第１問
a、bを実数とする。y=|x２-4|で表される曲線をCとし、y=ax+bで
表される直線をLとする。
(１) Lが点(-2，0)を通り、LとCがちょうど3つの共有点をもつような
a、bの条件を求めよ。
(２) LとCがちょうど3つの共有点をもつような点(a，b)の軌跡をab
平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Lが点(-2，0)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-2a+b\ \ \Leftrightarrow\ \ b=2a\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_1\left(x\right)=x^2-4\ \ \ \ \left(x<-2\ ,\ 2\lt x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_2\left(x\right)=-x^2+4\ \ \ \ \left(-2\leqq x\leqq 2\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_2 '\left(x\right)=-2x\ \ ,\ \ f_2\ '\left(-2\right)=4\end{align*}}$
なので、0＜a＜4であれば、LはCと3つの共有点を持つ（図１）。
以上より、求める条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf b=2a\ \ ,\ \ 0\lt a<4}\end{align*}}$
(２)
Lが点(2，0)を通り、LとCがちょうど3つの共有点をもつための条件は、
(１)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=-2a\ \ ,\ \ -4\lt a<0\end{align*}}$
となる（図２）。
一方、図3のようにLとy=f2(x)が接するときも、LとCがちょうど3つの
共有点をもつことになる。2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2+4=ax+b\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+ax+b-4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}+b-4=0\end{align*}}$
となり、これが-2＜x＜2の範囲に重解を持てばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a^2}{4}+b-4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{a^2}{4}+4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2<-\frac{a}{2}<2\ \ \Leftrightarrow\ \ -4\lt a<4\end{align*}}$
これらを満たす点(a，b)の軌跡を図示すると下図のようになる。
（ただし、白丸の点は除く）
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第２問
A君とB君はそれぞれ、0から5までの数字が1つずつ書かれた6枚の
カードが入った箱を1つもっている。2人は、自分の箱の中から無作為
に3枚のカードを取り出して得点を競うゲームをする。取り出された3枚
のカードに0が含まれていない場合の得点は3枚のカードに書かれた数
の平均値とし、0が含まれている場合は残り2枚のカードに書かれた数
の合計とする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) A君、B君の少なくとも一方が0を取り出して、しかも双方とも得点が
3点となる確率を求めよ。
(２) A君の得点がB君の得点より大きいとき、Ａ君の得点が整数ではない
確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
得点が3点になるカードの組み合わせは、
・0が含むときは(0，1，2)
・0を含まないときは(1，3，5)、(2，3，4)
なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1^2+2\cdot1\cdot 2}{\left(_6C_3\right)^2}=\underline{\sf \frac{1}{80}}\end{align*}}$
(２)
得点と3数の組み合わせは
2点・・・ (1，2，3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{3}\end{align*}}$ 点・・・ (1，2，4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{3}\end{align*}}$ 点・・・ (1，2，5)、(1，3，4)
3点・・・ (0，1，2)、(1，3，5)、(2，3，4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{3}\end{align*}}$ ・・・ (1，4，5)、(2，3，5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{3}\end{align*}}$ 点・・・ (2，4，5)
4点・・・ (3，4，5)、(0，1，3)
5点・・・ (0，1，4)、(0，2，3)
6点・・・ (0，1，5)、(0，2，4)
7点・・・ (0，2，5)、(0，3，4)
8点・・・ (0，3，5)
9点・・・ (0，4，5)
Aが9点で勝つのは、1×19=19通り
8点で勝つのは、1×18=18通り
7点で勝つのは、2×16=32通り
6点で勝つのは、2×14=28通り
5点で勝つのは、2×12=24通り
4点で勝つのは、2×10=20通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{3}\end{align*}}$ 点で勝つのは、1×9=9通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{3}\end{align*}}$ 点で勝つのは、2×7=14通り
