第１問
定数aは0≦a≦1をみたすとする。座標平面上に4点O(0，0)、A(1，0)、
B(1，2)、C(a，0)をとる。点Pは線分OA上、点Qは線分OB上にあり、
PQ⊥OAをみたすものとする。点Pが点Oと点C以外を動くときの△PQC
の面積の最大値をSとする。
(１) a=1のときのSを求めよ。
(２) Sをaを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
P、Qの座標をそれぞれP(p，0)、Q(p，2p) （0＜p＜1）とおく。
(１)
a=1のとき 
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PQC&=\sf \frac{1}{2}\left(1-p\right)\cdot 2p\\ &=\sf -p^2+p\\ &=\sf -\left(p-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf S=\frac{1}{4}}\end{align*}}$
(２)
(ⅰ) 0＜p＜aのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PQC&=\sf \frac{1}{2}\left(a-p\right)\cdot 2p\\ &=\sf -p^2+ap\\ &=\sf -\left(p-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
このときの最大値をS1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{a^2}{4}\ \ \ \ \left(p=\frac{a}{2}\right)\end{align*}}$
(ⅱ) a＜p≦1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PQC&=\sf \frac{1}{2}\left(p-a\right)\cdot 2p\\ &=\sf p^2-ap\\ &=\sf \left(p-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
このときの最大値をS2とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=1-a\ \ \ \ \left(p=1\right)\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1>S_2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{a^2}{4}>1-a\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a^2+4a-4>0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -2+2\sqrt2\lt a\leqq 1\ \ \ \ \left(\because\ 0\leqq a\leqq 1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf S=\left\{\begin{matrix}\sf 1-a & \sf \left(0\leqq a\leqq -2+2\sqrt2\right)\\ \sf \frac{a^2}{4} & \sf \left( -2+2\sqrt2\leqq a\leqq 1\right)\end{matrix}\right.}\end{align*}}$
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第２問
座標平面上に3点O(0，0)、A(3，3)、B(9，0)がある。線分OB上に2点
P、Qを ∠PAQ=90 °となるようにとる。ただし、点Qのx座標は点Pの
x座標より大きいものとする。∠APQ=$\small\sf{\theta}$ とし、∠APQの面積をSとする。
(１) Sを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(２) Sの最小値、およびそのときの点Pと点Qのx座標を求めよ。
(３) Sが△AOBの面積の $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ 倍となるとき、点Pと点Qのx座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
点Hを(3，0)とすると、△APQ∽△HPAより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PH=\frac{AH}{\tan\theta}=\frac{\sqrt3}{\tan\theta}\end{align*}}$
となるので、点Pのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0-\sqrt3=\left(\tan\theta\right)\left(x-3\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x=3-\frac{\sqrt3}{\tan\theta}\end{align*}}$
また、△APQ∽△HAQより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QH=AH\tan\theta=\sqrt3\ \tan\theta\end{align*}}$
となるので、点Qのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0-\sqrt3=-\frac{1}{\tan\theta}\left(x-3\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x=3+\sqrt3\ \tan\theta\end{align*}}$
よって、△APQの面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{2}\bigg\{\left(3+\sqrt3\ \tan\theta\right)-\left(3-\frac{\sqrt3}{\tan\theta}\right)\bigg\}\cdot \sqrt3\\ &=\sf \underline{\sf \frac{3}{2}\left(\tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}\right)}\end{align*}}$
(２)
2点P、Qは線分OB上にあり、Qのx座標はPのx座標より大きいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq 3-\frac{\sqrt3}{\tan\theta}<3+\sqrt3\ \tan\theta\leqq 9\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt3}\leqq \tan\theta\leqq 2\sqrt3\ \ \ldots\ldots\ldots (*)\end{align*}}$
(１)の結論に相加・相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\geqq\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{\tan\theta\cdot\frac{1}{\tan\theta}}=3\end{align*}}$
等号成立は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta=\frac{1}{\tan\theta}\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta=1\ (>0)\end{align*}}$
となり、(*)を満たす。
