第１問
aを正の実数とする。2つの関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{3}ax^2-2a^2x+\frac{7}{3}a^3\ \ ,\ \ y=-\frac{2}{3}ax^2+2a^2x-\frac{2}{3}a^3\end{align*}}$
のグラフは、2点A、Bで交わる。但し、Aのx座標はBのx座標より小さいとする。
また、2点A、Bを結ぶ線分の垂直二等分線をLとする。
(１) 2点A、Bの座標をaを用いて表せ。
(２) 直線Lの方程式をaを用いて表せ。
(３) 原点と直線Lの距離dをaを用いて表せ。また、a＞0の範囲でdを最大にする
aの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}ax^2-2a^2x+\frac{7}{3}a^3=-\frac{2}{3}ax^2+2a^2x-\frac{2}{3}a^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ax^2-4a^2x+3a^3=a\left(x-a\right)\left(x-3a\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a\ ,\ 3a\end{align*}}$
0＜a＜3aなので、2曲線の交点A、Bの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A\left(a,\frac{2}{3}a^3\right)\ \ ,\ \ B\left(3a,-\frac{2}{3}a^3\right)}\end{align*}}$
(２)
ABの中点Mの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{a+3a}{2},\frac{\frac{2}{3}a^3-\frac{2}{3}a^3}{2}\right)=\left(2a,0\right)\end{align*}}$
線分ABの傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-\frac{2}{3}a^3-\frac{2}{3}a^3}{3a-a}=-\frac{2}{3}a^2\end{align*}}$
よって、線分ABの垂直二等分線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-0=\frac{3}{2a^2}\left(x-2a\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 3x-2a^2y-6a=0}\end{align*}}$
(３)
原点とLとの距離dは、a＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{\left|0-0-6a\right|}{\sqrt{3^2+\left(-2a^2\right)^2}}=\underline{\ \frac{6a}{\sqrt{9+4a^4}}}\end{align*}}$
分子・分母をaで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{6}{\sqrt{\frac{9}{a^2}+4a^2}}\end{align*}}$
と変形でき、a2＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{a^2}+4a^2\geqq 2\sqrt{\frac{9}{a^2}\cdot 4a^2}=12\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d\leqq\frac{6}{\sqrt{12}}=\sqrt3\end{align*}}$
よって、dが最大値$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ をとるときのa（＞0）の値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{a^2}=4a^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{\sqrt6}{2}\ } \end{align*}}$
である。
(３)は、理系の人ならaで微分する手もありますが、文系との共通問題ということを
考えると、相加・相乗は見え見えですね＾＾
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第２問
a、b、cを実数とし、$\small\sf{\beta}$ 、mをそれぞれ0＜$\small\sf{\beta}$ ＜1、m＞0を満たす実数とする。
また、関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=$\small\sf{\beta}$ ，-$\small\sf{\beta}$ で極値をとり、f(-1)=f($\small\sf{\beta}$ )=-m、
f(1)=f(-$\small\sf{\beta}$ )=mを満たすとする。
(１) a、b、cおよび$\small\sf{\beta}$ 、mの値を求めよ。
(２) 関数$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)=x3+px2+qx+rは、-1≦x≦1に対してf(-1)≦$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)≦f(1)を
満たすとする。h(x)=f(x)-$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)とおくとき、h(-1)、h(-$\small\sf{\beta}$ )、h($\small\sf{\beta}$ )、h(1)
それぞれと0との大きさを比較することにより、h(x)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の導関数は
f’(x)=3x2+2ax+b
f(x)はx=±$\scriptsize\sf{\beta}$ で極値をとるので、
f($\scriptsize\sf{\beta}$ )=3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+2a$\scriptsize\sf{\beta}$ +b=0
f(-$\scriptsize\sf{\beta}$ )=3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2-2a$\scriptsize\sf{\beta}$ +b=0
これら2式の差をとると、$\scriptsize\sf{\beta}$ ≠0より
4a$\scriptsize\sf{\beta}$ =0 ⇔ a=0
また、2式の和をとると、
6$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+2b=0 ⇔ b=-3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2
これらより、
f(x)=x3-3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2x+c
と表せ、条件より、
f(-1)=f($\scriptsize\sf{\beta}$ )=-m ⇔ -1+3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+c=-2$\scriptsize\sf{\beta}$ 3+c=-m
f(1)=f(-$\scriptsize\sf{\beta}$ )=m ⇔ 1-3$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+c=2$\scriptsize\sf{\beta}$ 3+c=m
これら2式の差をとると、c=0 となり、
和をとると、0＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜1より、
2$\scriptsize\sf{\beta}$ 3+2$\scriptsize\sf{\beta}$ 2-1=($\scriptsize\sf{\beta}$ -1)2(2$\scriptsize\sf{\beta}$ -1)=0 ⇔ $\scriptsize\sf{\beta}$ = $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
m=2$\scriptsize\sf{\beta}$ 3= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a=0\ ,\ b=-\frac{3}{4}\ ,\ c=0\ ,\ \beta=\frac{1}{2}\ ,\ m=\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より、h(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(x)&=\sf f(x)-g(x)\\ &=\sf \left(x^3+\frac{3}{4}x\right)-\left(x^3+px^2+qx+r\right)\\ &=\sf -px^2-\left(q-\frac{3}{4}\right)x-r\end{align*}}$
のように、xについての高々二次式となるので、実定数A、B、Cを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=Ax^2+Bx+C\end{align*}}$
