第１問
定数a＞0に対し、曲線y=atanxの0≦x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の部分をC１、曲線y=sin2x
の0≦x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の部分をC２とする。以下の問いに答えよ。
(１) C１とC２が原点以外に交点をもつためのaの条件を求めよ。
(２) aが(１)の条件を満たすとき、原点以外のC１とC２の交点をPとし、
Pのx座標をpとする。PにおけるC１とC２のそれぞれの接線が直交
するとき、aおよびcos2pの値を求めよ。
(３) aが(２)で求めた値のとき、C１とC２で囲まれた図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\tan x=\sin 2x&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{a\sin x}{\cos x}=2\sin x\cos x\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x\left(2\cos ^2x-a\right)=0\sf \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin x=0\ ,\ \cos^2x=\frac{a}{2}\end{align*}}$
これが0＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲に実数解をもつためには0＜cosx＜1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{a}{2}<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 0\lt a<2}\end{align*}}$
であればよい。
(２)
(１)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos p=\sqrt{\frac{a}{2}}\ \ (>0)\end{align*}}$ ・・・・・・・(*)
C1、C2の導関数はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a\tan x\right)'=\frac{a}{\cos ^2x}\ \ ,\ \ \left(\sin2x\right)'=2\cos2x\end{align*}}$
なので、Pにおける接線の傾きはそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\cos^2p}\ \ ,\ \ 2\cos2p\end{align*}}$
である。題意より、これらの2接線が直交するので、(*)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\cos^2p}\cdot 2\cos2p=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos 2p=-\frac{\cos^2p}{2a}=\underline{\sf -\frac{1}{4}}\end{align*}}$
cosの倍角公式と(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos2p=2\cos^2p-1=a-1=-\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf a=\frac{3}{4}}\end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos p=\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt6}{4}\end{align*}}$
C１、C２の位置関係は下図のようになるので、
これらで囲まれる部分の面積をSとすると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^p\left(\sin 2x-\frac{3}{4}\tan x\right)dx\\ &=\sf \int_0^p\left\{\sin 2x+\frac{3}{4}\frac{\left(\cos x\right)'}{\cos x}\right\}dx\\ &=\sf \left[-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{3}{4}\log\left|\cos x\right|\right]_0^p\\ &=\sf -\frac{1}{2}\left(\cos 2p-1\right)+\frac{1}{4}\left(\log \left|\cos p\right|-\log 1\right)\\ &=\sf \underline{\sf \frac{5}{8}+\frac{3}{4}\log\frac{\sqrt6}{4}}\end{align*}}$
これは難しくありません。
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第２問
2つの定数a＞0およびb＞0に対し、座標空間内の4点を
A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，1)、D(a，b，1)
と定める。以下の問いに答えよ。
(１) 点Aから線分CDにおろした垂線とCDの交点をGとする。
Gの座標をa、bを用いて表せ。
(２) さらに、点Bから線分CDにおろした垂線とCDの交点をH
とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AG}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BH}\end{align*}}$ がなす角を$\small\sf{\theta}$ とするとき、cos$\small\sf{\theta}$ をa、b
を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
GはCD上にあるので、実数tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CG}=t\overrightarrow{\sf CD}=\left(ta,tb,0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\left(ta,tb,1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AG}=\left(ta-a,tb,1\right)\end{align*}}$
AG⊥CDなので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AG}\cdot\overrightarrow{\sf CD}=a\left(ta-a\right)+tb^2+0=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{a^2}{a^2+b^2}\end{align*}}$
よって、点Gの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf G\left(\frac{a^3}{a^2+b^2},\frac{a^2b}{a^2+b^2},1\right)}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AG}=\left(\frac{a^3}{a^2+b^2}-a,\frac{a^2b}{a^2+b^2},1\right)=\left(-\frac{ab^2}{a^2+b^2},\frac{a^2b}{a^2+b^2},1\right)\end{align*}}$
(１)と同様、HはCD上にあるので、実数sを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\left(sa,sb,1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BH}=\left(sa,sb-b,1\right)\end{align*}}$
