第1問
曲線Cが媒介変数tを用いて
$\small\sf{\begin{align*} \sf x=\sin t\ \ ,\ \ y=1+\cos3t\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}\lt t<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
と表されているとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ をtの式で表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=0\end{align*}}$ を満たすtの値をすべて求めよ。
(3) t=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ に対応する曲線C上の点における接線の方程式を求めよ。
(4) 曲線Cとx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=\cos t\ \ ,\ \ \frac{dy}{dt}=-3\sin3t\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\bigg/\frac{dx}{dt}=\underline{\sf -\frac{3\sin 3t}{\cos t}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\lt t<\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{3\pi}{2}<3t<\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dx}=-\frac{3\sin 3t}{\cos t}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin 3t=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3t=0\ ,\ \pm\pi\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf t=0\ ,\ \pm\frac{\pi}{3}}\end{align*}}$
(3)
t=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=1+\cos\frac{3\pi}{4}=1-\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=-\frac{3\sin\frac{3\pi}{4}}{\cos\frac{\pi}{4}}=-3\end{align*}}$
なので、求める接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)=-3\left(x-\frac{1}{\sqrt2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf y=-3x+1+\sqrt2}\end{align*}}$
(4)
-1≦cos3t≦1より、y≧0であり、y=0となるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos3t=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ 3t=\pm\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\pm\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
のときであり、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\sin\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)=\pm\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ （複号同順）
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_{-\sqrt3 /2}^{\sqrt3 /2}y\ dx\\ &=\sf \int_{-\pi/3}^{\pi/3}\left(1+\cos 3t\right)\cdot\cos t\ dt\\ &=\sf 2\int_0^{\pi/3}\left(\cos t+\cos 3t\cos t\right)dt\\ &=\sf 2\int_0^{\pi/3}\left\{\cos t+\frac{1}{2}\left(\cos 4t+\cos 2t\right)\right\}dt\\ &=\sf 2\left[\sin t+\frac{1}{8}\sin4t+\frac{1}{4}\sin2t\right]_0^{\pi/3}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{9\sqrt3}{8}}\end{align*}}$
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第2問
自然数nごとに定まる整数a1、a2、･･･、anで、
$\small\sf{\begin{align*} \sf x^{2n}+y^{2n}=\left(x+y\right)^{2n}+\sum_{k=1}^na_k\left(xy\right)^k\left(x+y\right)^{2(n-k)}\ \ \ldots\ldots\ldots (*)\end{align*}}$
を満たすものが存在する。ただし、(x+y)0=1とする。
同様に、nごとに定まる整数b1、b2、･･･、bnで、
$\small\sf{\begin{align*} \sf x^{2n+1}+y^{2n+1}=\left(x+y\right)^{2n+1}+\sum_{k=1}^nb_k\left(xy\right)^k\left(x+y\right)^{2(n-k)+1}\ \ \ldots\ldots\ldots (**)\end{align*}}$
を満たすものが存在する。次の をうめよ。ただし、 ④ 、
⑥ 、 ⑦ にはnの式で、ほかの には数値でうめること。
(1) n=1のとき、x2+y2=(x+y)2+a1xyなので、a1= ① である。
(2) n=2のとき、x4+y4=(x+y)4+a1xy(x+y)2+a2x2y2なので、
a1= ② 、a2= ③ である。
(3) (*)の式にx=-y=1を代入してan= ④ を得る。
(4) n=1のとき、b1= ⑤ である。
(5) x2n+1+y2n+1=(x+y)Aと因数分解できる。Aにx=-y=1を代入した値は
⑥ である。よって、(**)において、bn= ⑦ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① -2 ② -4 ③ 2 ④ 2・(-1)n ⑤ -3
⑥ 2n+1 ⑦ (-1)n(2n+1)
【解説】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x+y\right)^2=x^2+y^2+2xy\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\end{align*}}$
(2)
(1)の両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x^2+y^2\right)^2=\bigg\{\left(x+y\right)^2-2xy\bigg\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^4+2x^2y^2+y^4=\left(x+y\right)^4-4xy\left(x+y\right)^2+4x^2y^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^4+y^4=\left(x+y\right)^4-4xy\left(x+y\right)^2+2x^2y^2\end{align*}}$
(3)
00=1 および 0m=0 （m≠0）なので、(*)にx=-y=1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1^{2n}+\left(-1\right)^{2n}=0^{2n}+\sum_{k=1}^na_k\left(-1\right)^k\cdot 0^{2(n-k)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2=a_n\cdot\left(-1\right)^n\cdot 0^0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\underline{\sf 2\cdot\left(-1\right)^n}\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x+y\right)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\end{align*}}$