3点で勝つのは、3×4=12通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{3}\end{align*}}$ 点で勝つのは、2×2=4通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{3}\end{align*}}$ 点で勝つのは、1×1=1通り
よって、Aが勝つ確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{19+18+32+28+24+20+9+14+12+4+1}{\left(_6C_3\right)^2}=\frac{181}{400}\end{align*}}$
Aが整数でない得点で勝つ確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9+14+4+1}{\left(_6C_3\right)^2}=\frac{28}{400}\end{align*}}$
なので、求める条件付き確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\frac{28}{400}}{\frac{181}{400}}=\underline{\sf \frac{28}{181}}\end{align*}}$
全部書き出しましょう！
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第３問
a、b、cを1以上7以下の互いに異なる整数とする。
(１) 2次方程式ax２+bx+c=0が有理数解をもつような組(a，b，c)の
総数を求めよ。
(２) 2次方程式ax２+bx+c=0が少なくとも一つの整数解をもつような
組(a，b，c)の総数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
二次方程式ax２+bx+c=0の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}}$
これが有理数になるためには、根号の中が平方数であればよいので、
0以上の整数nを用いて、b2-4ac=n2と表せる。
このとき、
n2=b2-4ac≧0 ⇔ b2≧4ac≧8
より、b=3，4，5，6，7である。
また明らかにb＞nであり、bとnの偶奇は一致する。
よって、a、b、cの値の組(a，b，c)は
(ⅰ) b=3のとき
32-4ac=12 ⇔ ac=2
⇔ (a，b，c)=(1，3，2)、(2，3，1)
(ⅱ) b=4のとき
42-4ac=22 ⇔ ac=3
⇔ (a，b，c)=(1，4，3)、(3，4，1)
42-4ac=02 ⇔ ac=4
これを満たすa、cは存在しない
(ⅲ) b=5のとき
52-4ac=32 ⇔ ac=4
⇔ (a，b，c)=(1，5，4)、(4，5，1)
52-4ac=12 ⇔ ac=6
⇔ (a，b，c)=(1，5，6)、(6，5，1)、(2，5，3)、(3，5，2)
(ⅳ) b=6のとき
62-4ac=42 ⇔ ac=5
⇔ (a，b，c)=(1，6，5)、(5，6，1)
62-4ac=22 ⇔ ac=8
⇔ (a，b，c)=(2，6，4)、(4，6，2)
62-4ac=02 ⇔ ac=9
これを満たすa、cは存在しない
(ⅴ) b=7のとき
72-4ac=52 ⇔ ac=6
⇔ (a，b，c)=(1，7，6)、(6，7，1)、(2，7，3)、(3，7，2)
72-4ac=32 ⇔ ac=10
⇔ (a，b，c)=(2，7，5)、(5，7，2)
72-4ac=12 ⇔ ac=12
⇔ (a，b，c)=(2，7，6)、(6，7，2)、(3，7，4)、(4，7，3)
これらの総数は、24通りある。
(２)
(a，b，c)=(1，5，6)のとき
x2+5x+6=(x+2)(x+3)=0 となり整数解x=-2，-3をもつ
(a，b，c)=(6，5，1)のとき
6x2+5x+1=(2x+1)(3x+1)=0 となり整数解をもたない
(a，b，c)=(2，7，3)のとき
2x2+7x+3=(x+3)(2x+1)=0 となり整数解x=-3をもつ
(a，b，c)=(3，7，2)のとき
3x2+7x+2=(x+2)(3x+1)=0 となり整数解x=-2をもつ
(a，b，c)=(2，7，6)のとき
2x2+7x+6=(x+2)(2x+3)=0 となり整数解x=-2をもつ
(a，b，c)=(6，7，2)のとき
6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)=0 となり整数解をもたない
(１)の24通りのうち、これ以外の場合はすべてa-b+c=0を満たすので、
方程式ax2+bx+c=0は整数解x=-1をもつ。
よって、題意を満たすようなa、b、cの組は22通りある。
ひたすら書き上げていきましょう！
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第４問
sを正の実数とする。鋭角三角形ABCにおいて、辺ABをs：1に内分する
点をDとし、辺BCをs：3に内分する点をEとする。線分CDと線分A の交
点をFとする。以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AF}=\alpha\overrightarrow{\sf AB}+\beta\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ を求めよ。
(２) Fから辺ACに下ろした垂線をFGとする。FGの長さが最大となるときの
sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{DB}{ AD}\cdot\frac{CE}{BC}\cdot\frac{FA}{EF}=\frac{1}{s}\cdot\frac{3}{s+3}\cdot\frac{FA}{EF}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AF:FE=s\left(s+3\right):3\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AF}&=\sf \frac{s\left(s+3\right)}{s^2+3s+3}\ \overrightarrow{\sf AE}\\ &=\sf \frac{s\left(s+3\right)}{s^2+3s+3}\cdot\frac{3\overrightarrow{\sf AB}+s\overrightarrow{\sf AC}}{s+3}\\ &=\sf \frac{3s}{s^2+3s+3}\overrightarrow{\sf AB}+\frac{s^2}{s^2+3s+3}\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \alpha=\frac{3s}{s^2+3s+3}\ \ ,\ \ \beta=\frac{s^2}{s^2+3s+3}}\end{align*}}$
