青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関東の大学　.一橋大　2017

2017一橋大　数学１

第１問

　　実数a、bはa≧1、b≧1、a+b=9を満たす。

　(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \log_3a+\log_3b\end{align*}}$ の最大値と最小値を求めよ。

　(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \log_2a+\log_4b\end{align*}}$ の最大値と最小値を求めよ。

　　　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　a≧1、b≧1、a+b=9より、b=9-a、1≦a≦8

　(１)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\log_3a+\log_3b\end{align*}}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf \log_3ab\\ &=\sf \log_3a\left(9-a\right)\\ &=\sf \log_3\left(-a^2+9a\right)\end{align*}}$
　　　　ここで、関数f(a)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(a)=-a^2+9a=-\left(a-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{81}{4}\ \ \ \ \left(1\leqq a\leqq 8\right)\end{align*}}$
　　　　とおくと、f(a)の最大値・最小値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(a)_{max}=f\left(\frac{9}{2}\right)=\frac{81}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(a)_{min}=f\left(1\right)=f\left(8\right)=8\end{align*}}$
　　　　なので、Lの最大値・最小値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_{max}=\log_3\frac{81}{4}=\underline{\sf 4-2\log_32}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_{min}=\log_38=\underline{\sf 3\log_32}\end{align*}}$

　(２)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\log_2a+\log_4b\end{align*}}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M&=\sf \frac{\log_4a}{\log_42}+\log_4b\\ &=\sf \log_4a^2+\log_4\left(9-a\right)\\ &=\sf \log_4a^2\left(-a+9\right)\end{align*}}$
　　　　ここで、関数h(a)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(a)=a^2\left(-a+9\right)=-a^3+9a^2\ \ \ \ \left(1\leqq a\leqq 8\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(a)=-3a^2+18a=-3a\left(a-6\right)\end{align*}}$
　　　　とおくと、h(a)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　　よって、h(a)の最大値・最小値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(a)_{max}=h\left(6\right)=108\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(a)_{min}=f\left(1\right)=8\end{align*}}$
　　　　なので、Mの最大値・最小値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M_{max}=\log_4 108=\underline{\sf 1+\frac{3}{2}\log_23}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M_{min}=\log_4 8=\underline{\sf \frac{3}{2}}\end{align*}}$

　　これは平易ですね。　　

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2017一橋大　数学２

第２問

　　連立方程式
　　　　　x²=yz+7
　　　　　y²=zx+7
　　　　　z²=xy+7
　　を満たす整数の組(x，y，z)でx≦y≦zとなるものを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　x²=yz+7　　・・・・・・・①
　　　　　y²=zx+7　　・・・・・・・②
　　　　　z²=xy+7　　・・・・・・・③

　　(ⅰ) x=y=zのとき
　　　　　①は、　x²=x²+7 となるので不適

　　(ⅱ) x=y＜zのとき
　　　　　②-③より
　　　　　　　　　y²-z²=x(z-y)　　⇔　　y+z=-x　　（∵ y≠z）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　x+y+z=0　　・・・・・・・④
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　z=-2y
　　　　　これを③に代入すると、
　　　　　　　　　(-2y)²=y²+7　　⇔　 3y²=7
　　　　　となり、これを満たす整数yは存在しない。

　　(ⅲ) x＜y=zのとき
　　　　　(ⅱ)と同様、①-②より x=-2zとなり、
　　　　　これを①に代入した式 3ｚ²=7 を満たす整数xは存在しない。

　　(ⅳ) x＜y＜zのとき
　　　　　このときも④を満たすので、x＜0＜zとなる。
　　　　　よって、zx＜0なので、②より、
　　　　　　　　y²=zx+7＜7
　　　　　これを満たす整数yは、y=0，±1，±2
　　　　　また、①、④よりzを消去すると、
　　　　　　　　x²=y(-x-y)+7　 ⇔　 x²+xy+y²-7=0　　・・・・・・・⑤

　　　　　・y=0のとき
　　　　　　　　⑤は、x²-7=0　となり、これを満たす整数xは存在しない

　　　　　・y=1のとき
　　　　　　　　⑤は、x²-x-6=0　xは負の整数なので、x=-3
　　　　　　　　このとき、z=2

　　　　　・y=-１のとき
　　　　　　　　⑤は、x²+x-6=0　xは負の整数なので、x=-2
　　　　　　　　このとき、z=3

　　　　　・y=2のとき
　　　　　　　　⑤は、x²+2x-3=0　xは負の整数なので、x=-3
　　　　　　　　このとき、z=1となるが、y＜zを満たさない

　　　　　・y=-2のとき
　　　　　　　　⑤は、x²-2x-3=0　xは負の整数なので、x=-1
　　　　　　　　このときx＜yを満たさない

　　　以上より、求める整数解は、
　　　　　　(x，y，z)=(-3，1，2)、(-2，-1，3)

