第1問
次の問いに答えよ。
(1) 実数x、yに対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf (1+x)(1+y)\leqq\left(1+\frac{x+y}{2}\right)^2\end{align*}}$
を示せ。また、等号が成立するのはどのようなときか。
(2) a、b、c、dを－1以上の数とするとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\leqq\left(1+\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\end{align*}}$
を示せ。また、等号が成立するのはどのようなときか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
右辺－左辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1+\frac{x+y}{2}\right)^2-(1+x)(1+y)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1+x+y+\frac{x^2+2xy++y^2}{4}\right)-(1+x+y+xy)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^2+2xy++y^2}{4}-xy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^2-2xy++y^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(x-y)^2}{4}\geqq 0\end{align*}}$
よって、左辺≦右辺 が成り立つ。
（等号成立はx=yのとき）
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+a)(1+b)\leqq \left(1+\frac{a+b}{2}\right)^2\ \ ,\ \ (1+c)(1+d)\leqq \left(1+\frac{c+d}{2}\right)^2\end{align*}}$
が成り立つ。 （等号成立は、それぞれa=b、c=d）
両辺≧0より、これらを辺々かけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\leqq \left(1+\frac{a+b}{2}\right)^2\left(1+\frac{c+d}{2}\right)^2\end{align*}}$ ･････①
また、(1)において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{a+b}{2}\ \ ,\ \ y=\frac{c+d}{2}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+\frac{a+b}{2}\right)\left(1+\frac{c+d}{2}\right)\leqq \bigg(1+\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2}\bigg)^2=\left(1+\frac{a+b+c+d}{4}\right)^2\end{align*}}$ ･････②
となる。このときの等号成立は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a+b}{2}=\frac{c+d}{2}\end{align*}}$
よって、①、②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\leqq \left(1+\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\end{align*}}$
となる。等号成立は、a=b=c=dのとき。
(1)はそのまま。(2)でうまく(1)を使いましょう。
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第2問
AB=AC、BC=2である△ABCの外接円の面積をSとする。AB=ｔとするとき、
次の問いに答えよ。
(1) Sをｔを用いて表せ。
(2) s≧$\small\sf{\pi}$ を示せ。また、S=$\small\sf{\pi}$ となるときのｔの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとすると、
BH=CH=1となり、△ABHに三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{t^2-1}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin B=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}\end{align*}}$
△ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2R=\frac{AC}{\sin B}=t\cdot\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}\ \ \Leftrightarrow\ \ R=\frac{t^2}{2\sqrt{t^2-1}}\end{align*}}$
よって、△ABCの外接円の面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\pi\ R^2=\underline{\ \frac{t^4}{4(t^2-1)}\ \pi\ \ }\end{align*}}$
(2)
BC≦直径なので、
2≦2R ⇔ R≧1
よって、
S≧$\scriptsize\sf{\pi}$
となる。
逆に、S=$\scriptsize\sf{\pi}$ となるのは、R=1のときなので、
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R=\frac{t^2}{2\sqrt{t^2-1}}=1\end{align*}}$
両辺＞0より、分母を払って2乗すると、
ｔ4=4ｔ2－4=0
⇔ ｔ4－4ｔ2+4=(ｔ2－2)2=0
ｔ＞0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\sqrt{2}\ \ }\end{align*}}$
(2)で、BC≦直径 に気づくかが勝負の分かれ目です。
式計算だけでやろうとすると、次のような感じになって、少しタイヘンです。
まず、△ABCの成立条件より
AB+AC＞BC ⇔ ｔ＞1
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}S=\frac{1}{4}\cdot\frac{(t^4-1)+1}{t^2-1}\ \pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}=\frac{1}{4}\left(t^2+1+\frac{1}{t^2-1}\right)\ \pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}=\frac{1}{4}\left((t^2-1)+\frac{1}{t^2-1}+2\right)\ \pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\geqq \frac{1}{4}\left(2\sqrt{(t^2-1)\cdot\frac{1}{t^2-1}}+2\right)\ \pi}\end{align*}}$ ←ｔ＞1より相加相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}=\frac{1}{4}\left(2+2\right)\ \pi=\pi}\end{align*}}$
等号成立は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}t^2-1=\frac{1}{t^2-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\sqrt2}\end{align*}}$
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第3問
