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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017千葉大 数学1



第1問

  定数aは0≦a≦1をみたすとする。座標平面上に4点O(0,0)、A(1,0)、
  B(1,2)、C(a,0)をとる。点Pは線分OA上、点Qは線分OB上にあり、
  PQ⊥OAをみたすものとする。点Pが点Oと点C以外を動くときの△PQC
  の面積の最大値をSとする。
 
 (1) a=1のときのSを求めよ。
 
 (2) Sをaを用いて表せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/12(月) 01:12:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2017
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2017千葉大 数学2



第2問

  座標平面上に3点O(0,0)、A(3,3)、B(9,0)がある。線分OB上に2点
  P、Qを ∠PAQ=90 °となるようにとる。ただし、点Qのx座標は点Pの
  x座標より大きいものとする。∠APQ=$\small\sf{\theta}$ とし、∠APQの面積をSとする。

 (1) Sを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) Sの最小値、およびそのときの点Pと点Qのx座標を求めよ。

 (3) Sが△AOBの面積の $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ 倍となるとき、点Pと点Qのx座標を求めよ。




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2017千葉大 数学3



第3問

  a、bを正の整数とするとき、次を証明せよ。

 (1) a-aは3の倍数である。

 (2) a-bが3の倍数ならば、a-bは9の倍数である。

 (3) a-bは、3の倍数ならば9の倍数である。




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2017千葉大 数学4



第4問

  1 のさいころを3回投げて、以下のルールで各回の得点を決める。
    ・ 1回目は、出た目が得点になる。
    ・ 2回目は、出た目が1回目と同じならば得点は0、異なれば出た
      目が得点になる。
    ・ 3回目は、出た目が1回目または2回目と同じならば得点は0、
      どちらとも異なれば出た目が得点になる。
  3回の得点の和を総得点とし、総得点がnとなる確率をpnとする。

 (1) 総得点nの最大値、最小値と、それらのnに対するpnを求めよ。

 (2) p6を求めよ。




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2017千葉大 数学5



第5問

  nを4以上の整数とする。座標平面上で正n角形 A1A2・・・Anは点Oを
  中心とする半径1の円に内接している。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a }=\overrightarrow{\sf OA_1}\end{align*}}$ 、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OA_2}\end{align*}}$ 、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OA_3}\end{align*}}$ 、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf OA_4}\end{align*}}$ とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf k=2\cos\frac{2\pi}{n}\end{align*}}$ とおく。そして、線分A1A3と線分A2A4との
  交点Pは線分A1A3をt:1-tに内分するとする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ を、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ 、kを用いて表せ。

 (2) tをkを用いて表し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ≦t<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ を示せ。

 (3) 不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\triangle PA_2A_3}{\triangle A_1A_2A_4}>\frac{1}{12}\end{align*}}$ を示せ。



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2017千葉大 数学6



第6問

  座標平面上の点(a,b)から曲線y=x3-3xに引ける接線の本数をnとする。

 (1) n=3をみたすような点(a,b)の範囲を図示せよ。

 (2) -3a<bかつn≦2をみたすように点(a,b)が動くとき、b-3aの最小値を
    求めよ。




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2017千葉大 数学7



第7問

  1 のさいころを3回投げて、以下のルールで各回の得点を決める。
    ・ 1回目は、出た目が得点になる。
    ・ 2回目は、出た目が1回目と同じならば得点は0、異なれば出た
      目が得点になる。
    ・ 3回目は、出た目が1回目または2回目と同じならば得点は0、
      どちらとも異なれば出た目が得点になる。
  3回の得点の和を総得点とし、総得点がnとなる確率をpnとする。

 (1) 総得点nの最大値、最小値と、それらのnに対するpnを求めよ。

 (2) p6を求めよ。

 (3) pnが最大となるようなnと、そのときのpnを求めよ。




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2017千葉大 数学8



第8問

  tを0以上の実数とし、Oを原点とする座標平面上の2点P(p,p2)、Q(q,q2)
   で3つの条件
        $\small\sf{\begin{align*} \sf PQ=2\ ,\ \ \lt q\ ,\ \ p+q=\sqrt{t}\end{align*}}$
  をみたすものを考える。△OPQの面積をSとする。ただし、点Pまたは点Qが
  原点Oと一致する場合はS=0とする。

 (1) pとqをそれぞれtを用いて表せ。

 (2) Sをtを用いて表せ。

 (3) S=1となるようなtの個数を求めよ。



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2017千葉大 数学9



第9問

  複素数平面上の点 z (z≠$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{i}{2}\end{align*}}$ ) に対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z+2i}{2z+i}\end{align*}}$ とする。

 (1) 点zが原点を中心とする半径1の円周上を動くとき、点wの描く図形を
    求めよ。

 (2) 点zが点aを中心とする半径1の円周上を動くとき、点wは原点を中心
    とする半径rの円周を描く。このようなrとaの組をすべて求めよ。




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2017千葉大 数学10



第10問

  曲線Cは曲線y=-exを平行移動したものとする。Cと曲線y=e-xはx座標が
  t (t≧0)である点を共有し、その点で共通の接線を持つとする。Cとx軸と
  y軸とで囲まれた部分の面積をS(t)とする。

 (1) Cの方程式を求めよ。

 (2) S(t)を求めよ。

 (3) S(t)が最大となるようなtの値がただ1つ存在することを示せ。




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