　　毎年恒例の整数方程式です。　　

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2017一橋大　数学３

第３問

　　 P(0)=1 、 P(x+1)-P(x)=2xを満たす整式P(x)を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　P(x)をn次式とすると、　
　　　　　　　　P(x)=axⁿ+bx^n-1+f(x)
　　　　　　　　　　（a、bは定数、a≠0、f(x)は高々n-2次の整式）
　　　と表すことができる。
　　　二項定理より
　　　　　　　　P(x+1)=a(x+1)ⁿ+b(x+1)^n-１+f(x+1)
　　　　　　　　　　　　 =a(xⁿ+nx^n-1+・・・+1)+b(x^n-1+・・・+1)+f(x+1)
　　　なので、
　　　　　　　　2x=P(x+1)-P(x)=anx^n-1+g(x)　　（g(x)は高々n-2次の整式）
　　　よって、最高次の項の次数と係数を比較すると、
　　　　　　　　1=n-1　かつ 2=an　より n=2、a=1
　　　となるので、P(x)は、x²の係数が1の二次式であり、
　　　P(0)=1なので、定数bを用いて
　　　　　　　　P(x)=x²+bx+1
　　　と表せる。
　　　　　　　　　P(x+1)-P(x)=(x+1)²+b(x+1)+1-(x²+bx+1)
　　　　　⇔　　 2x=2x+1+b
　　　これが任意のxに対して成り立つので、b=-1．
　　　
　　　以上より、題意を満たすP(x)は
　　　　　　　　　P(x)=x²-x+1
　　　である。

　　まずは次数を決定しましょう。　　

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2017一橋大　数学４

第４問

　　正の実数a、b、cはa +b+c=1を満たす。連立不等式
　　　　　|ax+by|≦1 、 |cx-by|≦1
　　の表すxy平面の領域をDとする。Dの面積の最小値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|ax+by\right|\leqq 1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -1\leqq ax+by\leqq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -ax-1\leqq by\leqq -ax+1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -\frac{a}{b}x-\frac{1}{b}\leqq y\leqq -\frac{a}{b}x+\frac{1}{b}\ \ \ \ \left(\because\ b>0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|cx-by\right|\leqq 1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -1\leqq -cx+by\leqq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf cx-1\leqq by\leqq cx+1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{c}{b}x-\frac{1}{b}\leqq y\leqq \frac{c}{b}x+\frac{1}{b}\ \ \ \ \left(\because\ b>0\right)\end{align*}}$
　　　より、領域Dは原点を中心とする平行四辺形の周および内部である。
　　　　　
　　　図のように4頂点をP、Q、R、Sとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(0,\frac{1}{b}\right)\ \ ,\ \ R\left(0,-\frac{1}{b}\right)\end{align*}}$
　　　また、Sのx座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a}{b}x+\frac{1}{b}=\frac{c}{b}x-\frac{1}{b}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2}{a+c}=\frac{2}{1-b}\ \ \ \left(\because\ a+b+c=1\right)\end{align*}}$
　　　よって、領域Dの面積をS_Dとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_D&=\sf 2\triangle PRS\\ &=\sf 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{b}\cdot\frac{2}{1-b}\\ &=\sf \frac{4}{-b^2+b}\\ &=\sf \frac{4}{-\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}\\ &\geqq\sf \frac{4}{\frac{1}{4}}\\ &=\sf 16\end{align*}}$
　　　よって、S_Dの最小値は16である。

　　これも難しくないので、完答したいですね。　　

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2017一橋大　数学５

第５問

　　 xy平面上の直線x=y+1をk、yz平面上の直線y =z+1をL、xz平面上の直線
　　z=x+1をmとする。直線k上に点P₁(1，0，0)をとる。L上の点P₂をP₁P₂⊥Lと
　　なるように定め、m上の点P₃をP₂P₃⊥mとなるように定め、k上の点P₄をP₃P₄
　　⊥kとなるように定める。以下、同様の手順でL、k、m、L、k、m、･･･上の点P₅、
　　P₆、P₇、P₈、P₉、P₁₀を定める。

　(１) 点P_２、P_３の座標を求めよ。

　(２) 線分P_nP_n+1の長さをnを用いて表せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　k、L、mの方向ベクトルをそれぞれ $\rm \overrightarrow{\rm d_k}$ 、 $\rm \overrightarrow{\rm d_L}$ 、 $\rm \overrightarrow{\rm d_m}$ とおくと、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm d_k}=\left(1,1,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\rm d_L}=\left(0,1,1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\rm d_m}=\left(1,0,1\right)$

