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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017東北大 理系数学1



第1問

   a、bを実数とする。y=|x-4|で表される曲線をCとし、y=ax+bで
  表される直線をLとする。

 (1) Lが点(-2,0)を通り、LとCがちょうど3つの共有点をもつような
    a、bの条件を求めよ。

 (2) LとCがちょうど3つの共有点をもつような点(a,b)の軌跡をab
    平面上に図示せよ。




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  1. 2018/10/29(月) 02:01:00|
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2017東北大 理系数学2



第2問

  A君とB君はそれぞれ、0から5までの数字が1つずつ書かれた6枚の
  カードが入った箱を1つもっている。2人は、自分の箱の中から無作為
  に3枚のカードを取り出して得点を競うゲームをする。取り出された3枚
  のカードに0が含まれていない場合の得点は3枚のカードに書かれた数
  の平均値とし、0が含まれている場合は残り2枚のカードに書かれた数
  の合計とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) A君、B君の少なくとも一方が0を取り出して、しかも双方とも得点が
    3点となる確率を求めよ。

 (2) A君の得点がB君の得点より大きいとき、A君の得点が整数ではない
    確率を求めよ。



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2017東北大 理系数学3



第3問

   a、b、cを1以上7以下の互いに異なる整数とする。

 (1) 2次方程式ax+bx+c=0が有理数解をもつような組(a,b,c)の
    総数を求めよ。

 (2) 2次方程式ax+bx+c=0が少なくとも一つの整数解をもつような
    組(a,b,c)の総数を求めよ。




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2017東北大 理系数学4



第4問

  sを正の実数とする。鋭角三角形ABCにおいて、辺ABをs:1に内分する
  点をDとし、辺BCをs:3に内分する点をEとする。線分CDと線分A の交
  点をFとする。以下の問いに答えよ。

 (1)  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AF}=\alpha\overrightarrow{\sf AB}+\beta\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ を求めよ。

 (2) Fから辺ACに下ろした垂線をFGとする。FGの長さが最大となるときの
    sを求めよ。




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2017東北大 理系数学5



第5問

  $\small\sf{\alpha,\beta,\gamma}$ を複素数とし、
     $\small\sf{z\overline{\sf z}+\alpha\ z+\beta\ \overline{\sf z}+\gamma=0}$   ・・・・・・・(*)
  を満たす複素数zを考える。以下の問いに答えよ。

 (1) zは
       $\small\sf{(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{\sf z}+\gamma-\overline{\gamma}=0}$
    を満たすことを示せ。

 (2) $\small\sf{\sf |\alpha|=|\beta|\ne 0}$ と仮定し、またγは負の実数であると仮定する。このとき、
    (*)を満たすzがちょうど2個あるための必要十分条件を$\small\sf{\alpha,\beta}$ を用いて
    表せ。




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2017東北大 理系数学6



第6問

  a、b、cを実数とし、
       $\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf\left(a,b\right)=\int_0^{\pi/2}e^{ax}\cos bx\ dx\end{align*}}$
       $\small\sf{\begin{align*} \sf J\left(a,b,c\right)=\int_0^{\pi/2}e^{ax}\sin bx\sin cx\ dx\end{align*}}$
  とおく。ただし、a≠0とする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) I(a,b)を求めよ。

 (2) J(a,b,c)を I(a,b+c)と I(a,b-c)を用いて表せ。

 (3) 次の極限を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}8\int_0^{\pi/2}e^x\sin tx\sin 2tx\cos 3tx\cos 4tx\ dx\end{align*}}$



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