よって、Sの最小値は 3 であり、このときのP、Qのx座標はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 3-\sqrt3\ \ ,\ 3+\sqrt3}\end{align*}}$
である。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{2}{3}\triangle AOB&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{3}{2}\left(\tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}\right)=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot \sqrt3\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \tan^2\theta-2\sqrt3\ \tan\theta+1=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \tan\theta=\sqrt3+\sqrt2\ \ \ \left(\because\ (*)\right)\end{align*}}$
このとき、P、Qのx座標はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3-\frac{\sqrt3}{\sqrt3+\sqrt2}=\underline{\sf \sqrt6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sqrt3\left(\sqrt3+\sqrt2\right)=\underline{\sf 6+\sqrt6}\end{align*}}$
(*)を求めておきましょう。
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第３問
a、bを正の整数とするとき、次を証明せよ。
(１) a３-aは3の倍数である。
(２) a-bが3の倍数ならば、a３-b３は9の倍数である。
(３) a３-b３は、3の倍数ならば9の倍数である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下の合同式はすべてmod3で考える。
(１)
・a≡0のとき
a3-a≡0-0≡0
・a≡1のとき
a3-a≡1-1≡0
・a≡2のとき
a3-a≡8-2≡6≡0
以上より、a3-aは3の倍数である。
(２)
a-b≡0 すなわち a≡bのとき
a2+ab+b2≡a2+a2+a2≡3a2≡0
となるので、a2+ab+b2も3の倍数となる。
よって、(a-b)(a2+ab+b2)=a3-ｂ3は9の倍数である。
(３)
・a-b≡1 すなわち b≡a-1のとき
a3-b3≡(a-b)(a2+ab+b2)
≡1・{a2+a(a-1)+(a-1)2}
≡3a2-3a+1
≡1
・a-b≡2 すなわち b≡a-2のとき
a3-b3≡(a-b)(a2+ab+b2)
≡2・{a2+a(a-2)+(a-2)2}
≡6a2-12a+8
≡2
・a-b≡0のときは、(２)よりa３-b３は9の倍数である。
以上より、a３-b３が3の倍数であるとき、9の倍数となる。
面倒なので合同式で誤魔化しましたｗｗ
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第４問
1 のさいころを3回投げて、以下のルールで各回の得点を決める。
・ 1回目は、出た目が得点になる。
・ 2回目は、出た目が1回目と同じならば得点は0、異なれば出た
目が得点になる。
・ 3回目は、出た目が1回目または2回目と同じならば得点は0、
どちらとも異なれば出た目が得点になる。
3回の得点の和を総得点とし、総得点がnとなる確率をpnとする。
(１) 総得点nの最大値、最小値と、それらのnに対するpnを求めよ。
(２) p6を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
・3回とも1の目が出るとき、1+0+0=1より、nの最小値は 1 である。
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=\frac{1}{6^3}=\underline{\sf \frac{1}{216}}\end{align*}}$
・4、5、6の目が1回ずつ出るとき、4+5+6+=15より、
nの最大値は15である。
目が出る順序も考慮に入れると、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{15}=\frac{3!}{6^3}=\underline{\sf \frac{1}{36}}\end{align*}}$
(２)
(ア) 3回とも1の目が出るとき、6+0+0=6
(イ) 1の目2回、5の目が1回出るとき、1+5+0=6
(ウ) 1の目1回、5の目が2回出るとき、1+5+0=6
(エ) 2の目2回、4の目が1回出るとき、2+4+0=6
(オ) 2の目1回、4の目が2回出るとき、2+4+0=6
(カ) 1、2、3の目が1回ずつ出るとき、1+2+3=6
順序を考慮に入れると、(ア)は1通り、(イ)～(オ)は3通りずつ、
(カ)は6通りあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_6=\frac{1+3\cdot 4+6}{6^3}=\underline{\sf \frac{19}{216}}\end{align*}}$
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第５問
nを4以上の整数とする。座標平面上で正n角形 A1A2･･･Anは点Oを
中心とする半径1の円に内接している。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a }=\overrightarrow{\sf OA_1}\end{align*}}$ 、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OA_2}\end{align*}}$ 、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OA_3}\end{align*}}$ 、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf OA_4}\end{align*}}$ とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf k=2\cos\frac{2\pi}{n}\end{align*}}$ とおく。そして、線分A1A3と線分A2A4との
交点Pは線分A1A3をt：1-tに内分するとする。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ を、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ 、kを用いて表せ。
(２) tをkを用いて表し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ≦t＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ を示せ。
(３) 不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\triangle PA_2A_3}{\triangle A_1A_2A_4}>\frac{1}{12}\end{align*}}$ を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
OA２とA１A3の交点をBとおくと、 
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OB&=\sf OA_1\cos\angle A_1OB\\ &=\sf \cos\frac{2\pi}{n}\\\ &=\sf \frac{k}{2}\end{align*}}$