(２)
FGの長さが最大になるのは、△AFCの面積が最大になるときである。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle AFC&=\sf \frac{AF}{AE}\triangle ABC\\ &=\sf \frac{AF}{AE}\cdot\frac{EC}{BC}\ \triangle ABC\\ &=\sf \frac{s\left(s+3\right)}{s^2+3s+3}\cdot\frac{3}{s+3}\ \triangle ABC\\ &=\sf \frac{3s}{s^2+3s+3}\triangle ABC\end{align*}}$
ここで、s＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3s}{s^2+3s+3}&=\sf \frac{3}{s+\frac{3}{s}+3}\\ &\leqq\sf \frac{3}{2\sqrt{s\cdot\frac{3}{s}}+3}\\ &=\sf \frac{3}{2\sqrt2+3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle AFC\geqq\frac{3}{2\sqrt2+3}\triangle ABC\end{align*}}$
△AFCの面積が最大になるのは、相加相乗平均の等号が成立するとき
なので、sの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{3}{s}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf s=\sqrt3\ \ (>0)}\end{align*}}$
である。
文系との共通問題です。
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第５問
$\small\sf{\alpha,\beta,\gamma}$ を複素数とし、
$\small\sf{z\overline{\sf z}+\alpha\ z+\beta\ \overline{\sf z}+\gamma=0}$ ・・・・・・・(*)
を満たす複素数zを考える。以下の問いに答えよ。
(１) zは
$\small\sf{(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{\sf z}+\gamma-\overline{\gamma}=0}$
を満たすことを示せ。
(２) $\small\sf{\sf |\alpha|=|\beta|\ne 0}$ と仮定し、またγは負の実数であると仮定する。このとき、
(*)を満たすzがちょうど2個あるための必要十分条件を$\small\sf{\alpha,\beta}$ を用いて
表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
(*)の両辺の共役複素数を考えると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\overline{\sf z}z+\overline{\sf \alpha}\overline{\sf z}+\overline{\sf \beta}z+\overline{\sf \gamma}=0\end{align*}}$
これと(*)の両辺の差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z\overline{\sf z}+\alpha z+\beta\overline{\sf z}+\gamma-(\overline{\sf z}z+\overline{\sf \alpha}\overline{\sf z}+\overline{\sf \beta}z+\overline{\sf \gamma})=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\alpha-\overline{\sf \beta})z-(\overline{\sf \alpha}-\beta)\overline{\sf z}+\gamma-\overline{\sf \gamma}=0\end{align*}}$ ・・・・・・・(#)
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \gamma\end{align*}}$ は実数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \gamma=\overline{\sf \gamma}\end{align*}}$
よって、(１)の(#)式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (\alpha-\overline{\sf \beta})z-(\overline{\sf \alpha}-\beta)\overline{\sf z}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\alpha-\overline{\sf \beta})z=(\overline{\sf \alpha}-\beta)\overline{\sf z}= \overline{\left(\alpha-\overline{\beta}\right)z}\end{align*}}$
と変形できるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (\alpha-\overline{\sf \beta})z\end{align*}}$ は実数である。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\overline{\sf \beta}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*) \ \ \Leftrightarrow\ \ z\overline{\sf z}+\overline{\sf \beta}z+\beta\overline{\sf z}+\gamma=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (z+\beta)(\overline{\sf z}+\overline{\sf \beta})=\beta\overline{\sf \beta}-\gamma\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |z+\beta|^2=|\beta|^2-\gamma\gt 0 （\because\ \gamma\lt 0）\end{align*}}$