(5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^{2n+1}+y^{2n+1}=\left(x+y\right)\left(x^{2n}-x^{2n-1}y+x^{2n-2}y^2+\ldots -xy^{2n-1}+y^{2n}\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=x^{2n}-x^{2n-1}y+x^{2n-2}y^2+\ldots -xy^{2n-1}+y^{2n}\end{align*}}$
これにx=-y=1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=1+1+1+\ldots +1+1=\underline{\sf 2n+1}\end{align*}}$
一方、(**)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^{2n+1}+y^{2n+1}=\left(x+y\right)\bigg\{\left(x+y\right)^{2n}+\sum_{k=1}^nb_k\left(xy\right)^k\left(x+y\right)^{2(n-k)}\bigg\}\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\left(x+y\right)^{2n}+\sum_{k=1}^nb_k\left(xy\right)^k\left(x+y\right)^{2(n-k)}\end{align*}}$
これにx=-y=1を代入すると、00=1 および 0m=0 （m≠0）なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2n+1=0^{2n}+\sum_{k=1}^nb_k\left(-1\right)^k\cdot 0^{2(n-k)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2n+1=b_n\cdot\left(-1\right)^n\cdot 0^0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\underline{\sf \left(-1\right)^n\left(2n+1\right)}\end{align*}}$
(5) x^{2n+1}+y^{2n+1}の因数分解が難しいかもしれませんが、
(4)までは完答しましょう。
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第3問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=x\log x+\frac{x}{2}\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(1) 不定積分∫f(x)dxを求めよ。
(2) 0＜xにおいて、f(x)＜0となるxの範囲を求めよ。
(3) 0＜x＜1において、$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{x}\end{align*}}$ ＜logx＜xを示せ。
(4) 0＜a＜$\small\sf{\begin{align*} \sf e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}}$ とするとき、直線x=aと曲線y=f(x) （x≧a）およびx軸とで
囲まれた部分の面積をS(a)とする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\end{align*}}$ S(a)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
部分積分法により
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int f(x)dx&=\sf \int\left(x\log x+\frac{x}{2}\right)dx\\ &=\sf \frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx+\int\frac{x}{2}dx\\ &=\sf \underline{\sf \frac{x^2}{2}\log x}\end{align*}}$
(2)
真数条件よりx＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=x\log x+\frac{x}{2}=x\left(\log x+\frac{1}{2}\right)<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log x<-\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 0\lt x\lt e^{-\frac{1}{2}}}\end{align*}}$
(3)
0＜x＜1の範囲で2つの関数
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(x\right)=\log x+\frac{1}{x}\ \ ,\ \ h\left(x\right)=x-\log x\end{align*}}$
を定義すると、それぞれの導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '\left(x\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '\left(x\right)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}<0\end{align*}}$
となるので、これらの関数は単調に減少する。
このことと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(1\right)=h\left(1\right)=1>0\end{align*}}$
より、0＜x＜1で常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(x\right)>0\ \ ,\ \ h\left(x\right)>0>0\end{align*}}$
となるので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{x}<\log x\lt x\end{align*}}$
が成り立つ。
(4)
(2)より、a＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}}$ の範囲で常にf(x)＜0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(a\right)&=\sf -\int_a^{e^{-\frac{1}{2}}}f\left(x\right)dx\\ &=\sf -\left[\frac{x^2}{2}\log x\right]_a^{e^{-\frac{1}{2}}}\ \ \ \ \left(\because\ (1)\right)\\ &=\sf \frac{1}{2}a^2\log a+\frac{1}{4e}\end{align*}}$
ここで(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{a}<\log a\lt a\ \ \Leftrightarrow\ \ -a\lt a^2\log a\lt a^3\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\left(-a\right)=\lim_{a\rightarrow +0}a^3=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}ア^2\log a=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}S\left(a\right)=\underline{\sf \frac{1}{4e}}\end{align*}}$
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第4問
次の をうめよ。
