青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関東の大学　.東京工業大　2017

2017東京工業大　数学１

第１問

　　次の条件(ⅰ)、(ⅱ)をともに満たす正の整数Nをすべて求めよ。
　　　(ⅰ) Nの正の約数は12個
　　　(ⅱ) Nの正の約数を小さい方から順に並べたとき、7番目の数が12
　　ただし、Nの約数には1とNも含める。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　Nは12を約数にもつので、12の約数1，2，3，4，6も約数にもつ。
　　　条件(ⅱ)より、12は小さい方から7番目なので、12より小さいNの約数が
　　　1，2，3，4，6以外にただ1つ存在する。

　　　・Nが5を約数にもつとき
　　　　　　　　N=2^p・3^q・5^r
　　　　　　　　　　(pは2以上の整数、qとrは1以上の整数)
　　　　　と表せる。このとき、Nは10も約数にもつので不適。

　　　・Nが7を約数にもつとき
　　　　　　　　N=2^p・3^q・7^r
　　　　　　　　　　(pは2以上の整数、qとrは1以上の整数)
　　　　　と表せる。このとき、条件(ⅰ)より
　　　　　　　　(p+1)(q+1)(r+1)=12　　⇔　 p=2、q=r=1
　　　　　となるので、N=2²・3・7=84

　　　・Nが8を約数にもつとき
　　　　　　　　N=2^p・3　　　(pは3以上の整数)
　　　　　　　【Nが9を約数にもってはならないので素因数3の指数は1である！】
　　　　　と表せる。このとき、条件(ⅰ)より
　　　　　　　　(p+1)(1+1)=12　　⇔　 p=5
　　　　　となるので、N=2⁵・3=96

　　　・Nが9を約数にもつとき
　　　　　　　　N=2²・3^q　　　(qは2以上の整数)
　　　　　　　【Nが8を約数にもってはならないので素因数2の指数は2である！】
　　　　　と表せる。このとき、条件(ⅰ)より
　　　　　　　　(2+1)(q+1)=12　　⇔　 q=3
　　　　　となるので、N=2²・3³=108

　　　・Nが11を約数にもつとき
　　　　　　　　N=2^p・3^q・11^r
　　　　　　　　　　(pは2以上の整数、qとrは1以上の整数)
　　　　　と表せる。このとき、条件(ⅰ)より
　　　　　　　　(p+1)(q+1)(r+1)=12　　⇔　 p=2、q=r=1
　　　　　となるので、N=2²・3・11=132

　　　以上より、N=84，96，108，132

　　1，2，3，4，6もNの約数になるので、12より小さい約数がこれら以外に
　　1つだけ存在することに気づけば、あとはシラミつぶし的に探していくだけです。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/18(日) 01:11:00|

大学入試(数学)　.関東の大学　.東京工業大　2017

| トラックバック:0

| コメント:0

2017東京工業大　数学２

第２問

　　実数xの関数
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}\frac{\left|\sin t \right|}{1+\sin^2t}dt\end{align*}}$
　　の最大値と最小値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(t)=\frac{\sin t}{1+\sin^2t}\ \ ,\ \ G(t)=\frac{\left|\sin t\right|}{1+\sin^2t}\end{align*}}$
　　　とおくと、任意のtに対して
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf G\left(t+\pi\right)=\frac{\left|\sin \left(t+\pi\right)\right|}{1+\sin^2\left(t+\pi\right)}=\frac{\left|-\sin t\right|}{1+\left(-\sin t\right)^2}=\frac{\left|\sin t\right|}{1+\sin^2t}=G(t)\end{align*}}$
　　　が成り立つので、、関数G(t)は周期$\scriptsize\sf{\pi}$ の周期関数である。
　　　よって、以下は0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲で考える。

　　(ⅰ) 0≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　x≦t≦x+$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で常に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(t)\geqq 0\end{align*}}$ なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}G(t)dt=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}g(t)dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)&=\sf g\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-g(x)\\ &=\sf \frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{1+\sin^2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}+\frac{\sin x}{1+\sin^2x}\\ &=\sf \frac{\cos x}{1+\cos^2x}+\frac{\sin x}{1+\sin^2x}\\ &=\sf \frac{\cos x\left(1+\sin^2x\right)-\sin x\left(1+\cos^2x\right)}{\left(1+\sin^2x\right)\left(1+\cos^2x\right)}\\ &=\sf \frac{\left(\cos x-\sin x\right)\left(1-\sin x\cos x\right)}{\left(1+\sin^2x\right)\left(1+\cos^2x\right)}\\ &=\sf \frac{\left(\cos x-\sin x\right)\left(2-\sin 2x\right)}{2\left(1+\sin^2x\right)\left(1+\cos^2x\right)}\end{align*}}$
　　　　　　これより、f(x)の増減は次のようになる。
　　　　　　

