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b }\end{align*}}$ を用いて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}\end{align*}}$ =
　　　　①　と表される。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ =q$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MQ}\end{align*}}$ はq、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$を用いて
　　　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MQ}\end{align*}}$ =　②　と表される。

　(2) (1)のとき、pとqには関係式　③　 =2 が成り立つ。また、0≦p≦1の
　　　とき、qのとり得る値の範囲は　④　である。

　(3) 点Pを辺OAの中点とする。直線OMに関して、点Pと対称な点をP’と
　　　すると、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP\ '}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$を用いて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP\ '}\end{align*}}$ =　⑤　と表される。また、線分OM
　　　上に点Rをとる。線分ARと線分PRの長さの和が最小となるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$=
　　　　⑥　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}\end{align*}}$ である。このとき、△PQR の面積は　⑦　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(p-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{\sf a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$　　　　③ p+3q　

　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\leqq q\leqq \frac{2}{3}\end{align*}}$　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{6}\end{align*}}$　　　
　

【解説】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf a}\right|=2\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf b}\right|=2\sqrt3\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$　　･･････(*)

　①②
　　　MはABの中点なので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}=\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OM}=\underline{\ -\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MQ}=\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OM}=\underline{\ \left(p-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{\sf a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$

　③
　　　∠PMQ=90°なので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf MP}\cdot\overrightarrow{\sf MQ}&=\sf \left\{-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{\sf b}\right\}\cdot\left\{\left(p-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{\sf a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}\right\} \\ &=\sf -\frac{1}{2}\left(p-\frac{1}{2}\right)\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2-\frac{1}{2}\left(q-\frac{1}{2}\right)\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2\ \ \ \ \ \ \left(\because\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\right)\\ &=\sf -2\left(p-\frac{1}{2}\right)-6\left(q-\frac{1}{2}\right)=0\ \ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\sf -2p-6q+4=0 \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p+3q=2}\end{align*}}$

　④
　　　③より、p=2-3q
　　　これと0≦p≦1より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq 2-3q\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \frac{1}{3}\leqq q\leqq \frac{2}{3}}\end{align*}}$

　⑤
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP\ '}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf PP\ '}=\left(s-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$　　　　(s，tは実数）
　　　とおくと、PP’⊥OMより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PP\ '}\cdot\overrightarrow{\sf OM}&=\sf \left\{\left(s-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\right\}\cdot\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{2}\\ &=\sf \frac{1}{2}\left(s-\frac{1}{2}\right)\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+\frac{1}{2}t\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2\ \ \ \ \ \ \left(\because\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\right)\\ &=\sf 2\left(s-\frac{1}{2}\right)+6t\ \ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\sf 2s+6t-1=0\end{align*}}$
　　　また、PP’の中点をHとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\frac{\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OP\ '}}{2}=\frac{1}{2}\left(s+\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
　　　であり、HはOM上にあるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}\end{align*}}$ の係数の比を比べると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(s+\frac{1}{2}\right):\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ s+\frac{1}{2}=t\end{align*}}$
　　　これら2式を連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ s=-\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP\ '}=\underline{\ -\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$

　⑥
　　　RP=RP’なので、AR+PRが最小になるのは、3点A、R、P’が一直線上に
　　　あるとき、すなわち、RがOMとAP’の交点と一致するときである。　　　
　　　PはAP’上にあるので、実数uを用いて　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OR}&=\sf \left(1-u\right)\overrightarrow{\sf OA}+u\overrightarrow{\sf OP\ '} \\ &=\sf \left(1-u\right)\overrightarrow{\sf a}+u\left(-\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf b}\right)\\ &=\sf \left(1-\frac{5}{4}u\right)\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{4}u\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
　　　RはOM上にあるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}\end{align*}}$ の係数の比を比べると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-\frac{5}{4}u\right):\frac{1}{4}u=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ u=\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　このとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\frac{1}{6}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{\sf b}=\underline{\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf OM}}\end{align*}}$