これとOA２=1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=\frac{OB}{OA_2}\ \overrightarrow{\sf OA_2}=\frac{k}{2}\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
また、BはA1A3の中点となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=\frac{\overrightarrow{\sf OA_1}+\overrightarrow{\sf OA_3}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
これら2式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{2}\overrightarrow{\sf b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \overrightarrow{\sf a}=k\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}}\end{align*}}$
同様に、OA3とA2A4の交点をCとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\frac{k}{2}\overrightarrow{\sf c}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf d}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \overrightarrow{\sf d}=k\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
(２)
Pは線分A1A3をt：1-tに内分するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}&=\sf \left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}\\ &=\sf \left(1-t\right)\left(k\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}\right)+t\overrightarrow{\sf c}\\ &=\sf \left(1-t\right)k\overrightarrow{\sf b}+\left(2t-1\right)\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
図の対称性より、Pは線分A4A2もt：1-tに内分するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}&=\sf \left(1-t\right)\overrightarrow{\sf d}+t\overrightarrow{\sf b}\\ &=\sf \left(1-t\right)\left(k\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf b}\right)+t\overrightarrow{\sf b}\\ &=\sf \left(2t-1\right)\overrightarrow{\sf b}+\left(1-t\right)k\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
2つのベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-t\right)k=2t-1\end{align*}}$ ・・・・・・(*)
これをtについて解くと、k＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf t=\frac{k+1}{k+2}}\end{align*}}$
一方、n≧4より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0<\frac{2\pi}{n}\leqq\frac{\pi}{2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0\leqq\cos\frac{2\pi}{n}<1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0\leqq k<2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0\leqq\frac{2t-1}{1-t}<2\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0\leqq 2t-1<2-2t\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf \frac{1}{2}\leqq t<\frac{3}{4}} \end{align*}}$
(３)
A1P：A3P=A4P：A2P=t：1-tなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PA_2A_3&=\sf \left(1-t\right)\triangle A_3A_2A_4\\ &=\sf \left(1-t\right)\cdot\frac{1-t}{t}\triangle A_1A_2A_4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\triangle PA_2A_3}{\triangle A_1A_2A_4}-\frac{1}{12}&=\sf \frac{\left(1-t\right)^2}{t}-\frac{1}{12}\\ &=\sf \frac{12t^2-25t+12}{12t}\\ &=\sf \frac{\left(3t-4\right)\left(4t-3\right)}{12t}\\ &>\sf 0\ \ \ \left(\because\ \frac{1}{2}\leqq t<\frac{3}{4}\right)\end{align*}}$
よって、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\triangle PA_2A_3}{\triangle A_1A_2A_4}>\frac{1}{12}\end{align*}}$
が成り立つ。
(１)が解けなかったら、その場で終了です＾＾；；
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第６問
座標平面上の点(a，b)から曲線y=x3-3xに引ける接線の本数をnとする。
(１) n=3をみたすような点(a，b)の範囲を図示せよ。
(２) -3a＜bかつn≦2をみたすように点(a，b)が動くとき、b-3aの最小値を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
導関数はy’=3x2-3なので、曲線上の点(t，t3-3t)における接線は
y-(t3-3t)=(3t2-3)(x-t)
と表すことができ、これが点(a，b)を通るので、
b-(t3-3t)=(3t2-3)(a-t)
⇔ 2t3-3at2+3a+b=0 ・・・・・・(*)
(*)の左辺をf(t)とおくと、
f’(t)=6t2-6at=6t(t-a)
となるので、a≠0のとき、f(t)はt=0，aで極値をとる。
曲線y=x3-3xの接線で、2点以上で接するものは存在しないので
n=3となるのは、(*)が異なる3つの実数解をもつときである。
すなわち、f(t)の極大値＞0かつ極小値＜0となればよいので、
f(0)とf(a)は異符号である。