　　　　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\cos t\end{align*}}$ と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ds}{dt}=-\sin t\end{align*}}$
　　　　　　であり、t=x+$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\cos\left(x+\frac{\pi}2{}\right)=-\sin x\end{align*}}$
　　　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf \int_x^{x+\frac{\pi}{2}}\frac{\sin t}{1+\sin^2t}dt\\ &=\sf \int_{\cos x}^{-\sin x}\frac{\sin t}{1+\left(1-s^2\right)}\cdot\frac{ds}{-\sin t}\\ &=\sf -\int_{\cos x}^{-\sin x}\frac{ds}{2-s^2}\\ &=\sf -\frac{1}{2\sqrt2}\int_{\cos x}^{-\sin x}\left(\frac{1}{\sqrt2-s}+\frac{1}{\sqrt2+s}\right)ds\\ &=\sf -\frac{1}{2\sqrt2}\bigg[-\log\left|\sqrt2-s\right|+\log\left|\sqrt2+s\right|\bigg]_{\cos x}^{-\sin x}\\ &=\sf -\frac{1}{2\sqrt2}\log\frac{\sqrt2-\sin x}{\sqrt2+\sin x}+\frac{1}{2\sqrt2}\log\frac{\sqrt2+\cos x}{\sqrt2-\cos x}\\ &=\sf \frac{1}{2\sqrt2}\log\frac{\left(\sqrt2+\sin x\right)\left(\sqrt2+\cos x\right)}{\left(\sqrt2-\sin x\right)\left(\sqrt2-\cos x\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)=\frac{1}{2\sqrt2}\log\frac{\sqrt2\left(\sqrt2+1\right)}{\sqrt2\left(\sqrt2-1\right)}=\frac{1}{2\sqrt2}\log\left(\sqrt2+1\right)^2=\frac{1}{\sqrt2}\log\left(\sqrt2+1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2\sqrt2}\log\frac{\left(\sqrt2+\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\sqrt2+\frac{\sqrt2}{2}\right)}{\left(\sqrt2-\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\sqrt2-\frac{\sqrt2}{2}\right)}=\frac{1}{2\sqrt2}\log 9=\frac{1}{\sqrt2}\log 3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2\sqrt2}\log\frac{\sqrt2\left(\sqrt2+1\right)}{\sqrt2\left(\sqrt2-1\right)}=\frac{1}{\sqrt2}\log\left(\sqrt2+1\right)\end{align*}}$

　　(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき
　　　　　　x≦t≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲で $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(t)\geqq 0\end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦x+$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(t)\leqq 0\end{align*}}$ なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}G(t)dt=\int_x^{\pi}g(t)dt-\int_{\pi}^{x+\frac{\pi}{2}}g(t)dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)&=\sf -g(x)-g\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\\ &=\sf -\frac{\sin x}{1+\sin^2x}-\frac{\cos x}{1+\cos^2x}\\ &=\sf -\frac{\cos x\left(1+\sin^2x\right)+\sin x\left(1+\cos^2x\right)}{\left(1+\sin^2x\right)\left(1+\cos^2x\right)}\\ &=\sf -\frac{\left(\cos x+\sin x\right)\left(2+\sin 2x\right)}{2\left(1+\sin^2x\right)\left(1+\cos^2x\right)}\end{align*}}$
　　　　　　これより、f(x)の増減は次のようになる。
　　　　　　

