第１問
sを正の実数とする。鋭角三角形ABCにおいて、辺ABをs：1に内分する
点をDとし、辺BCをs：3に内分する点をEとする。線分CDと線分A の交
点をFとする。以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf\overrightarrow{\sf AF}=\alpha \overrightarrow{\sf AB}+\beta\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ を求めよ。
(２) Fから辺ACに下ろした垂線をFGとする。FGの長さが最大となるときの
sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{DB}{ AD}\cdot\frac{CE}{BC}\cdot\frac{FA}{EF}=\frac{1}{s}\cdot\frac{3}{s+3}\cdot\frac{FA}{EF}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AF:FE=s\left(s+3\right):3\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AF}&=\sf \frac{s\left(s+3\right)}{s^2+3s+3}\ \overrightarrow{\sf AE}\\ &=\sf \frac{s\left(s+3\right)}{s^2+3s+3}\cdot\frac{3\overrightarrow{\sf AB}+s\overrightarrow{\sf AC}}{s+3}\\ &=\sf \frac{3s}{s^2+3s+3}\overrightarrow{\sf AB}+\frac{s^2}{s^2+3s+3}\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \alpha=\frac{3s}{s^2+3s+3}\ \ ,\ \ \beta=\frac{s^2}{s^2+3s+3}}\end{align*}}$
(２)
FGの長さが最大になるのは、△AFCの面積が最大になるときである。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle AFC&=\sf \frac{AF}{AE}\triangle ABC\\ &=\sf \frac{AF}{AE}\cdot\frac{EC}{BC}\ \triangle ABC\\ &=\sf \frac{s\left(s+3\right)}{s^2+3s+3}\cdot\frac{3}{s+3}\ \triangle ABC\\ &=\sf \frac{3s}{s^2+3s+3}\triangle ABC\end{align*}}$
ここで、s＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3s}{s^2+3s+3}&=\sf \frac{3}{s+\frac{3}{s}+3}\\ &\leqq\sf \frac{3}{2\sqrt{s\cdot\frac{3}{s}}+3}\\ &=\sf \frac{3}{2\sqrt2+3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle AFC\geqq\frac{3}{2\sqrt2+3}\triangle ABC\end{align*}}$
△AFCの面積が最大になるのは、相加相乗平均の等号が成立するとき
なので、sの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{3}{s}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf s=\sqrt3\ \ (>0)}\end{align*}}$
である。
(１)は、いつも通りメネラウスで誤魔化しましたｗｗ
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第２問
p、qを実数とする。関数f(x)=x2+px+qの-1≦x≦2における最小値が
0以上となる点(p，q)全体からなる領域をDとする。以下の問いに答えよ。
(１) pq平面上に領域Dを図示せよ。
(２) Dの点(p，q)でq≦5を満たすものの全体のなす図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2}{4}+q\end{align*}}$
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ 2<-\frac{p}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ p<-4\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{min}=f(2)=4+2p+q\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ q\geqq -2p-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ -1\leqq -\frac{p}{2}\leqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ -4\leqq p\leqq 2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{min}=f\left(-\frac{p}{2}\right)=-\frac{p^2}{4}+q\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ q\geqq \frac{p^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ -\frac{p}{2}<-1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\lt p\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{min}=f(-1)=1-p+q\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ q\geqq p-1\end{align*}}$
これらを図示すると、下図のようになる。
(２)
Dの点(p，q)でq≦5を満たすものの全体のなす図形は下図のようになる。
赤色の三角形の面積
