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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017九州大 理系数学1



第1問

  定数a>0に対し、曲線y=atanxの0≦x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の部分をC、曲線y=sin2x
  の0≦x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の部分をCとする。以下の問いに答えよ。

 (1) CとCが原点以外に交点をもつためのaの条件を求めよ。

 (2) aが(1)の条件を満たすとき、原点以外のCとCの交点をPとし、
    Pのx座標をpとする。PにおけるCとCのそれぞれの接線が直交
    するとき、aおよびcos2pの値を求めよ。

 (3) aが(2)で求めた値のとき、CとCで囲まれた図形の面積を求めよ。




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2017九州大 理系数学2



第2問

  2つの定数a>0およびb>0に対し、座標空間内の4点を
    A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,1)、D(a,b,1)
  と定める。以下の問いに答えよ。

 (1) 点Aから線分CDにおろした垂線とCDの交点をGとする。
    Gの座標をa、bを用いて表せ。

 (2) さらに、点Bから線分CDにおろした垂線とCDの交点をH
    とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AG}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BH}\end{align*}}$ がなす角を$\small\sf{\theta}$ とするとき、cos$\small\sf{\theta}$ をa、b
    を用いて表せ。




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2017九州大 理系数学3



第3問

  初項a=1、公差4の等差数列{an}を考える。以下の問いに答えよ。

 (1) {an} の初項から第600項のうち、7の倍数である項の個数を求めよ。

 (2) {an} の初項から第600項のうち、7の倍数である項の個数を求めよ。

 (3) 初項から第n項までの積aa・・・anが745の倍数となる最小の自然数
    nを求めよ。




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2017九州大 理系数学4



第4問

  赤玉2個、青玉1個、白玉1個が入った袋が置かれた円形のテーブルの周りに
  A、B、Cの3人がこの順番で時計回りに着席している。3人のうち、ひとりが袋
  から玉を1個取り出し、色を確認したら袋にもどす操作を考える。1回目はAが
  玉を取り出し、次のルール(a)、(b)、(c)に従って勝者が決まるまで操作を繰り
  返す。
   (a) 赤玉を取り出したら、取り出した人を勝者とする。
   (b) 青玉を取り出したら、次の回も同じ人が玉を取り出す。
   (c) 白玉を取り出したら、取り出した人の左隣りの人が次の回に玉を取り出す。
  A、B、Cの3人がn回目に玉を取り出す確率をそれぞれan、bn、cn (n=1,2,・・・)
  とする。ただし、a=1、b=c=0である。以下の問いに答えよ。

 (1) A が4回目に勝つ確率と7回目に勝つ確率をそれぞれ求めよ。

 (2) dn=an+bn+cn(n=1,2,・・・) とおくとき、dnを求めよ。

 (3) 自然数n≧3に対し、an+1をan-2とnを用いて表せ。


                img22.jpg





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2017九州大 理系数学5



第5問

   2つの複素数$\small\sf{\alpha}$ =10000+10000⁢iとw=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{4}+\frac{1}{4}\ i\end{align*}}$ を用いて、複素数平面上の
  点Pn(zn)をzn=$\small\sf{\alpha}$ wn (n=1,2,・・・)により定める。ただし、i は虚数単位
  を表す.2と3の常用対数をlog10⁡2 =0.301 、log10⁡3 =0.477として、以下
  の問いに答えよ。

 (1) znの絶対値 |zn| と偏角arg znを求めよ。

 (2) |zn|≦1が成り立つ最小の自然数nを求めよ。

 (3) 下図のように、複素数平面上の△ABCは線分ABを斜辺とし、点C$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{i}{\sqrt2}\right)\end{align*}}$ を
    一つの頂点とする直角三角形である。なおA、Bを表す複素数の虚部は負
    であり、原点Oと2点A、Bの距離はともに1である。点Pnが△ABC の内部
    に含まれる最小の自然数nを求めよ。


       img25_201706100153420b4.jpg



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