　　　　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\cos t\end{align*}}$ と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf \int_x^{\pi}\frac{\sin t}{1+\sin^2t}dt-\sf \int_{\pi}^{x+\frac{\pi}{2}}\frac{\sin t}{1+\sin^2t}dt\\ &=\sf -\frac{1}{2\sqrt2}\left[\log\left|\frac{\sqrt2+s}{\sqrt2-s}\right|\right]_{\cos x}^{-1}+\frac{1}{2\sqrt2}\left[\log\left|\frac{\sqrt2+s}{\sqrt2-s}\right|\right]_{-1}^{-\sin x}\\ &=\sf -\frac{1}{2\sqrt2}\log\frac{\left(\sqrt2+\sin x\right)\left(\sqrt2-\cos x\right)}{\left(\sqrt2-\sin x\right)\left(\sqrt2+\cos x\right)}+\sqrt2\log\left(\sqrt2+1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(\frac{3\pi}{4}\right)&=\sf -\frac{1}{2\sqrt2}\log\frac{\left(\sqrt2+\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\sqrt2+\frac{\sqrt2}{2}\right)}{\left(\sqrt2-\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\sqrt2-\frac{\sqrt2}{2}\right)}+\sqrt2\log\left(\sqrt2+1\right)\\ &=\sf -\frac{1}{\sqrt2}\log 3+\sqrt2\log\left(\sqrt2+1\right)\\ &=\sf \frac{1}{\sqrt2}\log\frac{\left(\sqrt2+1\right)^2}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\pi\right)=-\frac{1}{2\sqrt2}\log\frac{\sqrt2\left(\sqrt2+1\right)}{\sqrt2\left(\sqrt2-1\right)}+\sqrt2\log\left(\sqrt2+1\right)=\frac{1}{\sqrt2}\log\left(\sqrt2+1\right)\end{align*}}$

　　　以上より、f(x)の最大値・最小値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{max}=f\left(\frac{\pi}{4}+n\pi\right)=\underline{\sf \frac{1}{\sqrt2}\log 3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{min}=f\left(\frac{3\pi}{4}+n\pi\right)=\underline{\sf \frac{1}{\sqrt2}\log\frac{\left(\sqrt2+1\right)^2}{3}}\end{align*}}$　　（ｎ：整数）

　　計算量が多くて大変です・・・・・　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/18(日) 01:12:00|

大学入試(数学)　.関東の大学　.東京工業大　2017

| トラックバック:0

| コメント:0

2017東京工業大　数学３

第３問

　　aを1以上の実数とする。図のような長方形の折り紙ABCDが机の上に
　　置かれている。ただしAD=1、AB=aである。Pを辺AB上の点とし、
　　AP=xとする。頂点Dを持ち上げてPと一致するように折り紙を一回折った
　　とき、もとの長方形ABCDからはみ出る部分の面積をSとする。

　(１) Sをaとxで表せ。

　(２) a=1とする。PがAからBまで動くとき、Sを最大にするようなxの値を
　　　求めよ。
　　　なお配布された白紙を自由に使ってよい。（白紙は回収しない。）

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　DがPに重なるように折ったときの折り目は線分DPの垂直二等分線である。
　　　これをLとする。

　　　(ⅰ) LがAを通るとき
　　　　　　図より、AD=APよりx=1であり、このときS=0
　　　　　　　

　　　(ⅱ) LがCを通るとき　
　　　　　　図より、S=0であり、このときのxの値をx₀とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PC=DC=a\ \ ,\ \ PB=a-x_0\end{align*}}$
　　　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+1^2=\left(a-x_0\right)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x_0=a-\sqrt{a^2-1}\ \ \ \left(\because\ x_0\leqq a\right)\end{align*}}$
　　　　　　　

　　　(ⅲ) 0≦x＜x₀のとき
　　　　　　Lは辺AD、BCと交わり、その交点をそれぞれE、Fとする。
　　　　　　また、LについてCと対称な点をC’、PC’とBCの交点をGとする。
　　　　　　∠PDA=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta=\frac{AP}{\ AD}=x\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 2\theta=\frac{2tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\frac{2x}{1-x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta=1+x^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos^2\theta=\frac{1}{1+x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos 2\theta&=\sf 2\cos^2\theta-1\\ &=\sf \frac{2}{1+x^2}-1\\ &=\sf \frac{1-x^2}{1+x^2}\end{align*}}$
　　　　　　DE=PEと△AEP∽△BPG∽△C’FGより
　　　　　　　　∠AEP=∠BPG=∠C’FG=2$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PG=\frac{PB}{\cos 2\theta}=\frac{\left(1+x^2\right)\left(a-x\right)}{1-x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf GC'&=\sf PH-PG\\ &=\sf a-\frac{\left(1+x^2\right)\left(a-x\right)}{1-x^2}\\ &=\sf \frac{x^3-2ax^2+x}{1-x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf FC'=\frac{GC'}{\tan 2\theta}=\frac{x^3-2ax^2+x}{2x}\end{align*}}$
　　　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \triangle FGC'\\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3-2ax^2+x}{1-x^2}\cdot\frac{x^3-2ax^2+x}{2x}\\ &=\sf \frac{x\left(x^2-2ax+1\right)^2}{4\left(1-x^2\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　