　⑦
　　　p=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}+3q=2\ \ \Leftrightarrow\ \ q=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　このとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
　　　であり、(*)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf PQ}\right|^2=\frac{1}{4}\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+\frac{1}{4}\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2=4\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf PR}\right|^2=\frac{1}{9}\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+\frac{1}{36}\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2=\frac{7}{9}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf PR}=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+\frac{1}{12}\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2=\frac{5}{3}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle PQR=\sf \frac{1}{2}\sqrt{4\times\frac{7}{9}-\left(\frac{5}{3}\right)^2} =\underline{\frac{\sqrt3}{6}}\end{align*}}$

　　⑦は面倒なので後回しです。　　

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2018/12/01(土) 02:06:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2017（2/5）

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2017関西大　理系（2月5日）　数学３

第3問

　　複素数平面上に3点$\small\sf{\sf A(\alpha),\ B(\beta),\ P(t)}$ がある。ただし、i は虚数単位であり、
　　$\small\sf{\alpha}$ =2+3i、$\small\sf{\beta}$ =1+5iである。また、tは実数である。次の　　　をうめよ。

　(1) 2点A、B間の距離は　①　である。

　(2) $\small\sf{\sf r\gt0\ ,\ 0\leqq\theta\lt 2\pi}$ とする。$\small\sf{\alpha\beta=r(\cos\theta+i \sin\theta)}$ と表したとき、r=　②　、
　　　 $\small\sf{\theta}$ =　③　である。よって、点C($\small\sf{\alpha}$ ⁿ$\small\sf{\beta}$ ⁿ)が実軸にあるような最小の正の整数
　　　 nはn=　④　である。

　(3) t＜0とする。O(0)を原点とし、∠AOB=∠APBが成り立つようなtの値はt=
　　　　⑤　である。

　(4) 点Aを中心とし、点Bを反時計回りに$\small\sf{\theta}$ だけ回転した点をD(γ)とする。
　　　 γの実部をa、虚部をbとすると、aとbは$\small\sf{\sin\theta,\ \cos\theta}$ を用いて、a=　⑥　、
　　　 b=　⑦　と表される。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 13\sqrt2\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3n}{4}\pi\end{align*}}$　　　　④ 4　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{13}{7}\end{align*}}$

　　⑥ 2-cos$\scriptsize\sf{\theta}$ -2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　　　⑦ 3+2cos$\scriptsize\sf{\theta}$ -sin$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　　
　

【解説】

　①
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB&=\sf \left|\left(2+3i\right)-\left(1+5i\right)\right| \\ &=\sf \left|1-2i\right|\\ &=\sf \sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}\\ &=\sf \underline{\sqrt5}\end{align*}}$

　②③
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\beta&=\sf \left(2+3i\right)\left(1+5i\right) \\ &=\sf -13+13i\\ &=\sf 13\sqrt2\left(-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i\right)\\ &=\sf \underline{13\sqrt2\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)}\end{align*}}$

　④
　　　ド・モアブルの定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha^n\beta^n&=\sf \left\{13\sqrt2\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)\right\}^n \\ &=\sf \left(13\sqrt2\right)^n\left(\cos\frac{3n}{4}\pi+i\sin\frac{3n}{4}\pi\right)\end{align*}}$
　　　となり、これが実軸上にあるためには、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{3n}{4}\pi=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3n}{4}\pi=k\pi\end{align*}}$　（kは整数）
　　　であればよい。これを満たす最小の自然数nはn=4である。

　⑤
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle AOB&=\sf \arg\frac{\beta}{\alpha} \\ &=\sf \arg\frac{1+5i}{2+3i} \\ &=\sf \arg\frac{17+7i}{13}\\ &=\sf \arg\left(17+7i\right)\end{align*}}$　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle APB&=\sf \arg\frac{\beta-t}{\alpha-t}\\ &=\sf \arg\frac{1-t+5i}{2-t+3i} \\ &=\sf \arg\frac{t^2-3t+17+\left(7-2t\right)i}{\left(2-t\right)^2+9} \\ &=\sf \arg\bigg\{t^2-3t+17+\left(7-2t\right)i\bigg\} \end{align*}}$
　　　∠AOB=∠APBより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 17:7=\left(t^2-3t+17\right):\left(7-2t\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 7t^2+13t=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{t=-\frac{13}{7}\ (<0)}\end{align*}}$