△ABCにおいて、辺BC、CA、ABのそれぞれの長さをa、b、cとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf K=2\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf BC}+\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf CA}+\overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}\right)\end{align*}}$
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf BC}+\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf CA}=-a^2\end{align*}}$ を示せ。
(2) Ｋ=－(a2+b2+c2)を示せ。
(3) 3Ｋ≦－(a+b+c)2 を示せ。また、この不等式において等号が成立
するとき、△ABCはどのような三角形か。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf BC}+\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf CA}=\left(\overrightarrow{\sf AB}+\overrightarrow{\sf CA}\right)\cdot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\overrightarrow{\sf CB}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a^2\end{align*}}$
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf BC}+\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf CA}=-a^2\end{align*}}$
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf CA}+\overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=-b^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}+\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=-c^2\end{align*}}$
これら2式を辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf BC}+\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf CA}+\overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}\right)=-(a^2+b^2+c^2)\end{align*}}$
よって、
Ｋ=－(a2+b2+c2)
(3)
(2)より、
－(a+b+c)2－3Ｋ
=－(a2+b2+c2+2ab+2bc+ca)+3(a2+b2+c2)
=2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca
=(a2－2ab+b2)+(b2－2bc+c2)+(c2－2ca+a2)
=(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2≧0 ･･････①
よって、
3Ｋ≦－(a+b+c)2
が成り立つ。
また、①の等号が整理するのは、
a=b かつ b=c かつ c=a
すなわち、△ABCが正三角形のときである。
内積計算をしていくだけです。(3)の式変形は有名ですよね。
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第4問
ｋは定数とする。
ｆ(x)=2x3+3ｋx2－6x－2ｋ
は、x=$\small\sf{\alpha}$ で極大値をとり、x=$\small\sf{\beta}$ で極小値をとるとする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\beta}$ の値を求めよ。また、$\small\sf{\alpha}$ +$\small\sf{\beta}$ をｋ用いて表せ。
(2) ｆ(x)を $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ ｆ’(x)で割った余りを求めよ。
(3) ｆ($\small\sf{\alpha}$ )ｆ($\small\sf{\beta}$ )をｋを用いて表せ。
(4) ｆ(x)=0は異なる3個の実数解をもつことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆ(x)の導関数を求めると、
ｆ’(x)=6x2+6ｋx－6
ｆ(x)は、x=$\scriptsize\sf{\alpha}$ で極大値をとり、x=$\scriptsize\sf{\beta}$ で極小値をとるので、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ と$\scriptsize\sf{\beta}$ は、方程式ｆ’(x)=0の異なる2解となる。
よって、解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha\ +\beta=-\frac{6k}{6}=\underline{\ -k\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha\ \beta=\frac{-6}{6}=\underline{\ -1\ \ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ ｆ’(x)=x2+ｋx－6
筆算を用いて割り算を計算すると、
ｆ(x)=(x2+ｋx－1)(2x+ｋ)－(4+ｋ2)x－ｋ ･････①
よって、求める余りは
－(4+ｋ2)x－ｋ
(3)
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ は、x2+ｋx－6=0の解なので、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+ｋ$\scriptsize\sf{\alpha}$ －6=$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+ｋ$\scriptsize\sf{\beta}$ －6=0
これと①より、
ｆ($\scriptsize\sf{\alpha}$ )=－(4+ｋ2)$\scriptsize\sf{\alpha}$ －ｋ
ｆ($\scriptsize\sf{\beta}$ )=－(4+ｋ2)$\scriptsize\sf{\beta}$ －ｋ
となるので、
ｆ($\scriptsize\sf{\alpha}$ )ｆ($\scriptsize\sf{\beta}$ )={－(4+ｋ2)$\scriptsize\sf{\alpha}$ －ｋ}{－(4+ｋ2)$\scriptsize\sf{\beta}$ －ｋ}
=(4+ｋ2)2$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ +ｋ(4+ｋ2)($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )+ｋ2 ･･････②
ここで、(1)を用いて②を変形すると、
ｆ($\scriptsize\sf{\alpha}$ )ｆ($\scriptsize\sf{\beta}$ )=－(4+ｋ2)2－ｋ2(4+ｋ2)+ｋ2
=－2ｋ4－11ｋ2－16 ･･････③
(4)
(3)の③を平方完成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\alpha)\ f\ (\beta)=-\left(k^2+\frac{11}{4}\right)^2-\frac{7}{8}<0\end{align*}}$
となるので、ｆ($\scriptsize\sf{\alpha}$ )とｆ($\scriptsize\sf{\beta}$ )は異符号となる。
すなわち、極大値と極小値が異符号になるので、
方程式ｆ(x)=0は異なる3個の実数解をもつ。
(2)で筆算は省略しています。スミマセン。
まぁ、流れに乗って普通に処理していくだけです。
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