　　　(ⅳ) x₀＜x≦1のとき
　　　　　　Lは辺AD、DCと交わり、図よりS=0
　　　　　　　

　　　(ⅴ)1＜x≦aのとき
　　　　　　Lは辺AD、BCと交わり、その交点をそれぞれQ、Rとする。
　　　　　　また、LについてAと対称な点をA’とする。
　　　　　　∠APD=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta=\frac{ AD}{AP}=\frac{1}{x}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 2\theta=\frac{\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{2x}{x^2-1}\end{align*}}$
　　　　　　QD=QPより、∠AQD=∠A’QP=2$\scriptsize\sf{\theta}$ なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A'Q=AQ=\frac{ AD}{\tan 2\theta}=\frac{x^2-1}{2x}\end{align*}}$
　　　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \triangle A'QP\\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot 1\cdot\frac{x^2-1}{2x}\\ &=\sf \frac{x^2-1}{4x}\end{align*}}$
　　　　　　　

　　　(ⅰ)～(ⅴ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf S=\left\{\begin{matrix}\sf \frac{x\left(x^2-2ax+1\right)^2}{4\left(1-x^2\right)}&\sf \left(0\leqq x\lt a-\sqrt{a^2-1}\right)\\ \sf 0&\sf \left(a-\sqrt{a^2-1}\leqq x\leqq 1\right)\\ \sf \frac{x^2-1}{4x}&\sf \left(1\lt x\leqq a\right)\end{matrix}.\right.}\end{align*}}$

　(２)
　　　a=1のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_0=1-\sqrt{1-1}=1\end{align*}}$
　　　なので、(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{x\left(x^2-2x+1\right)^2}{4\left(1-x^2\right)}=\frac{-x^4++3x^3-3x^2+x}{4\left(1+x\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dS}{dx}&=\sf \frac{\left(-4x^3+9x^2-6x+1\right)\left(1+x\right)-\left(-x^4+3x^3-3x^2+x\right)}{4\left(1+x\right)^2}\\ &=\sf \frac{-3x^4+2x^3+6x^2-6x+1}{4\left(1+x\right)^2}\\ &=\sf \frac{\left(x-1\right)^2\left(-3x^2-4x+1\right)}{4\left(1+x\right)^2}\end{align*}}$
　　　Sの増減は次のようになるので、Sを最大にするxの値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x=\frac{-2+\sqrt7}{3}}\end{align*}}$
　　　である。

　　　

　　これまたヘビーな問題ですね・・・。
　　(１)ができなくても、(２)だけ解くこともできます。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/18(日) 01:13:00|

大学入試(数学)　.関東の大学　.東京工業大　2017

| トラックバック:0

| コメント:0

2017東京工業大　数学４

第４問

　　 nは正の整数とし、文字a、b、cを重複を許してn個並べてできる文字列
　　すべての集合をA_nとする。A_nの要素に対し次の条件(*)を考える。
　　　　(*)文字cが2つ以上連続して現れない。
　　以下A_nから要素を一つ選ぶとき、どの要素も同じ確率で選ばれるとする。