と表せる。
また、題意より-1≦x≦1に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-1\right)\leqq g\left(x\right)\leqq f\left(1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ -m\leqq -g\left(x\right)\leqq m\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(-1\right)=A-B+C=f\left(-1\right)-g\left(-1\right)\leqq m-m=0\ \ \Leftrightarrow\ \ A+C\leqq B\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}A-\frac{1}{2}B+C=f\left(1\right)-g\left(1\right)\geqq -m+m=0\ \ \Leftrightarrow\ \ B\leqq \frac{1}{2}A+2C\end{align*}}$
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+C\leqq B\leqq \frac{1}{2}A+2C\ \ \ \ldots\ldots\ldots (i)\end{align*}}$
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(1\right)=A+B+C=f\left(1\right)-g\left(1\right)\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -\left(A+C\right)\leqq B\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}A+\frac{1}{2}B+C=f\left(-1\right)-g\left(-1\right)\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ B\leqq -\left(\frac{1}{2}A+2C\right)\end{align*}}$
となり、これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(A+C\right)\leqq B\leqq -\left(\frac{1}{2}A+2C\right)\ \ \ \ldots\ldots\ldots (ii)\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)を同時に満たすのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+C=B=\frac{1}{2}A+2C=0\ \ \Leftrightarrow\ \ A=B=C=0\end{align*}}$
のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf h\left(x\right)=0\ }\end{align*}}$
(２)の結論は簡単に予想できますが、答案を書くのが面倒です。
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第３問
数列{an}が
a1=1、 a2=3
an+2=3an+12-6an+1an+3an2+an+1 （n=1，2，･･･）
を満たすとする。また、bn=an+1-an （n=1，2，･･･）とおく。
以下の問いに答えよ。
(１) bn≧0 （n=1，2，･･･）を示せ。
(２) bn （n=1，2，･･･）の一の位の数が2であることを数学的帰納法を
用いて証明せよ。
(３) a2017の一の位の数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=a_2-a_1=2>0\end{align*}}$
また、すべての自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+2}-a_{n+1}&=\sf 3a_{n+1}^{\ 2}-6a_{n+1}a_n+3a_n^{\ 2}\\ &=\sf 3\left(a_{n+1}-a_n\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=3b_{n}^{\ 2}\ \geqq 0\end{align*}}$ ･･････(#)
が成り立つので、題意は示された。
(２)
(ⅰ) n=1のときは、b1=2となりOK
(ⅱ) n=kのとき、bkの一の位の数が2であると仮定すると、
自然数ckを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_k=10c_k+2\end{align*}}$
と表すことができる。
(#)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{k+1}&=\sf 3b_k^{\ 2}\\ &=\sf 3\left(10c_k+2\right)\\ &=\sf 300c_k^{\ 2}+120c_k+12\\ &=\sf 10\left(30c_k^{\ 2}+12c_k+1\right)+2\end{align*}}$
となるので、bk+1も一の位の数が2となる。
以上より、任意の自然数nに対して、bnの一の位の数は2である。
(３)
数列{bn}は数列{an}の階差数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2017}&=\sf a_1+\sum_{k=1}^{2016}b_k\\ &=\sf 1+\sum_{k=1}^{2016}\left(10c_k+2\right)\\ &=\sf 1+10\sum_{k=1}^{2016}c_k+4032\\ &=\sf 10\left(\sum_{k=1}^{2016}c_k+403\right)+3\end{align*}}$
よって、a2017の一の位の数は3である。
(#)の変形にさえ気づけば、あとは流れるままです。
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第４問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=2x^2-9x+14-\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}\ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
について以下の問いに答えよ。
(１) 方程式f(x)=0の解をすべて求めよ。
(２) 関数f(x)のすべての極値を求めよ。
(３) 曲線y=f(x)とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf 2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-9\left(x+\frac{1}{x}\right)+14\\ &=\sf 2\left\{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\right\}-9\left(x+\frac{1}{x}\right)+14\\ &=\sf 2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-9\left(x+\frac{1}{x}\right)+10\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots\ldots (A)\\ &=\sf \left\{2\left(x+\frac{1}{x}\right)-5\right\}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x+\frac{2}{x}-5=0\ \ or\ \ x+\frac{1}{x}-2=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2x+\frac{2}{x}-5=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2x^2-5x+2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(2x-1\right)\left(x-2\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=2\ ,\ \frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x+\frac{1}{x}-2=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-2x+1=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(x-1\right)^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=1\end{align*}}$
となるので、求める方程式の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=1\ ,\ 2\ ,\ \frac{1}{2}}\end{align*}}$
