第3問
nを2以上の自然数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf z=\cos\frac{\pi}{n}+i\sin\frac{\pi}{n}\end{align*}}$
とする。ただし、i=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{-1}\end{align*}}$ は虚数単位である。次の問いに答えよ。
(1) znとw =(z-1)(zn-1+zn-2+・・・+z+1) のそれぞれの値を求めよ。
(2) 等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{a_n}\end{align*}}$ を満たす実数anを$\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{\pi}{n}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(3) 極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2a_n\end{align*}}$ を求めよ。
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【解説】
(1)
ド・モアブルの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_n&=\sf \left(\cos\frac{\pi}{n}+i\sin\frac{\pi}{n}\right)^n \\ &=\sf \cos\pi+i\sin\pi\\ &=\sf \underline{-1} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w&=\sf \left(z-1\right)\left(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1\right) \\ &=\sf z^n-1\\ &=\sf \underline{-2}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+z+z^2+\cdots +z^{n-1}=\frac{w}{z-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^{n-1}z^k=\frac{-2}{z-1}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^{n-1}\left(\cos\frac{\pi}{n}+i\sin\frac{\pi}{n}\right)^k=\frac{-2}{\cos\frac{\pi}{n}-1+i\sin\frac{\pi}{n}}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^{n-1}\left(\cos\frac{k\pi}{n}+i\sin\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{-2\left(\cos\frac{\pi}{n}-1-i\sin\frac{\pi}{n}\right)}{\left(\cos\frac{\pi}{n}-1\right)^2+\sin^2\frac{\pi}{n}}-1\end{align*}}$
両辺の虚部を比較すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}&=\sf \frac{2\sin\frac{\pi}{n}}{\left(\cos\frac{\pi}{n}-1\right)^2+\sin^2\frac{\pi}{n}} \\ &=\sf \frac{2\sin\frac{\pi}{n}}{\sin^2\frac{\pi}{n}+\cos^2\frac{\pi}{n}+1-2\cos\frac{\pi}{n}}\\ &=\sf \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{1-\cos\frac{\pi}{n}}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a_n=1-\cos\frac{\pi}{n}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{\pi}{n}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2a_n&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right) \\ &=\sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\left(\frac{\pi}{\theta}\right)^2\left(1-\cos\theta\right)\\ &=\sf \pi^2\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos^2\theta}{\theta^2\left(1+\cos\theta\right)}\\ &=\sf \pi^2\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin^2\theta}{2\theta^2}\\ &=\sf \underline{\frac{\pi^2}{2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/01(土) 02:03:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2017（2/2）
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第4問
次の をうめよ。
(1) 座標空間上の3点O(0，0，0)、A(1，1，1)、B(-2，1，-1)の定める平面上に
点P(2，y，3)があるとき、yの値は ① である。
(2) |sin3$\small\sf{\theta}$ |+|sin$\small\sf{\theta}$ |=cos3$\small\sf{\theta}$ +cos$\small\sf{\theta}$ 、 sin$\small\sf{\theta}$ ≠cos$\small\sf{\theta}$ （0≦$\small\sf{\theta}$ ＜2$\small\sf{\pi}$ ）を満たす
$\small\sf{\theta}$ の値は ② である。
(3) kを1≦k≦6を満たす整数とする。8で割るとk余り、9で割るとk+2余る数で、
2017をこえない最大の整数は ③ +kである。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{5}\right)^n<\frac{1}{10^{10}}\end{align*}}$ となる最小の自然数nは ④ である。ただし、log102=0.3010
とする。
(5) 媒介変数表示 $\small\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{3}{\cos\theta}\ ,\ y=\tan\theta\end{align*}}$ で表された曲線上の点(6，2$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ )における
接線の方程式はy= ⑤ x- ⑥ である。
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【解答】
① 5 ② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{4}\pi\end{align*}}$ ③ 2000 ④ 104 ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{9}\sqrt3\end{align*}}$
⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\sqrt3\end{align*}}$
【解説】
(1)
実数s、t を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB} \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2,y,3\right)=s\left(1,1,1\right)+t\left(-2,1,-1\right)\end{align*}}$
と表すことができ、成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2=s-2t\ \ ,\ \ y=s+t\ \ ,\ \ 3=s-t\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=4\ ,\ t=1\ ,\ \underline{y=5}\end{align*}}$
(2)
0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0より
sin3$\scriptsize\sf{\theta}$ +sin$\scriptsize\sf{\theta}$ =cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos$\scriptsize\sf{\theta}$
⇔ sin3$\scriptsize\sf{\theta}$ -cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ +sin$\scriptsize\sf{\theta}$ -cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0
⇔ (sin$\scriptsize\sf{\theta}$ -cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )(sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ +sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ )+sin$\scriptsize\sf{\theta}$ -cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0
⇔ (sin$\scriptsize\sf{\theta}$ -cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )(2+sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )=0
sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ≠cos$\scriptsize\sf{\theta}$ かつ 2+sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0より、不適
$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜0より
-sin3$\scriptsize\sf{\theta}$ -sin$\scriptsize\sf{\theta}$ =cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos$\scriptsize\sf{\theta}$
⇔ sin3$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ +sin$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0
⇔ (sin$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )(sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ -sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ )+sin$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0
⇔ (sin$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )(2-sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )=0
2-sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0より、
sin$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0 ⇔ tan$\scriptsize\sf{\theta}$ =-1 ⇔ $\scriptsize\sf{\theta}$ = $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\frac{7}{4}\pi}\end{align*}}$
(3)
求める数をNとすると、自然数a、bを用いて
N=8a+k=9b+k+2
と表すことができる。
b=8a-8b-2=8(a-b)-2
と変形できるので、
N=9{8(a-b)-2}+k+2
=72(a-b)+k-16＜2017
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a-b<\frac{2033-k}{72}=28+\frac{17-k}{72}\end{align*}}$
Nが最大となるのはa-b=28のときであり、その値は
N=72×28+k-16=2000+k
(4)
両辺の常用対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\left(\frac{4}{5}\right)^n<\log_{10}\frac{1}{10^{10}}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n\log_{10}\frac{8}{10}<-10 \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_{10}\frac{8}{10}&=\sf 3\log_{10}3-\log_{10}10 \\ &=\sf 3\times 0.3010-1\\ &=\sf -0.097\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -0.097n<-10\ \ \Leftrightarrow\ \ n>103.0\ldots\end{align*}}$
よって、与式を満たす最小のnはn=104である。
(5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{3}{\cos\theta}=6\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2\tan\theta=2\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta=\sqrt3\end{align*}}$
0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲で考えると、これらを同時に満たす$\scriptsize\sf{\theta}$ の値は$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ である。
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{3\sin\theta}{\cos^2\theta}\ \ ,\ \ \frac{dy}{d\theta}=\frac{2}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{2}{\cos^2\theta}}{\frac{3\sin\theta}{\cos^2\theta}}=\frac{2}{3\sin\theta}\end{align*}}$
なので、接線の傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{4}{9}\sqrt3\end{align*}}$
よって、接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-2\sqrt3=\frac{4}{9}\sqrt3\left(x-6\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\underline{\frac{4}{9}\sqrt3x-\frac{2}{3}\sqrt3}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/01(土) 02:04:00|
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