　(１) An から要素を一つ選ぶとき、それが条件(*)を満たす確率P(n)を求めよ。

　(２) n≧12とする。A_nから要素を一つ選んだところ、これは条件(*)を満たし、
　　　その7番目の文字はcであった。このとき、この要素の10番目の文字が
　　　 cである確率をQ(n)とする。極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}Q(n)\end{align*}}$ を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　A_nの部分集合で、条件(*)を満たす文字列全体の集合をX_nとし、
　　　その要素の個数をx_nとする。
　　　X_nの要素のうち
　　　　　右端の文字がcであるものの個数をy_n
　　　　　右端の文字がaまたはbであるものの個数をz_n
　　　とすると、
　　　　　　　x_n=y_n+z_n、　y₁=1、　y₂=z₁=2
　　　X_nの要素に1文字加えてX_n+1の要素を作る場合を考えると、
　　　　　　　y_n+1=z_n
　　　　　　　z_n+1=2y_n+2z_n
　　　これら2式からz_nを消去すると、
　　　　　　　　y_n+2=2y_n+1+2y_n
　　　　　⇔　 y_n+2-2y_n+1-2y_n=0　　　…･･･(ⅰ)
　　　ここで、tについての二次方程式t²-2t-2=0　　……(ⅱ)の2解を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\sqrt3\end{align*}}$ 、　$\scriptsize\sf{\beta}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\sqrt3\end{align*}}$
　　　とおくと、(ⅰ)は
　　　　　　　 y_n+2-$\scriptsize\sf{\alpha}$ y_n+1=$\scriptsize\sf{\beta}$ (y_n+1-$\scriptsize\sf{\alpha}$ y_n)
　　　と変形できるので、数列{y_n+1-$\scriptsize\sf{\alpha}$ y_n}は等比数列をなす。
　　　よって、
　　　　　　　　y_n+1-$\scriptsize\sf{\alpha}$ y_n=$\scriptsize\sf{\beta}$ ^n-1(y₂-$\scriptsize\sf{\alpha}$ y₁)=$\scriptsize\sf{\beta}$ ^n-1(2-$\scriptsize\sf{\alpha}$ )
　　　(ⅱ)について解と係数の関係より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =2　 ⇔　 2-$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\beta}$
　　　なので、y_n+1-$\scriptsize\sf{\alpha}$ y_n=$\scriptsize\sf{\beta}$ ⁿ
　　　同様に、y_n+1-$\scriptsize\sf{\beta}$ y_n=$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⁿ
　　　2式の差をとると、
　　　　　　　　($\scriptsize\sf{\beta}$ -$\scriptsize\sf{\alpha}$ )y_n=$\scriptsize\sf{\beta}$ ⁿ-$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⁿ
　　　よって、　　　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_n&=\sf y_n+y_{n+1}\\ &=\sf \frac{\left(\beta^n-\alpha^n\right)+\left(\beta^{n+1}+\alpha^{n+1}\right)}{\beta-\alpha}\\ &=\sf \frac{\left(1+\beta\right)\beta^n-\left(1+\alpha\right)\alpha^n}{2\sqrt3}\end{align*}}$
　　　ここで、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は(ⅱ)の解なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha^2-2\alpha-2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\alpha=\frac{\alpha^2}{2}\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\beta}$ についても同様なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_n=\frac{\beta^{n+2}-\alpha^{n+2}}{4\sqrt3}\end{align*}}$
　　　A_nの要素の総数は3ⁿなので、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(n\right)=\frac{\beta^{n+2}-\alpha^{n+2}}{4\sqrt3\cdot 3^n}=\underline{\sf \frac{\left(1+\sqrt3\right)^{n+2}-\left(1-\sqrt3\right)^{n+2}}{4\sqrt3\cdot 3^n}}\end{align*}}$

　(２)
　　　7文字目がcのとき、
　　　　　　6文字目と8文字目はaまたはb
　　　　　　1～5文字目はX₅の要素
　　　　　　9～ｎ文字目はX_n-8の要素
　　　なので、7文字目がcになる確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2^2x_5x_{n-8}}{3^n}\end{align*}}$

　　　7文字目と10文字目がcのとき、
　　　　　　6、8、9、11文字目はaまたはb
　　　　　　1～5文字目はX₅の要素
　　　　　　12～ｎ文字目はX_n-11の要素
　　　なので、7文字目がcになる確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2^4x_5x_{n-11}}{3^n}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(n\right)&=\sf \frac{\frac{2^4x_5x_{n-11}}{3^n}}{\frac{2^2x_5x_{n-8}}{3^n}}\\ &=\sf \frac{4x_{n-11}}{x_{n-8}}\\ &=\sf \frac{4\left(\beta^{n-9}-\alpha^{n-9}\right)}{\beta^{n-6}-\alpha^{n-6}}\\ &=\sf \frac{4\left\{1-\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n-9}\right\}}{\beta^3-\alpha^3\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n-9}}\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{\alpha}{\beta}=\frac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}<1\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}Q\left(n\right)&=\sf \frac{4}{\beta^3}\\ &=\sf \frac{4}{\left(1+\sqrt3\right)^3}\\ &=\sf \underline{\sf 3\sqrt3-5}\end{align*}}$

　　漸化式を作らないと無理です。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/18(日) 01:14:00|

大学入試(数学)　.関東の大学　.東京工業大　2017

| トラックバック:0

| コメント:0

2017東京工業大　数学５

第５問

　　実数a、b、cに対してF(x)=x⁴+ax³+bx²+ax+1、 f(x)=x²+cx+1とおく。
　　また、複素数平面内の単位円周から2点1、-1を除いたものをTとする。

