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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017筑波大 数学1



第1問

  aを正の実数とする。2つの関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{3}ax^2-2a^2x+\frac{7}{3}a^3\ \ ,\ \ y=-\frac{2}{3}ax^2+2a^2x-\frac{2}{3}a^3\end{align*}}$
  のグラフは、2点A、Bで交わる。但し、Aのx座標はBのx座標より小さいとする。
  また、2点A、Bを結ぶ線分の垂直二等分線をLとする。

 (1) 2点A、Bの座標をaを用いて表せ。

 (2) 直線Lの方程式をaを用いて表せ。

 (3) 原点と直線Lの距離dをaを用いて表せ。また、a>0の範囲でdを最大にする
    aの値を求めよ。




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  1. 2018/11/07(水) 03:01:00|
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2017筑波大 数学2



第2問

  a、b、cを実数とし、$\small\sf{\beta}$ 、mをそれぞれ0<$\small\sf{\beta}$ <1、m>0を満たす実数とする。
  また、関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=$\small\sf{\beta}$ ,-$\small\sf{\beta}$ で極値をとり、f(-1)=f($\small\sf{\beta}$ )=-m、
  f(1)=f(-$\small\sf{\beta}$ )=mを満たすとする。
 
 (1) a、b、cおよび$\small\sf{\beta}$ 、mの値を求めよ。

 (2) 関数$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)=x3+px2+qx+rは、-1≦x≦1に対してf(-1)≦$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)≦f(1)を
    満たすとする。h(x)=f(x)-$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)とおくとき、h(-1)、h(-$\small\sf{\beta}$ )、h($\small\sf{\beta}$ )、h(1)
    それぞれと0との大きさを比較することにより、h(x)を求めよ。



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2017筑波大 数学3



第3問

  数列{an}が
    a1=1、 a2=3
    an+2=3an+12-6an+1an+3an2+an+1  (n=1,2,・・・)
  を満たすとする。また、bn=an+1-an (n=1,2,・・・)とおく。
  以下の問いに答えよ。

 (1) bn≧0 (n=1,2,・・・)を示せ。

 (2) bn (n=1,2,・・・)の一の位の数が2であることを数学的帰納法を
    用いて証明せよ。

 (3) a2017の一の位の数を求めよ。



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2017筑波大 数学4



第4問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=2x^2-9x+14-\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}\ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
  について以下の問いに答えよ。

 (1) 方程式f(x)=0の解をすべて求めよ。

 (2) 関数f(x)のすべての極値を求めよ。

 (3) 曲線y=f(x)とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ。




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2017筑波大 数学5



第5問

  xy平面において、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。
  また、実数aに対して、a以下の最大の整数を[a]で表す.記号[ ]をガウス
  記号という。以下の問いではNを自然数とする。

 (1) nを0≦n≦Nを満たす整数とする。点(n,0)と点 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(n,N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right)\end{align*}}$ を結ぶ
    線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ。

 (2) 直線y=xと、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある
    格子点の個数をA(N)とおく。このときA(N)を求めよ。

 (3) 曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=N\sin\left(\frac{\pi x}{2N}\right)\end{align*}}$ (0≦n≦N)と、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域
    (境界を含む)にある格子点の個数をB(N)とおく。(2)のA(N)に対して
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{B\left(N\right)}{A\left(N\right)}\end{align*}}$ を求めよ



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2017筑波大 数学6



第6問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。複素数平面上において、原点を中心とする半径1の円の
  上に異なる5点P1(w1)、P2(w2)、P3(w3)、P4(w4)、P5(w5)が反時計回り
  に並んでおり、次の2つの条件(Ⅰ)、(Ⅱ)を満たすとする。
    (Ⅰ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos^2a\right)\left(w_2-w_1\right)^2+\left(\sin^2a\right)\left(w_5-w_1\right)^2=0\end{align*}}$ が成り立つ.
    (Ⅱ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{w_3}{w_2}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{w_3}{w_2}\end{align*}}$ は方程式z2-$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ z+1=0の解である。
  また、五角形P1P2P3P4P5の面積をSとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 五角形P1P2P3P4P5の頂点Pにおける内角∠P5P1P2を求めよ。

 (2) Sをaを用いて表せ。

 (3) R=|w1+w2+w3+w4+w5| とする。このとき、R+2Sはaの値によらない
    ことを示せ。



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