f(0)・f(a)=(3a+b)(-a3+3a+b)＜0
⇔ 「b＞-3a かつ b＜a3-3a」 または
「b＜-3a かつ b＞a3-3a」
これを図示すると、下図のようになる。（境界は含まない）
(２)
-3a＜bかつn≦2を満たすよな(a，b)を図示すると、下図のようになる。。
b-3a=k ⇔ b=3a+k とおくと、これは傾き3、切片kの直線を表し、
上の領域と共有点を持つようにkを変化させたとき、kが最小になるのは、
直線b=3a+kが曲線b=a3-3aのa＞0の部分と接するときである。
(a3-3a)’=3a2-3=3 ⇔ a= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ （＞0）
このとき、
b=($\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )3-3$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$=-$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$
なので、kの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_{min}=-\sqrt2-3\sqrt2=\underline{\sf -4\sqrt2}\end{align*}}$
上のようにf(0)・f(a)＜0と処理すると、場合分けする必要がありません。
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第７問
1 のさいころを3回投げて、以下のルールで各回の得点を決める。
・ 1回目は、出た目が得点になる。
・ 2回目は、出た目が1回目と同じならば得点は0、異なれば出た
目が得点になる。
・ 3回目は、出た目が1回目または2回目と同じならば得点は0、
どちらとも異なれば出た目が得点になる。
3回の得点の和を総得点とし、総得点がnとなる確率をpnとする。
(１) 総得点nの最大値、最小値と、それらのnに対するpnを求めよ。
(２) p6を求めよ。
(３) pnが最大となるようなnと、そのときのpnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
・3回とも1の目が出るとき、1+0+0=1より、nの最小値は 1 である。
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=\frac{1}{6^3}=\underline{\sf \frac{1}{216}}\end{align*}}$
・4、5、6の目が1回ずつ出るとき、4+5+6+=15より、
nの最大値は15である。
目が出る順序も考慮に入れると、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{15}=\frac{3!}{6^3}=\underline{\sf \frac{1}{36}}\end{align*}}$
(３)
総得点が6点になるのは、次の4つの場合がある。
(ア) 6+0+0の場合
3回とも6の目が出るればよいので、1通り
(イ) 1+5+0の場合、目の出る順序は
(1,1,5)、(1,5,1)、(5,1,1)、(5,5,1)、(5,1,5)、(1,5,5)の6通り
(ウ) 2+4+0の場合、目の出る順序は
(2,2,4)、(2,4,2)、(4,2,2)、(4,4,2)、(4,2,4)、(2,4,4)の6通り
(エ) 1+2+3の場合、目の出る順序は
(1,2,3)、(1,3,2)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1)の6通り
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_6=\frac{1+6+6+6}{6^3}=\underline{\sf \frac{19}{216}}\end{align*}}$
(３)
各総得点に対する、3回の得点の組み合わせ
1点･･･1+0+0
2点･･･2+0+0
3点･･･3+0+0 または 1+2+0
4点･･･4+0+0 または 1+3+0
5点･･･5+0+0 または 1+4+0 または 2+3+0
6点･･･6+0+0 または 1+5+0 または 2+4+0 または 1+2+3
7点･･･1+6+0 または 2+5+0 または 3+4+0 または 1+2+4
8点･･･2+6+0 または 3+5+0 または 1+2+5 または 1+3+4
9点･･･3+6+0 または 4+5+0 または 1+2+6 または 1+3+5 または 2+3+4
10点･･･4+6+0 または 1+3+6 または 1+4+5 または 2+3+5
11点･･･5+6+0 または 1+4+6 または 2+3+6 または 2+4+5
12点･･･1+5+6 または 2+4+6 または 3+4+5
13点･･･2+5+6 または 3+4+6
14点･･･3+5+6
15点･･･4+5+6
これらより、pnが最大になるのは、n=9のときであり、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_9=\frac{6\times 5}{6^3}=\underline{\sf \frac{5}{36}}\end{align*}}$
面倒ですが、全部書き出しましょう！
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第８問
tを0以上の実数とし、Oを原点とする座標平面上の2点P(p，p2)、Q(q，q2)
で3つの条件
$\small\sf{\begin{align*} \sf PQ=2\ ,\ \ \lt q\ ,\ \ p+q=\sqrt{t}\end{align*}}$
をみたすものを考える。△OPQの面積をSとする。ただし、点Pまたは点Qが
原点Oと一致する場合はS=0とする。
(１) pとqをそれぞれtを用いて表せ。
(２) Sをtを用いて表せ。
(３) S=1となるようなtの個数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ^2=\left(q-p\right)^2+\left(q^2-p^2\right)^2=2^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(q-p\right)^2\bigg\{1+\left(p+q\right)^2\bigg\}=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \bigg\{\left(p+q\right)^2-4pq\bigg\}\bigg\{1+\left(p+q\right)^2\bigg\}=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(t-4pq\right)\left(1+t\right)=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t-4pq=\frac{4}{t+1}\ \ \ \left(\because\ t+1\ne 0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ pq=\frac{1}{4}\left(t-\frac{4}{t+1}\right)=\frac{t^2+t-4}{4\left(t+1\right)}\end{align*}}$
解と係数の関係より、p、qはXについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2-\sqrt{t}\ X+\frac{t^2+t-4}{4\left(t+1\right)}=0\end{align*}}$
の2解である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{\sqrt{t}\pm\sqrt{t-\left(t-\frac{4}{t+1}\right)}}{2}=\frac{\sqrt{t}}{2}\pm\frac{1}{\sqrt{t+1}}\end{align*}}$
