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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017関西大 理系(全学部) 数学1



第1問

  曲線Cが媒介変数tを用いて
         $\small\sf{\begin{align*} \sf x=\sin t\ \ ,\ \ y=1+\cos3t\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}\lt t<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
  と表されているとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ をtの式で表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=0\end{align*}}$ を満たすtの値をすべて求めよ。

 (3) t=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ に対応する曲線C上の点における接線の方程式を求めよ。

 (4) 曲線Cとx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/12/01(土) 01:05:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2017(全学部)
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2017関西大 理系(全学部) 数学2



第2問

  自然数nごとに定まる整数a1、a2、・・・、anで、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf x^{2n}+y^{2n}=\left(x+y\right)^{2n}+\sum_{k=1}^na_k\left(xy\right)^k\left(x+y\right)^{2(n-k)}\ \ \ldots\ldots\ldots (*)\end{align*}}$
  を満たすものが存在する。ただし、(x+y)0=1とする。
  同様に、nごとに定まる整数b1、b2、・・・、bnで、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf x^{2n+1}+y^{2n+1}=\left(x+y\right)^{2n+1}+\sum_{k=1}^nb_k\left(xy\right)^k\left(x+y\right)^{2(n-k)+1}\ \ \ldots\ldots\ldots (**)\end{align*}}$
  を満たすものが存在する。次の    をうめよ。ただし、 ④ 
   ⑥  ⑦  にはnの式で、ほかの    には数値でうめること。

 (1) n=1のとき、x2+y2=(x+y)2+a1xyなので、a1= ①  である。

 (2) n=2のとき、x4+y4=(x+y)4+a1xy(x+y)2+a2x2y2なので、
    a1= ②  、a2= ③  である。

 (3) (*)の式にx=-y=1を代入してan= ④  を得る。

 (4) n=1のとき、b1= ⑤  である。

 (5) x2n+1+y2n+1=(x+y)Aと因数分解できる。Aにx=-y=1を代入した値は
     ⑥  である。よって、(**)において、bn= ⑦  である。



2017関西大 理系(全学部) 数学3



第3問

  関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=x\log x+\frac{x}{2}\end{align*}}$
  について、次の問いに答えよ。

 (1) 不定積分∫f(x)dxを求めよ。

 (2) 0<xにおいて、f(x)<0となるxの範囲を求めよ。

 (3) 0<x<1において、$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{x}\end{align*}}$ <logx<xを示せ。

 (4) 0<a<$\small\sf{\begin{align*} \sf e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}}$ とするとき、直線x=aと曲線y=f(x) (x≧a)およびx軸とで
    囲まれた部分の面積をS(a)とする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\end{align*}}$ S(a)を求めよ。




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  1. 2018/12/01(土) 01:07:00|
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2017関西大 理系(全学部) 数学4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 複素数平面において2点A(1+i)、B(5+3i)をとる。三角形ABCが
    正三角形となる点Cに対応する複素数で虚部が最大のものは
    3+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ +i( ①  )である。

 (2) 等式kx2-kx+(k+1)xy-y2-2y=0がkのどのような値に対しても成り
    立つようなx、yの組は ②  組ある。

 (3) 実数x、yがx2+$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{y^2}{4}\end{align*}}$ =1を満たしながら変化するとき、x2-$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{y^2}{4}\end{align*}}$ -2xyの
    最大値は ③  である。

 (4) 不等式
      (log2x-1)(log2x+2)(log2x-3)(log2x+4)≦144
    を満たすxの範囲は ④  である。

 (5) xy平面上の単位円Cの外側の点R(X,Y)からCへ2本の接線を引き、
    Cとの接点をP、Qとする。∠PRQを$\small\sf{\theta}$ で表すとき、cos$\small\sf{\theta}$ はX、Yを用
    いてcos$\small\sf{\theta}$ = ⑤  と表される。$\small\sf{\theta}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\pi\end{align*}}$ のとき、点Rは原点を中心とする
    半径 ⑥  の円周上を動く。


   ※ 問題中の    を一部変更しています。