となるので、zは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\beta\end{align*}}$を中心とする半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{|\beta |^2-\gamma}\end{align*}}$ の円周上を動く。
よって、(*)を満たすzは無数にあるので不適。
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha≠\overline{\sf \beta}\end{align*}}$ のとき
zは実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\alpha-\overline{\beta}\right)z=k\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\frac{k}{\alpha-\overline{\beta}}\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{k}{\alpha-\overline{\beta}}\cdot\frac{k}{\overline{\alpha}-\beta}+\frac{k\alpha}{\alpha-\overline{\beta}}+\frac{k\beta}{\overline{\alpha}-\beta}+\gamma=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2+k{\alpha(\overline{\sf \alpha}-\beta)+\beta(\alpha-\overline{\sf \beta})}+\gamma|\alpha-\overline{\sf \beta}|=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2+k(\alpha\overline{\sf \alpha}-\beta\overline{\sf \beta})+\gamma|\alpha-\overline{\sf \beta}|=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2+k(|\alpha|^2-|\beta|^2)+\gamma|\alpha-\overline{\sf \beta}|=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2=-\gamma|\alpha-\overline{\sf \beta}| (∵ |\alpha|=|\beta|)\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \gamma\lt 0\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha\ne\overline{\sf \beta}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\pm\sqrt{-\gamma}\ | \alpha-\overline{\beta}|\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\frac{\sqrt{-\gamma}\ |\alpha-\overline{\beta}|}{\alpha-\overline{\beta}}\end{align*}}$
となるので、(*)をみたすzはちょうど2個存在する。
(ⅰ)、(ⅱ)より、求める条件は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha≠\overline{\sf \beta}\end{align*}}$ である。
医学科以外の受験生は、(２)は捨てましょうｗｗ
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第６問
a、b、cを実数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf\left(a,b\right)=\int_0^{\pi/2}e^{ax}\cos bx\ dx\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf J\left(a,b,c\right)=\int_0^{\pi/2}e^{ax}\sin bx\sin cx\ dx\end{align*}}$
とおく。ただし、a≠0とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) I(a，b)を求めよ。
(２) J(a，b，c)を I(a，b+c)と I(a，b-c)を用いて表せ。
(３) 次の極限を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}8\int_0^{\pi/2}e^x\sin tx\sin 2tx\cos 3tx\cos 4tx\ dx\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I\sf\left(a,b\right)&=\sf \left[\frac{1}{a}e^{ax}\cos bx\right]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\left(-\frac{b}{a}e^{ax}\sin bx\right)dx\\ &=\sf \frac{1}{a}\left(e^{\frac{\pi a}{2}}\cos\frac{\pi b} {2}-e^0\cos 0\right)+\frac{b}{a}\left\{\left[\frac{1}{a}e^{ax}\sin bx\right]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\frac{b}{a}e^{ax}\cos bx\ dx\right\}\\ &=\sf \frac{1}{a}\left(e^{\frac{\pi a}{2}}\cos\frac{\pi