p＜qなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf p=\frac{\sqrt{t}}{2}-\frac{1}{\sqrt{t+1}}\ \ ,\ \ q=\frac{\sqrt{t}}{2}+\frac{1}{\sqrt{t+1}}}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{2}\bigg|pq^2-p^2q\bigg|\\ &=\sf \frac{1}{2}\left(q-p\right)\left|pq\right|\\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{t+1}}\cdot\left|\frac{t}{4}-\frac{1}{t+1}\right|\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\left|t^2+t-4\right|}{4\sqrt{\left(t+1\right)^3}}}\end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{\left|t^2+t-4\right|}{4\sqrt{\left(t+1\right)^3}}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \left|t^2+t-4\right|=4\sqrt{\left(t+1\right)^3}\end{align*}}$
両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(t^2+t-4\right)^2=16\left(t+1\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^4-14t^3-55t^2-56t=t\left(t^3-14t^2-55t-56\right)=0\ \ \ldots\ldots\ldots (*) \end{align*}}$
ここで、関数f(t)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)=t^3-14t^2-55t-56\ \ \ \left(t\geqq 0\right)\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=3t^2-28t-55=\left(3t+5\right)\left(t-11\right)\end{align*}}$
となるので、f(t)の増減は次のようになる。
これより、方程式f(t)=0はt＞0の範囲にただ1つ実数解をもつので、
これとt=0を合わせると、(*)の実数解は2個である。
よって、S=1となるようなtの個数は2個である。
絶対値に気を付けましょう。
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第９問
複素数平面上の点 z (z≠$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{i}{2}\end{align*}}$ ) に対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z+2i}{2z+i}\end{align*}}$ とする。
(１) 点zが原点を中心とする半径1の円周上を動くとき、点wの描く図形を
求めよ。
(２) 点zが点aを中心とする半径1の円周上を動くとき、点wは原点を中心
とする半径rの円周を描く。このようなrとaの組をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=\frac{z+2i}{2z+i}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2zw+iw=z+2i\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf z=\frac{\left(2-w\right)i}{2w-1}\ \ \ \left(w\ne\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
点zは原点を中心とする半径1の円周上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=\left|\frac{\left(2-w\right)i}{2w-1}\right|=1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|\left(2-w\right)i\right|^2=\left|2w-1\right|^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(w-2\right)\left(\overline{w}-2\right)=\left(2w-1\right)\left(2\overline{w}-1\right) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf w\overline{w}-2w-2\overline{w}+4=4w\overline{w}-2w-2\overline{w}+1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf w\overline{w}=1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|w\right|=1\end{align*}}$
よって、点wは原点を中心とする半径1の円周上を動く。
(２)
wは原点を中心、半径rの円周上を動くので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| w\right|=\left|\frac{z+2i}{2z+i}\right|=r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|z+2i\right|^2=r^2\left|2z+i\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(z+2i\right)\left(\overline{z}-2i\right)=r^2\left(2z+i\right)\left(2\overline{z}-i\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z\overline{z}-2iz+2i\overline{z}+4=4r^2z\overline{z}-2r^2iz+2r^2i\overline{z}+r^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(4r^2-1\right)z\overline{z}-2\left(r^2-1\right)iz+2\left(r^2-1\right)i\overline{z}+r^2-4=0\end{align*}}$
4r2-1=0のとき、この式は円を表さないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z\overline{z}-\frac{2\left(r^2-1\right)i}{4r^2-1}z+\frac{2\left(r^2-1\right)i}{4r^2-1}\overline{z}+\frac{r^2-4}{4r^2-1}=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