(２)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)&=\sf 4x-9+\frac{9}{x^2}-\frac{4}{x^3}\\ &=\sf \frac{1}{x^3}\left(4x^4-9x^3+9x-4\right)\\ &=\sf \frac{1}{x^3}\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(4x^2-9x+4\right)\end{align*}}$
ここで、二次方程式4x2-9x+4=0の2解を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{9-\sqrt{17}}{8}\ ,\ q=\frac{9+\sqrt{17}}{8}\end{align*}}$
とおくと、x＞0におけるf(x)の増減は次のようになる。
【極大値】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(1\right)=\underline{\ 0}\end{align*}}$
【極小値】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p+\frac{1}{p}&=\sf \frac{9-\sqrt{17}}{8}+\frac{8}{9-\sqrt{17}}\\ &=\sf \frac{9-\sqrt{17}}{8}+\frac{8\left(9+\sqrt{17}\right)}{64}\\ &=\sf \frac{9}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q+\frac{1}{q}&=\sf \frac{9+\sqrt{17}}{8}+\frac{8}{9+\sqrt{17}}\\ &=\sf \frac{9+\sqrt{17}}{8}+\frac{8\left(9-\sqrt{17}\right)}{64}\\ &=\sf \frac{9}{4}\end{align*}}$
となるので、(A)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(p\right)=f\left(q\right)=\sf 2\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^2-9\cdot\frac{9}{4}+10=\underline{\ -\frac{1}{8}}\end{align*}}$
(３)
y=f(x)とx軸の位置関係は下図のようになるので、
求める面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf -\int_{1/2}^2\left(2x^2-9x+14-\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}\right)dx\\ &=\sf -\left[\frac{2}{3}x^3-\frac{9}{2}x^2+14x-9\log |x|-\frac{2}{x}\right]_{1/2}^2\\ &=\sf \underline{\ 18\log 2-\frac{99}{8}\ } \end{align*}}$
(１) いわゆる相反方程式ってヤツです。有名ですけど、解き方を知らなきゃ無理ですｗｗ
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第５問
xy平面において、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。
また、実数aに対して、a以下の最大の整数を[a]で表す．記号[ ]をガウス
記号という。以下の問いではNを自然数とする。
(１) nを0≦n≦Nを満たす整数とする。点(n，0)と点 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(n,N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right)\end{align*}}$ を結ぶ
線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ。
(２) 直線y=xと、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域（境界を含む）にある
格子点の個数をA(N)とおく。このときA(N)を求めよ。
(３) 曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=N\sin\left(\frac{\pi x}{2N}\right)\end{align*}}$ （0≦n≦N）と、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域
（境界を含む）にある格子点の個数をB(N)とおく。(２)のA(N)に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{B\left(N\right)}{A\left(N\right)}\end{align*}}$ を求めよ
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2点を結ぶ線分上にある格子点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(n,0\right),\left(n,1\right),\left(n,2\right),\ldots\ldots ,\left(n,\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\right)\end{align*}}$
なので、その個数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]+1}\end{align*}}$
(２)
nを0≦n≦Nを満たす整数とする。
点(n，0)と点(n，n)を結ぶ線分上にある格子点は
(n，0)、(n，1)、(n，2)，・・・・，(n，n)
なので、その個数は、n+1個である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(N\right)=\sum_{n=0}^N\left(n+1\right)=\sum_{k=1}^{N+1}k=\underline{\sf \frac{1}{2}\left(N+1\right)\left(N+2\right)}\end{align*}}$
(３)
(１)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B\left(N\right)&=\sf \sum_{n=0}^N\left(\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]+1\right)\\ &=\sf N+1+\sum_{n=0}^N\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\\ &=\sf N+1+\sum_{n=1}^N\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\end{align*}}$
ここで、ガウス記号の定義より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)-1<\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\leqq N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
となり、これがn=1，2，･･･，Nに対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^N\left(N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)-1\right)<\sum_{n=1}^N\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\leqq \sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -N+\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)<\sum_{n=1}^N\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]\leqq \sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\lt B\left(N\right)\leqq N+1+\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}+\frac{2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)<\frac{B\left(N\right)}{A\left(N\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq \frac{2}{N+2}+\frac{2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
