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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017関西大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=x-\frac{1}{x}\end{align*}}$
  について、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\end{align*}}$ f(x)を求めよ。

 (2) f(x)の第1次導関数f’(x)、第2次導関数f”(x)を求め、y=f(x)のグラフの
    概形をかけ。ただし、曲線y=f(x)の漸近線もかくこと。

 (3) a>1とする。2つの直線y=0、 y=a-$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\end{align*}}$ と曲線y=f(x)でかこまれた図形の
    面積をS(a)とする。 S(a)をaを用いて表せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{S\left(a\right)}{a-1}\end{align*}}$ を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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2017関西大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  次の    をうめよ。

  xy平面のx軸上に点(a0,0)がある。ただし、0 <a0<1とする。原点O(0,0)
  と(a0,0)を2:1に内分する点と点(1,0)との中点をP1(a1,0)とする。次に
  原点とP1(a1,0)を2:1に内分する点と(1,0)との中点をP2(a2,0)とする。
  さらに同様の操作を続けて点Pn-1(an-1,0)を定める。
   a1をa0で表すと ①  である。同様に、原点と点Pn-1(an-1,0)を2:1に
  内分する点と点(1,0)との中点をPn(an,0)とする。このときanとan-1は、
  次の漸化式
        an= ②  an-1+ ③ 
  を満たす。ここで ②  ③  はnに無関係な数である。この漸化式より
  anをa1とnで表すと、an= ④  である。
   a0= ⑤  のときは、Pnはnに無関係な定点である。a0 ⑤  のとき、
  nを大きくしていくと、Pnは点Q( ⑥  ,0)に限りなく近く。また
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}P_nQ=\frac{1}{3}\end{align*}}$
  となるのはa0=  ⑦  のときである。



2017関西大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  nを2以上の自然数とし、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf z=\cos\frac{\pi}{n}+i\sin\frac{\pi}{n}\end{align*}}$
  とする。ただし、i=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{-1}\end{align*}}$ は虚数単位である。次の問いに答えよ。

 (1) znとw =(z-1)⁢(zn-1+zn-2+・・・+z+1) のそれぞれの値を求めよ。

 (2) 等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{a_n}\end{align*}}$ を満たす実数anを$\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{\pi}{n}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (3) 極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2a_n\end{align*}}$ を求めよ。



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2017関西大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 座標空間上の3点O(0,0,0)、A(1,1,1)、B(-2,1,-1)の定める平面上に
    点P(2,y,3)があるとき、yの値は ①  である。

 (2) |sin3$\small\sf{\theta}$ |+|sin$\small\sf{\theta}$ |=cos3$\small\sf{\theta}$ +cos$\small\sf{\theta}$ 、 sin$\small\sf{\theta}$ ≠cos$\small\sf{\theta}$ (0≦$\small\sf{\theta}$ <2$\small\sf{\pi}$ )を満たす
    $\small\sf{\theta}$ の値は ②  である。

 (3) kを1≦k≦6を満たす整数とする。8で割るとk余り、9で割るとk+2余る数で、
    2017をこえない最大の整数は ③  +kである。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{5}\right)^n<\frac{1}{10^{10}}\end{align*}}$ となる最小の自然数nは ④  である。ただし、log102=0.3010
    とする。

 (5) 媒介変数表示 $\small\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{3}{\cos\theta}\ ,\ y=\tan\theta\end{align*}}$ で表された曲線上の点(6,2$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ )における
    接線の方程式はy= ⑤  x- ⑥  である。