一方、zは点aを中心とする半径1の円周上を動くので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z-a\right|=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z\overline{z}-\overline{a}z-a\overline{z}+a\overline{a}-1=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
(ⅰ)、(ⅱ)の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{2\left(r^2-1\right)i}{4r^2-1}\ \ ,\ \ \overline{a}=-\frac{2\left(r^2-1\right)i}{4r^2-1}\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅲ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r^2-4}{4r^2-1}=a\overline{a}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{r^2-4}{4r^2-1}=\frac{4\left(r^2-1\right)^2}{\left(4r^2-1\right)^2}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(r^2-4\right)\left(4r^2-1\right)=4\left(r^2-1\right)^2-\left(4r^2-1\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(5r^2-5\right)\left(4r^2-1\right)=4\left(r^2-1\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(r^2-1\right)\left(16r^2-1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r^2=1\ ,\ \frac{1}{16}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=1\ ,\ \frac{1}{4}\ \ \ \left(>0\right)\end{align*}}$
(ⅲ)より、r=1のとき、a=0
r= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-\frac{2\cdot\left(\frac{1}{16}-1\right)}{4\cdot\frac{1}{16}-1}\ i=-\frac{5}{2}\ i\end{align*}}$
以上より、条件を満たすようなrとaの値の組は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(r,a\right)=\left(1,0\right)\ ,\ \left(\frac{1}{4},-\frac{5}{2}\ i\right)}\end{align*}}$
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第10問
曲線Cは曲線y=-exを平行移動したものとする。Cと曲線y=e-xはx座標が
t （t≧0）である点を共有し、その点で共通の接線を持つとする。Cとx軸と
y軸とで囲まれた部分の面積をS(t)とする。
(１) Cの方程式を求めよ。
(２) S(t)を求めよ。
(３) S(t)が最大となるようなtの値がただ1つ存在することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
曲線y=-exをx軸方向にp、y軸方向qだけ平行移動した曲線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-e^{x-p}+q\end{align*}}$
と表すことができる。
2曲線はx=tに対応する点で共通の接線を持つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-e^{x-p}+q\right)'=-e^{x-p}\ \ ,\ \ \left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -e^{t-p}=-e^{-t}\ \ \Leftrightarrow\ \ t-p=-t\ \ \Leftrightarrow\ \ p=2t\end{align*}}$
2曲線の共有点のx座標がx=tなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -e^{t-p}+q=e^{-t}\ \ \Leftrightarrow\ \ q=e^{t-p}+e^{-t}=2e^{-t}\end{align*}}$
以上より、曲線Cの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf y=-e^{x-2t}+2e^{-t}}\end{align*}}$
(２)
Cのx切片をrとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=-e^{r-2t}+2e^{-t}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf e^{r-2t}=2e^{-t}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf r-2t=-t+\log 2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf r=t+\log2\end{align*}}$
2曲線の位置関係は右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(t\right)&=\sf \int_0^r\left(-e^{x-2t}+2e^{-t}\right)dx\\ &=\sf \bigg[-e^{x-2t}+2e^{-t}x\bigg]_0^r\\ &=\sf -e^{-t+\log2}+2e^{-t}\left(t+\log2\right)+e^{-2t}\\ &=\sf \underline{\sf e^{-t}\left(e^{-t}+2t-2+2\log2\right)} \end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\ '\left(t\right)&=\sf -e^{-t}\left(e^{-t}+2t-2+2\log2\right)+e^{-t}\left(-e^{-t}+2\right)\\ &=\sf 2e^{-t}\left(-e^{-t}-t+2-\log2\right) \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\left(t\right)=-e^{-t}-t+2-\log2\ \ \ \left(t\geqq 0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\ '\left(t\right)=e^{-t}-1\leqq 0\end{align*}}$
より、T(t)は単調に減少する。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\left(0\right)=1-\log 2>0\ \ ,\ \ \lim_{t\rightarrow\infty}T\left(t\right)=-\infty\end{align*}}$
なので、中間値の定理より、T(t)=0となるt（＞0）がただ1つ存在する。
この値をaとおくと、0≦t＜aでT(t)＞0、 a＜tでT(t)＜0となる。
S’(t)の符号はT(t)の符号と一致するので、S(t)はt=aで最大値をとり、
題意は示された。
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