　(１) f(x)=0の解がすべてT上にあるための必要十分条件をcを用いて表せ。

　(２) F(x)=0の解がすべてT上にあるならば、
　　　　　F(x)=(x^２+c_１⁢x+1)(x^２+c_２x+1)
　　　を満たす実数c_１、c_２が存在することを示せ。

　(３) F(x)=0の解がすべてT上にあるための必要十分条件をa、bを用いて表し、
　　　それを満たす点(a，b)の範囲を座標平面上に図示せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　f(x)=0の解がすべてT上にあるためには、f(x)=0が虚数解を持つ必要が
　　　あるので、　判別式を考えると、
　　　　　　　　D=c²-4＜0　 ⇔　 -2＜c＜2　　・・・・・・・①
　　　逆にこのとき、f(x)=0の虚数解の1つを$\scriptsize\sf{\alpha}$ とすると、f(x)=0は実数係数の
　　　方程式なので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ もf(x)=0の解となり、
　　　解と係数の関係より、
　　　　　　　　|$\scriptsize\sf{\alpha}$ |²=$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\alpha}$ =1
　　　となるので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\alpha}$ はT上にある。
　　　以上より、 f(x)=0の解がすべてT上にあるための必要十分条件は
　　　　　　　　　　-2＜c＜2
　　　である。

　(２)
　　　実数係数の4次方程式F(x)=0の解がすべてT上にあるとき、
　　　F(x)=0の4つの虚数解は、|$\scriptsize\sf{\alpha}$ |=|$\scriptsize\sf{\beta}$ |=1をみたす　虚数$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ を用いて、
　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ と表せるので、
　　　　　　F(x)=(ｘ-$\scriptsize\sf{\alpha}$ )(x-$\scriptsize\sf{\alpha}$ )(x-$\scriptsize\sf{\beta}$ )(ｘ-$\scriptsize\sf{\beta}$ )
　　　　　　　　　={x²-($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\alpha}$ )x+$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\alpha}$ }{x²-($\scriptsize\sf{\beta}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )ｘ+$\scriptsize\sf{\beta}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ }
　　　　　　　　　={x²-($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\alpha}$ )x+1}{x²-($\scriptsize\sf{\beta}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )ｘ+1}
　　　ここで、$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\alpha}$ および$\scriptsize\sf{\beta}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ は実数なので、
　　　　　　　c₁=-($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\alpha}$ )、　c₂=-($\scriptsize\sf{\beta}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )
　　　とおくと、
　　　　　　　　F(x)=(x²+c₁x+１)(x²+c₂x+１)
　　　となる実数c₁、c₂が存在する。

　(３)
　　　(２)より、F(x)=0の解がすべてT上にあるとき、
　　　　　　F(x)=(x²+c₁x+１)(x²+c₂x+１)
　　　　　　　　　=x⁴+(c₁+c₂)x³+(ｃ₁ｃ₂+２)ｘ²+(c₁+c₂)x+１
　　　これと、F(x)=x⁴+ax³+bx²+ax+1の係数を比較すると、
　　　　　　　　ｃ₁+ｃ₂=a、　c₁c₂=b-2
　　　解と係数の関係より、c₁、c₂はtについての2次方程式
　　　　　　　　h(t)=t²-at+b-2=0
　　　の2解である。(１)より、-2＜c₁＜2、 -2＜c₂＜2なので、
　　　h(t)=0が-2＜t＜2の範囲に実数解を持てばよい。
　　　判別式を考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=a^2-4\left(b-2\right)\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\leqq\frac{a^2}{4}+2\end{align*}}$
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(t)=\left(t-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}+b-2\end{align*}}$
　　　と変形できるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2<\frac{a}{2}<2\ \ \Leftrightarrow\ \ -4\lt a<4\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(-2\right)=4+2a+b-2>0\ \ \Leftrightarrow\ \ b>-2a-2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(2\right)=4-2a+b-2>0\ \ \Leftrightarrow\ \ b>2a-2\end{align*}}$
　　　以上より、F(x)=0の解がすべてT上にあるための必要十分条件は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf b\leqq\frac{a^2}{4}+2\ \ ,\ \ -4\lt a<4\ \ ,\ \ b>-2a-2\ \ ,\ \ b>2a-2}\end{align*}}$
　　　であり、これを図示すると、下図のようになる。
　　　（ただし、境界は、直線b=±2a-2上の点を含まない）
　　　　

　　今年の東工大は難しいですね。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/18(日) 01:15:00|

大学入試(数学)　.関東の大学　.東京工業大　2017

| トラックバック:0

| コメント:0