第１問
aを正の定数とする。2次関数f(x)=ax２と3次関数$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$(x)=x(x-4)2について、
次の問に答えよ。
(１) 関数y=$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)について、極値を求め、そのグラフを描け。
(２) 2つの曲線y=f(x)とy=$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)は相異なる3点で交わることを示せ。
(３) 2つの曲線y=f(x)と$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$(x)で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるように
aの値を定めよ。またそのとき、2つの曲線の交点のx座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(x\right)=x^3-8x^2+16x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '\left(x\right)=3x^2-16x+16=\left(3x-4\right)\left(x-4\right)\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)の増減は次のようになる。
よって、関数y=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)のグラフは下図のようになる。
(２)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=g(x)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf ax^2=x^3-8x^2+16x\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^3-\left(a+8\right)x^2+16x=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x\bigg\{x^2-\left(a+8\right)x+16\bigg\}=0\ \ \ \ldots\ldots\ldots (i) \end{align*}}$
ここで二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\left(a+8\right)x+16=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ii)
の判別式を考えると、a＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\left(a+8\right)^2-64=a^2+16a>0\end{align*}}$
となるので、(ⅱ)は異なる2つの実数解をもつ。
また、(ⅱ)はx=0を解にもたないので、(ⅰ)は異なる3つの実数解をもつ。
よって、2曲線y=f(x)とy=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ (x)は相異なる3点で交わる。
(３)
(ⅱ)の2つの解をp、q（p＜q）とすると、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=a+8>0\ \ ,\ \ pq=16>0\end{align*}}$
となるので、0＜p＜qである。
2曲線の位置関係は右図のようになるので、
囲まれた2つの部分の面積が等しいとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^p\bigg\{g(x)-f(x)\bigg\}dx=\int_p^q\bigg\{f(x)-g(x)\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_0^p\bigg\{g(x)-f(x)\bigg\}dx+\int_p^q\bigg\{g(x)-f(x)\bigg\}dx=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_0^q\bigg\{g(x)-f(x)\bigg\}dx=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_0^q\bigg\{x^3-\left(a+8\right)x^2+16x\bigg\}dx=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}\left(a+8\right)x^3+8x^2\right]_0^q=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}q^4-\frac{1}{3}\left(a+8\right)q^3+8q^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3q^2-4\left(a+8\right)q+96=0\ \ \ \ \left(\because\ q\ne 0\right)\ \ \ldots\ldots\ldots (iii)\end{align*}}$
ここで、qは(ⅱ)の解なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q^2-\left(a+8\right)q+16=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+8\right)q=q^2+16\ \ \ldots\ldots\ldots (iv)\end{align*}}$
これを(ⅲ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3q^2-4\left(q^2+16\right)+96=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf q^2=32\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf q=4\sqrt2\ (>0)\end{align*}}$
(ⅳ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a+8\right)\cdot 4\sqrt2=32+16\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf a=6\sqrt2-8}\end{align*}}$
このとき(ⅰ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\left(x^2-6\sqrt2\ x+16\right)=x\left(x-2\sqrt2\right)\left(x-2\sqrt2\right)=0\end{align*}}$
となるので、2曲線の交点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x=0\ ,\ 2\sqrt2\ ,\ 4\sqrt2}\end{align*}}$
これは完答したい問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:15:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第２問
下図のような立方体を考える。この立方体の8つの頂点の上を点Pが次の
規則で移動する。時刻0では点Pは頂点Aにいる。時刻が1増えるごとに点
Pは、今いる頂点と辺で結ばれている頂点に等確率で移動する。例えば時
刻nで点Pが頂点Hにいるとすると、時刻n+1では、それぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率で
頂点D、E、Gのいずれかにいる。自然数n≧1に対して、(ⅰ)点Pが時刻n
までの間一度も頂点Aに戻らず、かつ時刻nで頂点B、D、Eのいずれかに
いる確率をpn、(ⅱ)点Pが時刻nまでの間一度も頂点Aに戻らず、かつ時刻
nで頂点C、F、Hにいる確率をqn、(ⅲ)点Pが時刻nまでの間一度も頂点Aに
戻らず、かつ時刻nで頂点Gにいる確率をrn、とする。このとき、次の問に答
えよ。
(１) p２、q２、r２とp３、q３、r３を求めよ。
(２) n≧2のとき、pn、qn、rnを求めよ。
(３) 自然数m ≧1に対して、点Pが時刻2mで頂点Aに初めている確率smを
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
時刻0にAにあったPは、時刻1に必ずB、D、Eのいずれかにいるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=1\ \ ,\ \ q_1=r_1=0\end{align*}}$
時刻1にB、D、EにあったPは、時刻2に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でC、F、Hに移動するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\underline{\sf 0}\ \ ,\ \ q_2=\underline{\sf \frac{2}{3}}\ \ ,\ \ r_2=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
時刻2にC、F、HにあったPは、時刻3に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でB、D、Eに移動し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率でGに移動するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\underline{\sf \frac{4}{9}}\ \ ,\ \ q_3=\underline{\sf 0}\ \ ,\ \ r_3=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\underline{\sf \frac{2}{9}}\end{align*}}$
(２)
(１)と同様に考えると、
・時刻nにB、D、EにあったPは、時刻n+1に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でC、F、Hに移動する。
・時刻nにC、F、HにあったPは、時刻n+1に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の確率でB、D、Eに移動し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率でGに移動する。
・時刻nにGにあったPは、時刻n+1には必ずC、F、Hに移動する。
