第２問
座標平面上に原点O、点A(1，a)、点B(s，t)がある。以下の問いに答えよ。
(１) a=1のとき、△OABが正三角形となるような(s，t)をすべて求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ は無理数であることを証明せよ。
(３) △OABが正三角形であり、aが有理数であるとき、sとtのうち少なくとも1つは
無理数であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
△ABCが正三角形のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB=OB&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(s-1\right)^2+\left(t-a\right)^2=s^2+t^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -2s+1-2at+a^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf s=-at+\frac{1+a^2}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・・(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OB=OA\ \ \Leftrightarrow\ \ s^2+t^2=1+a^2\end{align*}}$ ・・・・・・・(ⅱ)
(ⅱ)に(ⅰ)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(-at+\frac{1+a^2}{2}\right)^2+t^2=1+a^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(1+a^2\right)t^2+\left(1+a^2\right)at+\frac{1}{4}\left(1+a^2\right)^2-\left(1+a^2\right)=0\\ &\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2-at-\frac{3-a^2}{4}=0\ \ \ \ \left(\because\ 1+a^2\ne 0\right) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf t=\frac{a\pm\sqrt3}{2}\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots (iii)\end{align*}}$
a=1のとき、(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1\pm\sqrt3}{2}\end{align*}}$
これを(ⅱ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=-\frac{1\pm\sqrt3}{2}+1=\frac{1\mp\sqrt3}{2}\end{align*}}$
よって、求める(s，t)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(s,t\right)=\left(\frac{1\mp\sqrt3}{2},\frac{1\pm\sqrt3}{2}\right)}\end{align*}}$ （複号同順）
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数m、nを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3=\frac{m}{n}\end{align*}}$
と表すことができる。分母を払って、両辺を2乗すると、
3n2=m2
となるので、m2は3の倍数であり、3の倍数でない数の平方は3の倍数とは
ならないので、mも3の倍数である。
よって、m=3M（M：自然数）とおいて代入すると、
3n2=(3M)2 ⇔ n=3M2
となり、n2およびnも3の倍数となるが、これはmとnが互いに素であることに
矛盾する。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ は無理数である。
(３)
(ⅲ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3=\pm\left(2t-a\right)\end{align*}}$
と変形できる。
ここで、tが有理数であると仮定すると、右辺は有理数となるが、
これは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ が無理数であることに矛盾する。
よって、tは無理数である。
無理数であることの証明は背理法を使います。
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第３問
AとBの2人がA、B、A、B、・・・の順にさいころを投げ、先に3以上の目を
出した人を勝者として勝敗を決め、さいころ投げを終える。以下では、
さいころを投げた回数とはAとBが投げた回数の和のこととする。2と3の
常用対数をlog102=0.301、log103=0.477として，以下の問いに答えよ。
(１) さいころを投げた回数がn回以下では勝敗が決まらない確率pn（n=1，2，･･･）
を求めよ。さらに、pnが0.005より小さくなる最小のnを求めよ。
(２) さいころを投げた回数が3回以下でAが勝つ確率を求めよ。
(３) 自然数kに対し、さいころを投げた回数が2k+1回以下でAが勝つ確率を求めよ。
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【解答】
(１)
1回投げて勝敗が決まらないのは、2以下の目が出る場合なので、
その確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ である。
よって、n回投げて勝敗が決まらない確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf p_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n}\end{align*}}$
また、常用対数を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_n<0.005&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log_{10}p_n=\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)^n<\log_{10}0.005\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -n\log_{10}3<-\log_{10}\left(2\cdot 10^2\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -0.477n<-\left(0.301+2\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n>4.8\ldots\end{align*}}$
これを満たす最小の自然数nは、n=5である。
(２)
1回目にAが勝つためには、1回目に3以上の目が出ればよいので、
その確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$
3回目にAが勝つためには、1、2回目に2以下の目が出て、3回目に3以上の目が
出ればよいので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{27}\end{align*}}$
よって、3回以下でAが勝つ確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}+\frac{2}{27}=\underline{\sf \frac{20}{27}}\end{align*}}$
(３)
Ａが2j+1回目（j=1，2，・・・，k)に勝つためには、1～2j回目に2以下の目が出て、
2j+1回目に3以上の目が出ればよいので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3}\right)^{2j}\cdot\frac{2}{3}\end{align*}}$
よって、2k+1回以下でAが勝つ確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}+\sum_{j=1}^k\left(\frac{1}{3}\right)^{2j}\cdot\frac{2}{3}&=\sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{k+1}}{1-\frac{1}{9}}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{k+1}\right\}} \end{align*}}$
これも難しくありません。
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第４問
以下の問いに答えよ。
(１) 2017と225の最大公約数を求めよ。
(２) 225との最大公約数が15となる2017以下の自然数の個数を求めよ。
(３) 225との最大公約数が15であり、かつ1998との最大公約数が111と
なる2017以下の自然数をすべて求めよ。
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【解答】
(１)
225=32・52
2017は3でも5でも割り切れないので、
225と2017の最大公約数は1である。
(２)
2017以下の自然数の中で
15の倍数は、2017÷15=134.3･･･より134個ある。
このうちで、
45の倍数は、2017÷45=44.8･･･より44個、
75の倍数は、2017÷75=26.8･･･より26個、
225の倍数は、2017÷225=8.9･･･より8個ある。
よって、225との最大公約数が15となる自然数は
134-(44+26-8)=72個
(３)
1998=2・33・37
111=3・37
15と37の最大公約数は555なので、題意を満たす自然数は
555の倍数である必要があり、2017以下の555の倍数は
555、1110、1665の3個ある。
555=3・5・37なので、555は題意を満たす。
1110=2・3・5・37なので、1110は1998との最大公約数が222となり不適。
1665=32・5・37なので、1665は1998との最大公約数が333となり不適。
以上より、題意を満たす自然数は555である。
今年の九大の文系数学はいつもより易しいですね。
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