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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017名古屋大 理系数学1



第1問

  不等式0<a<1を満たす定数aに対して、曲線C:y=a-1-logx (x>0)を考える。
  sを正の実数とし、曲線C上の点P(s,a-1-logs)における接線がx軸、y軸と交わ
  る点をそれぞれ(u(s),0)、(0,v(s))とする。このとき、次の問に答えよ。
  必要があれば、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}x\log x=0\end{align*}}$ を証明なしで使ってよい。

 (1) 関数u(s)、v(s)をsの式で表せ。

 (2) 関数t=u(s)、t=v(s) の2つのグラフを、増減・凹凸および交点の座標に注意して、
    同じst平面上に図示せよ。

 (3) 関数t =u(s)、t=v(s) の2つのグラフで囲まれた図形をt軸のまわりに1回転させ
   てできる立体の体積を求めよ。




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  1. 2018/10/24(水) 01:11:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2017
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2017名古屋大 理系数学2



第2問

  下図のような立方体を考える。この立方体の8つの頂点の上を点Pが次の
  規則で移動する。時刻0では点Pは頂点Aにいる。時刻が1増えるごとに点
  Pは、今いる頂点と辺で結ばれている頂点に等確率で移動する。例えば時
  刻nで点Pが頂点Hにいるとすると、時刻n+1では、それぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率で
  頂点D、E、Gのいずれかにいる。自然数n≧1に対して、(ⅰ)点Pが時刻n
  までの間一度も頂点Aに戻らず、かつ時刻nで頂点B、D、Eのいずれかに
  いる確率をpn、(ⅱ)点Pが時刻nまでの間一度も頂点Aに戻らず、かつ時刻
  nで頂点C、F、Hにいる確率をqn、(ⅲ)点Pが時刻nまでの間一度も頂点Aに
  戻らず、かつ時刻nで頂点Gにいる確率をrn、とする。このとき、次の問に答
  えよ。

 (1) p、q、rとp、q、rを求めよ。

 (2) n≧2のとき、pn、qn、rnを求めよ。

 (3) 自然数m ≧1に対して、点Pが時刻2mで頂点Aに初めている確率sm
    求めよ。

 (4) 自然数m≧2に対して、点Pが時刻2mで頂点Aに戻るのがちょうど2回目
    となる確率をtmとする。このとき、tm<smとなるmをすべて求めよ。



       2017名大06



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  1. 2018/10/24(水) 01:12:00|
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2017名古屋大 理系数学3



第3問

  xyz空間の2点A(0,0,2)、P(a,b,0)を通る直線をLとする。また、点
  (2,0,0)を中心とし、半径が2である球面をSで表し、Sのうちz座標が
  z>0を満たす部分をTとする。このとき、次の問に答えよ。

 (1) L上に点Qがある。実数tを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ =t$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ で定めるとき、点Qの座標をa、b、
    tを使って表せ。

 (2) LがSと相異なる2点で交わるような実数a、bに関する条件を求め、ab
    平面上に図示せよ。

 (3) LがTと相異なる2点で交わるような実数a、bに関する条件を求め、ab
    平面上に図示せよ。




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  1. 2018/10/24(水) 01:13:00|
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2017名古屋大 理系数学4



第4問

  nを自然数とする。0でない複素数からなる集合Mが次の規則(Ⅰ)、(Ⅱ)、
  (Ⅲ)を満たしている。
    (Ⅰ) 集合Mはn個の要素からなる。
    (Ⅱ) 集合Mの要素zに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{z}\end{align*}}$ と-zはともに集合Mの要素である。 
    (Ⅲ) 集合Mの要素z、wに対して、その積z⁢wは集合Mの要素である。
       ただし、z=wの場合も含める。
  このとき、次の問に答えよ。

 (1) 1および-1は集合Mの要素であることを示せ。

 (2) nは偶数であることを示せ。

 (3) n=4のとき、集合Mは一通りに定まることを示し、その要素をすべて求めよ。

 (4) n=6のとき、集合Mは一通りに定まることを示し、その要素をすべて求めよ。

         

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  1. 2018/10/24(水) 01:14:00|
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