(1) 複素数平面において2点A(1+i)、B(5+3i)をとる。三角形ABCが
正三角形となる点Cに対応する複素数で虚部が最大のものは
3+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ +i( ① )である。
(2) 等式kx2-kx+(k+1)xy-y2-2y=0がkのどのような値に対しても成り
立つようなx、yの組は ② 組ある。
(3) 実数x、yがx2+$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{y^2}{4}\end{align*}}$ =1を満たしながら変化するとき、x2-$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{y^2}{4}\end{align*}}$ -2xyの
最大値は ③ である。
(4) 不等式
(log2x-1)(log2x+2)(log2x-3)(log2x+4)≦144
を満たすxの範囲は ④ である。
(5) xy平面上の単位円Cの外側の点R(X，Y)からCへ2本の接線を引き、
Cとの接点をP、Qとする。∠PRQを$\small\sf{\theta}$ で表すとき、cos$\small\sf{\theta}$ はX、Yを用
いてcos$\small\sf{\theta}$ = ⑤ と表される。$\small\sf{\theta}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\pi\end{align*}}$ のとき、点Rは原点を中心とする
半径 ⑥ の円周上を動く。
※ 問題中の を一部変更しています。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+2\sqrt3\end{align*}}$ ② 4 ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{32}\leqq x\leqq 16\end{align*}}$
⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{X^2+Y^2-2}{X^2+Y^2}\end{align*}}$ ⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{2-\sqrt3}\end{align*}}$
【解説】
(1)
点Cを表す複素数をγとすると、△ABCは正三角形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{CA}{BA}=1\ \ ,\ \ \angle BAC=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\gamma-\left(1+i\right)}{5+3i-\left(1+i\right)}=\cos\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \gamma&=\sf \frac{1}{2}\left(1\pm\sqrt3\right)\left(4+2i\right)+\left(1+i\right)\\ &=\sf 3\mp\sqrt3+\left(2\pm 2\sqrt3\right)i\end{align*}}$ （複号同順）
このうち、虚部が大きい方がγなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \gamma=3-\sqrt3+\left(2+ 2\sqrt3\right)i}\end{align*}}$
(2)
与式をkについて整理すると、
kx(x+y-1)+y(x-y-2)=0
となり、これがkの値によらず成り立つので、
x(x+y-1)=y(x-y-2)=0
である。
x=0のとき、y(-y-2)=0よりy=0，-2
x=1-yのとき、y(-2y-1)=0よりy=0，$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$
以上より、題意を満たすx、yの組は
(x，y)=(0，0)、(0，2)、(1，0)、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
の4組である。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\frac{y^2}{4}=1\end{align*}}$
より、x=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 、y=2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ （0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ ）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-\frac{y^2}{4}-2xy&=\sf \cos^2\theta-\sin^2\theta-4\sin\theta\cos\theta\\ &=\sf \cos2\theta-2\sin2\theta\\ &=\sf \sqrt5\sin\left(2\theta+\alpha\right)\ \ \ \ \left(\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt5}\ ,\ \cos\alpha=-\frac{2}{\sqrt5}\right)\end{align*}}$
となるので、最大値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \sqrt 5}\end{align*}}$ である。
(4)
t=log2xとおくと、与式は
(t-1)(t+2)(t-3)(t+4)≦144
⇔ (t2+t-2)(t2+t-12)≦144
⇔ (t2+t)2-14(t2+t)-120≦0
⇔ (t2+t-20)(t2+t+6)≦0
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2+t+6=\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}>0\end{align*}}$
なので、
t2+t-20=(t+5)(t-4)≦0
⇔ -5≦t≦4
⇔ -5≦log2x≦4
底2＞1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{1}{32}\leqq x\leqq 16}\end{align*}}$
(5)
∠OQR=90°、∠ORP=∠ORQなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\frac{\theta}{2}&=\sf \sin\angle ORP\\ &=\sf \frac{OP}{OR}\\ &=\sf \frac{1}{\sqrt{X^2+Y^2}}\end{align*}}$
倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\theta&=\sf 1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\ &=\sf 1-\frac{2}{X^2+Y^2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{X^2+Y^2-2}{X^2+Y^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\theta\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{X^2+Y^2-2}{X^2+Y^2}=-\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2X^2+2Y^2-4=-\sqrt3X^2-\sqrt3Y^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+Y^2=\frac{4}{2+\sqrt3}=4\left(2-\sqrt3\right)\end{align*}}$
となるので、求める半径は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 2\sqrt{2-\sqrt3}}\end{align*}}$ である。
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プロフィール
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毎日、大学入試数学を解いて
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