BH⊥CDなので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BH}\cdot\overrightarrow{\sf CD}=sa^2+b\left(sb-b\right)+0=0\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{b^2}{a^2+b^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BH}=\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2},\frac{b^3}{a^2+b^2}-b,1\right)=\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2},-\frac{ab^2}{a^2+b^2},1\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)^2+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf AG}\right|=\left|\overrightarrow{\sf BH}\right|&=\sf \sqrt{\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)^2+1}\\ &=\sf \sqrt{\frac{a^4b^2+a^2b^4}{\left(a^2+b^2\right)^2}+1}\\ &=\sf \sqrt{\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AG}\cdot\overrightarrow{\sf BH}=-\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)^2-\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)^2+1=-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}+1\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}+1}{\left(\sqrt{\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}+1}\right)^2}=\underline{\sf \frac{-a^2b^2+a^2+b^2}{a^2b^2+a^2+b^2}}\end{align*}}$
これも難しくはありません。
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第３問
初項a１=1、公差4の等差数列{an}を考える。以下の問いに答えよ。
(１) {an} の初項から第600項のうち、7の倍数である項の個数を求めよ。
(２) {an} の初項から第600項のうち、7２の倍数である項の個数を求めよ。
(３) 初項から第n項までの積a１a２・・・anが745の倍数となる最小の自然数
nを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
数列{an}の一般項は
an=1+4(n-1)=4n-3
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf 4n-3-4+4\\ &=\sf 4\left(n+1\right)-7\end{align*}}$
4と7は互いに素なので、n+1が7の倍数のとき、anは7の倍数となる。
mを整数としてn+1=7mとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq n\leqq 600\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\leqq 7m\leqq 601\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{7}\leqq m\leqq\frac{601}{7}=85.8\ldots\end{align*}}$
これを満たす整数mの個数は85個なので、
a1～a600の中に7の倍数である項は85個ある。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf 4n-3+52-52\\ &=\sf 4\left(n-13\right)+49\end{align*}}$
4と7は互いに素なので、n-13が72の倍数のとき、anは72の倍数となる。
Mを整数としてn-13=49Mとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq n\leqq 600\ \ \Leftrightarrow\ \ -12\leqq 49M\leqq 587\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{12}{49}\leqq m\leqq\frac{587}{49}=11.9\ldots\end{align*}}$
これを満たす整数Mの個数は12個なので、
a1～a600の中に72の倍数である項は12個ある。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf 4n-3-340+340\\ &=\sf 4\left(n+85\right)-343\end{align*}}$
4と7は互いに素なので、n+85が73の倍数のとき、anは73の倍数となる。
これを満たす最小のnは、n+85=343 ⇔ n=258 である。
(１)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq n\leqq 258\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\leqq 7m\leqq 259\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{7}\leqq m\leqq 37\end{align*}}$
a1～a258の間に7の倍数である項は37個ある。
また、(２)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq n\leqq 258\ \ \Leftrightarrow\ \ -12\leqq 49M\leqq 245\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{12}{49}\leqq m\leqq\frac{587}{49}=5\end{align*}}$
a1～a258の間に7の倍数である項は6個ある。
よって、積a1a2･･･a258に含まれる素因数7の個数は
37+6+1=44個
a258の次に7の倍数が現れるのはa265であり、これは72の倍数ではない。
以上より、積a１a２・・・anが745の倍数となる最小の自然数nは、
n=265
である。
(３)は、試しにn=258を調べたらたまたま44個だったのでラッキーでしたｗｗ
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第４問
赤玉2個、青玉1個、白玉1個が入った袋が置かれた円形のテーブルの周りに
A、B、Cの3人がこの順番で時計回りに着席している。3人のうち、ひとりが袋
から玉を1個取り出し、色を確認したら袋にもどす操作を考える。1回目はAが
玉を取り出し、次のルール(a)、(b)、(c)に従って勝者が決まるまで操作を繰り
返す。
(a) 赤玉を取り出したら、取り出した人を勝者とする。
(b) 青玉を取り出したら、次の回も同じ人が玉を取り出す。
(c) 白玉を取り出したら、取り出した人の左隣りの人が次の回に玉を取り出す。
A、B、Cの3人がn回目に玉を取り出す確率をそれぞれan、bn、cn （n=1，2，･･･）
とする。ただし、a１=1、b１=c１=0である。以下の問いに答えよ。
(１) A が4回目に勝つ確率と7回目に勝つ確率をそれぞれ求めよ。
(２) dn=an+bn+cn（n=1，2，・・・) とおくとき、dnを求めよ。
(３) 自然数n≧3に対し、an+1をan-2とnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
【Aが4回目に勝つ場合】
1～3回目に
3回すべて青 または 3回すべて白
のように玉を取り出し、4回目に赤を取り出せばよいので、確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\right)^3\cdot\frac{1}{2}\cdot 2=\underline{\sf \frac{1}{64}}\end{align*}}$
【Aが7回目に勝つ場合】
1～6回目に
6回すべて青 または
6回すべて白 または
白と青を3回ずつ
のようにに玉を取り出し、7回目に赤を取り出せばよいので、確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\right)^6\cdot\frac{1}{2}\cdot 2+ _6C_3\left(\frac{1}{4}\right)^3\left(\frac{1}{4}\right)^3\cdot\frac{1}{2}=\underline{\sf \frac{11}{4096}}\end{align*}}$
(２)
1回の操作において、青または白の玉を取り出せば勝者が決まらないので、
その確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
dnは、n回目の操作を行う、すなわち1～n-1回目の操作で勝者が決まらない
確率なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf d_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}\end{align*}}$
(３)
n-2回目にAが玉を取り出すとき、