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}\end{align*}}$
水色部分の面積
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-4}^2\left(5-\frac{p^2}{4}\right)dp= \left[5p-\frac{p^3}{12}\right]_{-4}^2=24\end{align*}}$
緑色の三角形の面積
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1=8\end{align*}}$
以上より、求める面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}+24+8=\underline{\sf \frac{129}{4}}\end{align*}}$
これも難しくありません。
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第３問
aを3で割り切れない正の整数とする。aを3で割ったときの商をb、
余りをcとする。次の問いに答えよ。
(１) c=2のとき、2a+1=as+3 を満たす負でない整数s、tをbを用
いて表せ。
(2) nをn≧2a-2を満たす整数とする。このときn=as+3tを満たす
負でない整数s、tが存在することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
題意より、
a=3b+c (b≧0、 c=1，2)
(１)
c=2のとき
2a+1=as+3t ⇔ 2(3b+2)+1=(3b+2)s+3t
⇔ 3{b(s-2)+t}=5-2s ・・・・・・・(*)
・s=0のとき
(*) ⇔ 3(t-2b)=5
となり、左辺は3の倍数であるが、右辺は3の倍数ではないので不適
・s=1のとき
(*) ⇔ 3(t-b)=3 t=b+1 ＞0
・s=2のとき
(*) ⇔ 3t=1
となり、これを満たす整数tは存在しない
・s≧3のとき
(*)の左辺=3(b+t) ＞0
(*)の右辺=5-6＜0
となり矛盾する。
以上より、題意を満たすs、tは、s=1、t=b+1である。
(２)
「n=as+3tを満たす負でない整数s、tが存在する」・・・・・・・(A)
が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=2a-2のとき
2a-2=as+3t ⇔ 2(3b+c)-2=(3b+c)s+3t
⇔ 3{(s-2)b+t}=(s-2)c+2
・c=1のとき
3{(s-2)b+t}=s となり、s=0、t=2b はこれを満たす
・c=2のとき
3{(s-2)b+t}=2(s-1) となり、s=1、t=b はこれを満たす
(ⅱ) n=2a-1のとき
2a-1=as+3t ⇔ 3{(s-2)b+t}=(s-2)c+1
・c=1のとき
3{(s-2)b+t}=s-1 となり、s=1、t=b はこれを満たす
・c=2のとき
3{(s-2)b+t}=2s-3 となり、s=0、t=2b-1 はこれを満たす。
（∵b≧1より2b-1＞0）
(ⅲ) n=2aのとき
2a=as+3t ⇔ 3{(s-2)b+t}=(s-2)c
となり、s=2、t=b はこれを満たす
(ⅳ) n=Nで(*)が成り立つと仮定すると、
N=as0+3t0を満たす負でない整数s0、t0が存在する。
n=N+3のとき
N+3=as0+3t0+3
=as0+3(t0+1)
となるので、s=s0、t=t0+1とすれば(A)を満たす。
以上より、n≧2a-2であるすべての整数nに対して、n=as+3tを満たす
負でない整数s、tが存在する
(２)は捨て問題ですかねｗ？
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第４問
A君とB君はそれぞれ、0から5までの数字が1つずつ書かれた6枚の
カードが入った箱を1つもっている。2人は、自分の箱の中から無作為
に3枚のカードを取り出して得点を競うゲームをする。取り出された3枚
のカードに0が含まれていない場合の得点は3枚のカードに書かれた数
の平均値とし、0が含まれている場合は残り2枚のカードに書かれた数
の合計とする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) A君、B君の少なくとも一方が0を取り出して、しかも双方とも得点が
3点となる確率を求めよ。
(２) A君の得点が整数でなく、かつB君の得点より大きい確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
得点が3点になるカードの組み合わせは、
・0が含むときは(0，1，2)
・0を含まないときは(1，3，5)、(2，3，4)
なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1^2+2\cdot1\cdot 2}{\left(_6C_3\right)^2}=\underline{\sf \frac{1}{80}}\end{align*}}$
(２)
得点が2点になる3数の組み合わせは
(1，2，3)の1通り
得点が$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{3}\end{align*}}$ 点になる3数の組み合わせは、
(1，2，4)の1通り
得点が$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{3}\end{align*}}$ 点になる3数の組み合わせは、
(1，2，5)、(1，3，4)の2通り
得点が3点になる3数の組み合わせは
(0，1，2)、(1，3，5)、(2，3，4)の3通り
得点が$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{3}\end{align*}}$ 点になる3数の組み合わせは、
(1，4，5)、(2，3，5)の2通り
得点が$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{3}\end{align*}}$ 点になる3数の組み合わせは、
(2，4，5)の1通り
これ以外の組み合わせはすべて得点が4以上の整数となる。
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 7+1\cdot 9}{\left(_6C_3\right)^2}=\underline{\sf \frac{7}{100}}\end{align*}}$
全部書き出しましょう！
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