　⑥⑦
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle BAD=\arg\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\theta\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{AD}{AB}=\left|\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\right|=1\end{align*}}$
　　　より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\cos\theta+i\sin\theta\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \gamma&=\sf \left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\left(\beta-\alpha\right)+\alpha \\ &=\sf \left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\bigg\{\left(1+5i\right)-\left(2+3i\right)\bigg\}+\left(2+3i\right)\\ &=\sf \underline{2-\cos\theta-2\sin\theta+\left(3+2\cos\theta-\sin\theta\right)i}\end{align*}}$

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2018/12/01(土) 02:07:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2017（2/5）

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2017関西大　理系（2月5日）　数学４

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(1) K、A、L、S、E、R、Sの7文字を横一列に並べる。
　　　(ⅰ) 「KAISERS」や「RASKIES」のようにA、I、Eがこの順に並ぶのは
　　　　　　全部で　①　通りある。
　　　(ⅱ) 「KIRSEAS」や「SAISERK」のように2のSの間にA、I、Eのうち、
　　　　　　ちょうど2文字が並ぶのは全部で　②　通りある。

　(2) 0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\pi}$ のとき、方程式3cos2$\small\sf{\theta}$ -4sin$\small\sf{\theta}$ -1=0を満たすsin$\small\sf{\theta}$ の値は
　　　 sin$\small\sf{\theta}$ =　③　であり、この方程式のすべての解の和は　④　である。

　(3) 双曲線C：x²-y²=1の焦点の座標は　⑤　である。また、長軸の長さと
　　　短軸の長さの比が$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ：1であり、焦点がCの焦点と一致するような楕円の
　　　方程式は　⑥　 =1である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① 420　　　　② 144　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\pi}$ 　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\pm\sqrt2\ ,\ 0\right)\end{align*}}$

　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}\end{align*}}$　　　

【解説】

　①
　　　A、I、Eの位置が₇C₃通り
　　　S、Sの位置が₄C₂通り
　　　K、Rの並べ方が₂P₂通り
　　　よって、₇C₃×₄C₂×₂P₂=420通り

　②
　　　左側のSの位置が4通り
　　　SとSに挟まれる2文字の並べ方が₃P₂通り
　　　残り3文字の並べ方が₃P₃通り
　　　よって、4×₃P₂×₃P₃=144通り

　③
　　　倍角公式より
　　　　　　　3cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ -4sin$\scriptsize\sf{\theta}$ -1=0
　　　　⇔　 3(1-2sin²$\scriptsize\sf{\theta}$ )-4sin$\scriptsize\sf{\theta}$ -1=0
　　　　⇔　 3sin^{$\scriptsize\sf{\theta}$}+2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ -1=(3sin$\scriptsize\sf{\theta}$ -1)(sin$\scriptsize\sf{\theta}$ +1)=0
　　　　⇔　 sin$\scriptsize\sf{\theta}$ = $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\frac{1}{3}}\end{align*}}$　　　(∵ 0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ )

　④
　　　sin$\scriptsize\sf{\alpha}$ = $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　( 0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2)となる$\scriptsize\sf{\alpha}$ を考えると、
　　　sin($\scriptsize\sf{\pi}$ -$\scriptsize\sf{\alpha}$ )= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ となるので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ +($\scriptsize\sf{\pi}$ -$\scriptsize\sf{\alpha}$ )=$\scriptsize\sf{\pi}$

　⑤
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\pm\sqrt{1^2+1^2}\ ,\ 0\right)=\underline{\left(\pm\sqrt2\ ,\ 0\right)}\end{align*}}$

　⑥
　　　楕円の方程式を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ \ (a,b>0)\end{align*}}$
　　　とおくと、題意より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2-b^2}=\sqrt2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a:b=\sqrt2:1\end{align*}}$
　　　これを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=2\ \ ,\ \ b=\sqrt2\end{align*}}$
　　　となるので、楕円の方程式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\end{align*}}$

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大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2017（2/5）

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