n+1回目にAが取り出すためには、n-2、n-1、n回目に
3回とも青色、または、3回とも白色の玉を取り出せばよい。
n-2回目にBが玉を取り出すとき、
n+1回目にAが取り出すためには、n-2、n-1、n回目に
青を1回、白を2回取り出せばよい。
n-2回目にCが玉を取り出すとき、
n+1回目にAが取り出すためには、n-2、n-1、n回目に
青を2回、白を1回取り出せばよい。
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}&=\sf \frac{2}{4^3}a_{n-2}+\frac{3}{4^3}b_{n-2}+\frac{3}{4^3}c_{n-2}\\ &=\sf \frac{1}{4^3}\bigg\{2a_{n-2}+3\left(d_{n-2}-a_{n-2}\right)\bigg\}\\ &=\sf \frac{1}{4^3}\left(3d_{n-2}-a_{n-2}\right)\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{4^3}\left\{3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-3}-a_{n-2}\right\}}\end{align*}}$
ルールをちゃんと把握さえすれば、そんなに難しくないと思います。
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第５問
2つの複素数$\small\sf{\alpha}$ =10000+10000iとw=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{4}+\frac{1}{4}\ i\end{align*}}$ を用いて、複素数平面上の
点Pn(zn)をzn=$\small\sf{\alpha}$ wn （n=1，2，･･･）により定める。ただし、i は虚数単位
を表す．2と3の常用対数をlog102 =0.301 、log103 =0.477として、以下
の問いに答えよ。
(１) znの絶対値 |zn| と偏角arg znを求めよ。
(２) |zn|≦1が成り立つ最小の自然数nを求めよ。
(３) 下図のように、複素数平面上の△ABCは線分ABを斜辺とし、点C$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{i}{\sqrt2}\right)\end{align*}}$ を
一つの頂点とする直角三角形である。なおA、Bを表す複素数の虚部は負
であり、原点Oと2点A、Bの距離はともに1である。点Pnが△ABC の内部
に含まれる最小の自然数nを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、ｗを極形式で表すと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=10000\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\ \ ,\ \ w=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z_n\right|&=\sf \left|\alpha w^n\right|\\ &=\sf \left|\alpha\right|\left|w\right|^n\\ &=\sf \underline{\sf \frac{10000\sqrt2}{2^n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \arg z_n&=\sf \arg\left(\alpha w^n\right)\\ &=\sf \arg \alpha+n\arg w\\ &=\sf \underline{\sf \left(\frac{1}{4}+\frac{n}{6}\right)\pi}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z_n\right|=\frac{10000\sqrt2}{2^n}\leqq 1\end{align*}}$
両辺の常用対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_{10}\frac{10000\sqrt2}{2^n}\leqq\log_{10}1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4+\frac{1}{2}\log_{10}2+n\log_{10}2\leqq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4+0.1505-0.301n\leqq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n\geqq 13.7\ldots\end{align*}}$
よって、これを満たす最小の自然数ｎは、n=14である。
(３)
点Pnが△ABCの内部に含まれるためには、少なくとも|zn|＜1である
必要がある。(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z_{14}\right|=\frac{10000\sqrt2}{2^{14}}\ \ ,\ \ \arg z_{14}=\frac{31}{12}\pi=2\pi+\frac{7}{12}\pi\end{align*}}$
直線OP１4とACとの交点をDとすると、△OCDは
∠COD=15°、∠OCD=45°、∠ODC=120°、OC=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
なので、正弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\frac{1}{\sqrt2}}{\sin 1210^{\circ}}=\frac{OD}{\sin 45^{\circ}}\ \ \Leftrightarrow\ \ OD=\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{10000\sqrt2}{2^{14}}=4+\frac{1}{2}\log_{10}2-14\log_{10}2=-0.0635\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{1}{2}\log_{10}3=-0.2385\end{align*}}$
底10＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{10000\sqrt2}{2^{14}}>\log_{10}\frac{1}{\sqrt3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{10000\sqrt2}{2^{14}}>\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
となるので、OP14＞OD.
よって、P14は△ABCの外部にある。
n=15のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z_{15}\right|=\frac{10000\sqrt2}{2^{15}}\ \ ,\ \ \arg z_{14}=\frac{11}{4}\pi=2\pi+\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$
直線OP１5とACとの交点をEとすると、△OCEは
∠COE=∠OCE=45°、∠OEC=90°、OC=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OE=OC\sin 45^{\circ}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{10000\sqrt2}{2^{15}}=4+\frac{1}{2}\log_{10}2-15\log_{10}2=-0.3645\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{1}{2}=-\log_{10}2=-0.3010\end{align*}}$
底10＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{10000\sqrt2}{2^{15}}<\log_{10}\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{10000\sqrt2}{2^{15}}<\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、OP15＜OE.
よって、P15は△ABCの内部にあるので、題意を満たす最小の自然数nの値は、
n=15
である。
(３)で、OP14とODの大小を比較する必要がありますが、
与えられているlog103=0.477というのがヒントになってます。
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