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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017北海道大 文系数学1



第1問

  自然数の2乗となる数を平方数という。

 (1) 自然数a、n、kに対して、n(n+1)+a=(n+k)が成り立つとき、
    a≧k+2k-1
    が成り立つことを示せ。

 (2) n(n+1)+7が平方数となるような自然数nをすべて求めよ。




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  1. 2018/11/04(日) 01:05:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2017
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2017北海道大 文系数学2



第2問

  平面上の点Oを中心とする半径1の円をCとする。円Cの内部に点Aがある。
  円Cの周上を2点P、Qが条件$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ ⊥$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ を満たしながら動く。線分PQの中点
  をRとする。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$|=r 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ とする。ただし、
  0<r<1 とする。

 (1)  |$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}\end{align*}}$ |を内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ ・$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) 直線OA上の点Bで、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BR}\end{align*}}$ | が2点P、Qの位置によらず一定であるものを
    求めよ。また,このときの|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BR}\end{align*}}$ |の値をrを用いて表せ。




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  1. 2018/11/04(日) 01:06:00|
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2017北海道大 文系数学3



第3問

  正四面体ABCDの頂点を移動する点Pがある。点Pは、1秒ごとに、隣の3頂点の
  いずれかに等しい確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{3}\end{align*}}$ で移るか、もとの頂点に確率1-aで留まる。初め頂点A
  にいた点Pが、n秒後に頂点Aにいる確率をpnとする。ただし、0<a<1とし、nは
  自然数とする。

 (1) 数列{pn}の漸化式を求めよ。

 (2) 確率pnを求めよ。




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  1. 2018/11/04(日) 01:07:00|
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2017北海道大 文系数学4



第4問

   a、bを実数とし、関数f(x)が
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+\left(a^2-b\right)x+\int_{-1}^1f(t)dt\end{align*}}$
   を満たすとする。

 (1) f(0)の値をaを用いて表せ。

 (2) 関数f(x)がx>1の範囲で極大値を持つとする。このようなa、bが満たす
    条件を求めよ。また、点P(a,b)の存在範囲を座標平面上に図示せよ。



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  1. 2018/11/04(日) 01:08:00|
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