以上より、自然数nに対して、pn、qn、rn、pn+1、qn+1、rn+1の間には、関係式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{2}{3}q_n\ \ ,\ \ q_{n+1}=\frac{2}{3}p_n+r_n\ \ ,\ \ r_{n+1}=\frac{1}{3}q_n\end{align*}}$
が成り立つ。これらよりpn+1、rn+1を消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_{n+2}&=\sf \frac{2}{3}p_{n+1}+r_{n+1}\\ &=\sf \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}q_n+\frac{1}{3}q_n\\ &=\sf \frac{7}{9}q_n\end{align*}}$
【qnについて】
nが偶数のとき、q2=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}=\frac{7}{9}q_{n-2}=\left(\frac{7}{9}\right)^2q_{n-4}=\cdots\cdots =\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}q_{2}=\underline{\sf \frac{2}{3}\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-2}{2}}}\end{align*}}$
nが奇数のとき、q3=0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}=\frac{7}{9}q_{n-2}=\left(\frac{7}{9}\right)^2q_{n-4}=\cdots\cdots =\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}q_{3}=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
【pnについて】
nが偶数のとき、n-1は奇数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
nが3以上の奇数のとき、n-1は偶数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf \frac{4}{9}\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}}\end{align*}}$
【rnについて】
nが偶数のとき、n-1は奇数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
nが3以上の奇数のとき、n-1は偶数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n}=\frac{2}{3}q_{n-1}=\underline{\sf \frac{2}{9}\left(\frac{7}{9}\right)^{\frac{n-3}{2}}}\end{align*}}$
(３)
点Pが時刻2mで頂点Aに初めているためには、時刻2m-1まで一度もAに戻らず、
時刻2m-1にB、D、Eにいる必要があり、この状態からAに移動すればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_{m}=\frac{1}{3}p_{2m-1}\end{align*}}$
よって、m=1のときは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_{m}=\frac{1}{3}p_{1}=\underline{\sf \frac{1}{3}}\end{align*}}$
m≧2のときは(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_{m}=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{9}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-2}=\underline{\sf \frac{4}{27}\left(\frac{7}{9}\right)^{m-2}}\end{align*}}$
(３)で、場合分けを忘れないように。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:16:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第３問
次の問に答えよ。
(１) 次の条件(*)を満たす3つの自然数の組(a，b，c)をすべて求めよ。
(*) a＜b＜c かつ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
(２) 偶数2n（n≧1）の3つの正の約数p、q、rでp＞q＞rとp+q+r=nを満たす
組(p，q，r)の個数をf(n)とする。ただし、条件を満たす組が存在しない場
合は、f(n)=0とする。nが自然数全体を動くときのf(x)の最大値Mを求めよ。
また、f(n)=Mとなる自然数nの中で最小のものを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\lt a\end{align*}}$
また、a＜b＜cより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ a<6\end{align*}}$
なので、これらを満たすaの値はa=3，4，5のいずれかである。
(ⅰ) a=3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 6b+6c=bc\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(b-6\right)\left(c-6\right)=36\end{align*}}$
b-6，c-6は、3-6＜b-6＜c-6を満たす整数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(b-6,c-6\right)=\left(1,36\right),\left(2,18\right),\left(3,12\right),\left(4,9\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(b,c\right)=\left(7,42\right),\left(8,24\right),\left(9,18\right),\left(10,15\right)\end{align*}}$
(ⅱ) a=4のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{4}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4b+4c=bc\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(b-4\right)\left(c-4\right)=16\end{align*}}$
b-4，c-4は、4-4＜b-4＜c-4を満たす整数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(b-4,c-4\right)=\left(1,16\right),\left(2,8\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(b,c\right)=\left(5,20\right),\left(6,12\right)\end{align*}}$
(ⅲ) a=5のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{5}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{10}\end{align*}}$
b＜cより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{10}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ \ \Leftrightarrow\ \ b<\frac{20}{3}\end{align*}}$
これと、a＜bよりb=6であり、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}+\frac{1}{c}=\frac{3}{10}\ \ \Leftrightarrow\ \ c=\frac{15}{2}\end{align*}}$
となるので不適。
以上より、条件(*)を満たすa、b、cの組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(a,b,c\right)=\left(3,7,42\right),\left(3,8,24\right),\left(3,9,18\right),\left(3,10,15\right),\left(4,5,20\right),\left(4,6,12\right)}\end{align*}}$
(２)
p、q、rは2nの正の約数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ap=bq=cr=2n\end{align*}}$ ･･････(#)
となる自然数a、b、cが存在する。
このとき、p＞q＞rよりa＜b＜cであり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p+q+r=n&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{2n}{a}+\frac{2n}{b}+\frac{2n}{c}=n\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
これを満たすa、b、cの組は(１)で求めた6組である。
(a，b，c)=(3，7，42)のとき
(#) ⇔ 3p=7q=42r=2n
となるので、2nは3，7，42の公倍数、すなわち42の倍数である。
よって、nが21の倍数であるとき、ｐ+ｑ+ｒ=nとなる(p，q，r)が1組定まる。
同様に、(a，b，c)が
(3，8，24)、(3，9，18)、(3，10，15)、(4，5，20)、(4，6，12)
のとき、それぞれnは12、9、15、10、6の倍数となるので、
nが21、12、9、15、10、6の公倍数となるとき、f(n)は最大となり
M=6
である。
また、M=6となる最小のnは21、12、9、15、10、6の最小公倍数1260である。
(２)は上手く(１)に帰着させましょう。
その後の考え方も文系学生には難しいのですが・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:17:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