N→∞の極限を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{2}{N+2}=0\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}\sum_{n=1}^NN\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{N^2}{\left(N+1\right)\left(N+2\right)}\cdot\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\left(\frac{1}{N}\right)\left(1+\frac{2}{N}\right)}\cdot\int_0^1\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\cdot\frac{1}{1\cdot 1}\cdot\left[-\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{\pi}\end{align*}}$
はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{B\left(N\right)}{A\left(N\right)}=\underline{\ \frac{4}{\pi}}\end{align*}}$
ガウス記号は不等式で外します。
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第６問
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。複素数平面上において、原点を中心とする半径1の円の
上に異なる5点P1(w1)、P2(w2)、P3(w3)、P4(w4)、P5(w5)が反時計回り
に並んでおり、次の2つの条件(Ⅰ)、(Ⅱ)を満たすとする。
(Ⅰ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos^2a\right)\left(w_2-w_1\right)^2+\left(\sin^2a\right)\left(w_5-w_1\right)^2=0\end{align*}}$ が成り立つ．
(Ⅱ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{w_3}{w_2}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{w_3}{w_2}\end{align*}}$ は方程式z2-$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ z+1=0の解である。
また、五角形P1P2P3P4P5の面積をSとする。以下の問いに答えよ。
(１) 五角形P1P2P3P4P5の頂点P１における内角∠P5P1P2を求めよ。
(２) Sをaを用いて表せ。
(３) R=|w1+w2+w3+w4+w5| とする。このとき、R２+2Sはaの値によらない
ことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (I)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(\frac{w_2-w_1}{w_5-w_1}\right)^2=-\left(\frac{\sin a}{\cos a}\right)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{w_2-w_1}{w_5-w_1}=\pm i\tan a\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle P_5P_1P_2&=\sf \left|\arg \frac{w_2-w_1}{w_5-w_1}\right|\\ &=\sf \left|\arg\left(\pm i\tan a\right)\right|\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\pi}{2}}\end{align*}}$
(２)
(１)より、△P5P1P2の斜辺P2P5は円Oの直径となるので、P2P5=2.
また、(Ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{P_1P_2}{P_1P_5}=\left|\frac{w_2-w_1}{w_5-w_1}\right|=\tan a\ (>0)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle P_1P_5P_2=a\ \ ,\ \ P_1P_5=2\cos a\ \ ,\ \ P_1P_2=2\sin a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle P_1P_2P_5&=\sf \frac{1}{2}\cdot 2\cos a\cdot 2\sin a\\ &=\sf 2\sin a\cos a\\ &=\sf \sin 2a\end{align*}}$
一方、(Ⅱ)において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z^2-\sqrt3z+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\frac{\sqrt3\pm i}{2}\end{align*}}$
であり、P1、P2、･･･、P5は
反時計回りに並んでいるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle P_2OP_3=\arg\left(\frac{\sqrt3+i}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{w_4}{w_2}=\frac{\sqrt3- i}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{w_4}{w_2}=\frac{-\sqrt3+i}{2}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle P_2OP_4=\arg\left(\frac{-\sqrt3+i}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle P_3OP_4=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \triangle P_1P_2P_5+\triangle OP_2P_3+\triangle OP_4P_5+\triangle OP_3P_4\\ &=\sf \sin 2a+2\left(\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot\sin\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot\sin\frac{2\pi}{3}\\ &=\sf \underline{\sf \sin 2a+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{4}}\end{align*}}$
(３)
複素平面上において、w5=1、w2=-1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_3=\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}=\frac{-\sqrt3-i}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_4=\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt3-i}{2}\end{align*}}$
また、∠P5OP1=$\scriptsize\sf{\pi}$ -2aなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_1=\cos\left(\pi -2a\right)+i\sin\left(\pi -2a\right)=-\cos 2a+i\sin 2a\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf R^2&=\sf \bigg|w_1+w_2+w_3+w_4+w_5\bigg|^2\\ &=\sf \left|\left(-\cos 2a+i\sin 2a\right)+\left(-1\right)+\frac{-\sqrt3-i}{2}+\frac{\sqrt3-i}{2}+1\right|^2\\ &=\sf \bigg|\cos 2a+\left(\sin 2a-1\right)i\bigg|^2\\ &=\sf \cos^22a+\sin^22a-2\sin 2a+1\\ &=\sf 2-2\sin 2a\end{align*}}$
これと(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf R^2+2S&=\sf 2-2\sin 2a+2\left(\sin 2a+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{4}\right)\\ &=\sf 3+\frac{\sqrt3}{2} \end{align*}}$
となるので、この値はaによらず一定値をとる。
(３)は座標を設定すると楽です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/07(水) 03:06:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2017
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