b} {2}-1\right)+\frac{b}{a^2}\left(e^{\frac{\pi a}{2}}\sin\frac{\pi b} {2}-0\right)-\frac{b^2}{a^2}\ \rm I\sf\left(a,b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a^2+b^2}{a^2}\ \rm I\sf\left(a,b\right)=\frac{1}{a^2}e^{\frac{\pi a}{2}}\left(a\cos\frac{\pi b} {2}+b\sin\frac{\pi b} {2}\right)-\frac{1}{a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I\sf\left(a,b\right)=\underline{\sf \frac{1}{a^2+b^2}e^{\frac{\pi a}{2}}\left(a\cos\frac{\pi b} {2}+b\sin\frac{\pi b} {2}\right)-\frac{a}{a^2+b^2}}\end{align*}}$
(２)
積→和の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf J\left(a,b,c\right)&=\sf \int_0^{\pi/2}e^{ax}\sin bx\sin cx\ dx\\ &=\sf -\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}e^{ax}\bigg\{\cos\left(b+c\right)x-\cos\left(b-c\right)x\bigg\}dx\\ &=\sf -\frac{1}{2}\bigg\{\int_0^{\pi/2}e^{ax}\cos\left(b+c\right)x\ dx-\int_0^{\pi/2}e^{ax}\cos\left(b-c\right)x\ dx\bigg\}\\ &=\sf \underline{\sf -\frac{1}{2}\bigg\{I\left(a,b+c\right)-I\left(a,b-c\right)}\bigg\}\end{align*}}$
(３)
積→和の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin tx\cos 3tx\cdot \sin 2tx\cos 4tx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\sin 4tx-\sin 2tx\right)\cdot\frac{1}{2}\left(\sin 6tx-\sin 2tx\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\sin 6tx\sin 4tx-\sin 6tx\sin 2tx-\sin 4tx\sin 2tx+\sin 2tx\sin 2tx\right)\end{align*}}$
となるので、求める極限値をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf 2\lim_{t\rightarrow\infty}\bigg\{J\left(1,6t,4t\right)-J\left(1,6t,2t\right)-J\left(1,4t,2t\right)+J\left(1,2t,2t\right)\bigg\}\\ &=\sf -\lim_{t\rightarrow\infty}\bigg\{\rm I\sf\left(1,10t\right)-\rm I\sf\left(1,2t\right)-\rm I\sf\left(1,8t\right)+\rm I\sf\left(1,4t\right)-\rm I\sf\left(1,6t\right)+\rm I\sf\left(1,2t\right)+\rm I\sf\left(1,4t\right)-\rm I\sf\left(1,0\right)\bigg\}\\ &=\sf -\lim_{t\rightarrow\infty}\bigg\{\rm I\sf\left(1,10t\right)-\rm I\sf\left(1,8t\right)-\rm I\sf\left(1,6t\right)+2\rm I\sf\left(1,4t\right)-\rm I\sf\left(1,0\right)\bigg\} \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq\cos\frac{\pi b} {2}\leqq 1\ \ ,\ \ -1\leqq\sin\frac{\pi b} {2}\leqq 1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{b\rightarrow\infty}\frac{1}{1+b^2}\cos\frac{\pi b} {2}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{b\rightarrow\infty}\frac{1}{1+b^2}\cdot b\sin\frac{\pi b} {2}=\lim_{b\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{b}+b}\cdot \sin\frac{\pi b} {2}=0\end{align*}}$
よって、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{b\rightarrow\infty}\rm I\sf\left(1,b\right)=\lim_{b\rightarrow\infty}\frac{e^{\frac{\pi }{2}}}{1+b^2}\left(\cos\frac{\pi b} {2}+b\sin\frac{\pi b} {2}\right)-\frac{1}{1+b^2}=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf \rm I\sf\left(1,0\right)\\ &=\sf e^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2}\right)-1\\ &=\sf \underline{\sf e^{\frac{\pi}{2}}-1}\end{align*}}$
計算が面倒ですな。
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