　(１)
　　　P₂はL上にあるので、実数a₂を用いて
　　　　　　　　 $\rm P_2\left(0,a_2+1,a_2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\rm P_1P_2}=\left(-1,a_2+1,a_2\right)$
　　　と表せる。P₁P₂⊥Lより
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm P_1P_2}\cdot\overrightarrow{\rm d_L}=0+\left(a_2+1\right)+a_2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a_2=-\frac{1}{2}$
　　　よって、P₂の座標は
　　　　　　　　 $\rm \underline{\rm P2\left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)}$

　　　P₃はm上にあるので、実数a₃を用いて
　　　　　　　　 $\rm P_3\left(a_3,0,a_3+1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\rm P_2P_3}=\left(a_3,-\frac{1}{2},a_3+\frac{3}{2}\right)$
　　　と表せる。P₂P₃⊥mより
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm P_2P_3}\cdot\overrightarrow{\rm d_m}=a_3+0+\left(a_3+\frac{3}{2}\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a_3=-\frac{3}{4}$
　　　よって、P₃の座標は
　　　　　　　　 $\rm \underline{\rm P3\left(-\frac{3}{4},0,\frac{1}{4}\right)}$

　(２)
　　　(ⅰ) P_nがk上にあるとき
　　　　　　P_n+1はL上にあるので、実数a_n、a_n+1を用いて
　　　　　　　　 $\rm P_{n}\left(a_n+1,a_{n},0\right)\ \ ,\ \ P_{n+1}\left(0,a_{n+1}+1,a_{n+1}\right)$
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm P_nP_{n+1}}=\left(-a_n-1,a_{n+1}-a_n+1,a_{n+1}\right)$
　　　　　　P_nP_n+1⊥Lなので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm P_nP_{n+1}}\cdot\overrightarrow{\rm d_l}=2a_{n+1}-a_n+1=0$

　　　(ⅱ) P_nがL上にあるとき
　　　　　　P_n+1はm上にあるので、実数a_n、a_n+1を用いて
　　　　　　　　 $\rm P_{n}\left(0,a_n+1,a_{n}\right)\ \ ,\ \ P_{n+1}\left(a_{n+1},0,a_{n+1}+1\right)$
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm P_nP_{n+1}}=\left(a_{n+1},-a_n-1,a_{n+1}-a_n+1\right)$
　　　　　　P_nP_n+1⊥mなので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm P_nP_{n+1}}\cdot\overrightarrow{\rm d_m}=2a_{n+1}-a_n+1=0$

　　　(ⅲ) P_nがm上にあるとき
　　　　　　P_n+1はk上にあるので、実数a_n、a_n+1を用いて
　　　　　　　　 $\rm P_{n}\left(a_{n},0,a_n+1\right)\ \ ,\ \ P_{n+1}\left(a_{n+1}+1,a_{n+1},0\right)$
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm P_nP_{n+1}}=\left(a_{n+1}-a_n+1,a_{n+1},-a_n-1\right)$
　　　　　　P_nP_n+1⊥kなので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm P_nP_{n+1}}\cdot\overrightarrow{\rm d_k}=2a_{n+1}-a_n+1=0$

　　　(ⅰ)～(ⅲ)いずれの場合も、a_nとa_n+1の間に
　　　　　　　　 $\rm 2a_{n+1}-a_n+1=0$ 　　　・・・・・・・(*)
　　　が成り立つ。(*)は
　　　　　　　　 $\rm a_{n+1}+1=\frac{1}{2}\left(a_n+1\right)$
　　　と変形できるので、数列{a_n+1}は等比数列をなす。
　　　　　　 $\rm a_n+1=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(a_1+1\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+1$

　　　一方、線分P_nP_n+1の長さは(ⅰ)～(ⅲ)のいずれの場合も
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \left|P_nP_{n+1}\right|^2&=\rm \left(-a_n-1\right)^2+\left(a_{n+1}-a_n+1\right)^2+\left(a_{n+1}\right)^2\\ &=\rm \left(-2a_{n+1}-2\right)^2+\left(-a_{n+1}\right)^2+\left(a_{n+1}\right)^2\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\rm 6\left(a_{n+1}\right)^2+8a_{n+1}+4\\ &=\rm 6\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+1\right\}^2+8\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+1\right\}+4\\ &=\rm 6\left(\frac{1}{4}\right)^{n}-4\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+2\end{align*}$
　　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm P_nP_{n+1}=\underline{\rm \sqrt{6\left(\frac{1}{4}\right)^{n}-4\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+2}}$

　　(ⅰ)～(ⅲ)の場合分けが面倒ですが、成分の順番を入れ替えていくだけなので、
　　あまり頭を使う必要はありません。　　

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