第１問
自然数の2乗となる数を平方数という。
(１) 自然数a、n、kに対して、n(n+1)+a=(n+k)２が成り立つとき、
a≧k２+2k-1
が成り立つことを示せ。
(２) n(n+1)+7が平方数となるような自然数nをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
a-(k2+2k-1)
=(n+k)2-n(n+1)-(k2+2k-1)
=2kn-n-2k+1
=(2k-1)(n-1)
≧0 (∵ k≧1、 n≧1)
なので、a≧k2+2k-1が成り立つ。
(２)
n(n+1)+7が平方数になるとき、その値はnの平方より大きいので、
自然数kを用いて、
n(n+1)+7=(n+k)2 ・・・・・・・(#)
と表せる。このとき、(１)より不等式
7≧k2+2k-1
⇔ k2+2k-8=(k+4)(k-2)≦0
⇔ -4≦k≦2
が成り立ち、これを満たす自然数kの値は1または2である。
k=1のとき
(#) ⇔ n(n+1)+7=(n+1)2 ⇔ n=6
k=2のとき
(#) ⇔ n(n+1)+7=(n+2)2 ⇔ n=1
以上より、題意を満たす自然数nの値は、n=1，6である。
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第２問
平面上の点Oを中心とする半径1の円をCとする。円Cの内部に点Aがある。
円Cの周上を2点P、Qが条件$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ ⊥$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ を満たしながら動く。線分PQの中点
をRとする。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$|=r 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ とする。ただし、
0＜r＜1 とする。
(１) |$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}\end{align*}}$ |２を内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ ・$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(２) 直線OA上の点Bで、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BR}\end{align*}}$ |２ が2点P、Qの位置によらず一定であるものを
求めよ。また，このときの|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BR}\end{align*}}$ |２の値をrを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}\bot\overrightarrow{\sf AQ}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(\overrightarrow{\sf p}-\overrightarrow{\sf a}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf a}\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf a}\cdot\left(\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)+|\overrightarrow{\sf a}|^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\left(\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)=\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$ ・・・・・・(*)
RはPQの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\frac{\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}}{2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AR}|^2&=\sf \left|\frac{\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}}{2}-\overrightarrow{\sf a}\right|^2\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\sf p}|^2+2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf q}|^2\right)-\overrightarrow{\sf a}\cdot\left(\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)+|\overrightarrow{\sf a}|^2\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(1+2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+1\right)-\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}\ \ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{2}\left(1-\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}\right)}\end{align*}}$
(２)
Bは直線OA上の点なので、実数kを用いて$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=k\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と表せる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf BR}|^2&=\sf \left|\frac{\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}}{2}-k\overrightarrow{\sf a}\right|^2\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(2+2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}\right)-k\overrightarrow{\sf a}\cdot\left(\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)+k^2|\overrightarrow{\sf a}|^2\\ &=\sf \frac{1}{2}\left(1+\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}\right)-k\left(\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf a}|^2\right)+k^2r^2\ \ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\sf \left(\frac{1}{2}-k\right)\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+\left(k^2-k\right)r^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
これがP、Qの位置によらず一定の値をとるのは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、
すなわち、点Bが線分OAの中点と一致するときである。
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf BR}|^2&=\sf \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)r^2+\frac{1}{2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{4}\left(2-r^2\right)} \end{align*}}$
(*)の条件式をうまく使える形を作りましょう。
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第３問
正四面体ABCDの頂点を移動する点Pがある。点Pは、1秒ごとに、隣の3頂点の
いずれかに等しい確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{3}\end{align*}}$ で移るか、もとの頂点に確率1-aで留まる。初め頂点A
にいた点Pが、n秒後に頂点Aにいる確率をpnとする。ただし、0＜a＜1とし、nは
自然数とする。
(１) 数列{pn}の漸化式を求めよ。
(２) 確率pnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
n秒後に頂点Aにいる場合、確率1-aでn+1秒後にAに留まる。
一方、n秒後に頂点Aにいない場合(確率 1-pn)はB、C、Dいずれの
頂点からも、n+1秒後に確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{3}\end{align*}}$ でAに移ってくるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{n+1}&=\sf \left(1-a\right)p_n+\frac{a}{3}\left(1-p_n\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p_{n+1}=\left(1-\frac{4a}{3}\right)p_n+\frac{a}{3}}\end{align*}}$
(２)
(１)の漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}-\frac{1}{4}=\left(1-\frac{4a}{3}\right)\left(p_n-\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_n-\frac{1}{4}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_n-\frac{1}{4}&=\sf \left(1-\frac{4a}{3}\right)^{n-1}\left(p_1-\frac{1}{4}\right)\\ &=\sf \left(1-\frac{4a}{3}\right)^{n-1}\left(\frac{3}{4}-a\right)\\ &=\sf \frac{3}{4}\left(1-\frac{4a}{3}\right)^{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=\underline{\ \frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(1-\frac{4a}{3}\right)^{n}}\end{align*}}$
まぁよくある問題ですね。
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第４問
a、bを実数とし、関数f(x)が
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+\left(a^2-b\right)x+\int_{-1}^1f(t)dt\end{align*}}$
を満たすとする。
(１) f(0)の値をaを用いて表せ。
(２) 関数f(x)がx＞1の範囲で極大値を持つとする。このようなa、bが満たす
条件を求めよ。また、点P(a，b)の存在範囲を座標平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=\int_{-1}^1f(t)dt\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+\left(a^2-b\right)x+c\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c&=\sf \int_{-1}^1\left\{\frac{1}{3}t^3-at^2+\left(a^2-b\right)t+c\right\}dt\\ &=\sf 2\int_{0}^1\left(-at^2+c\right)dt\\ &=\sf 2\left[-\frac{a}{3}t^2+ct\right]_0^1\\ &=\sf 2\left(-\frac{a}{3}+c\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c=\frac{2}{3}a\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+\left(a^2-b\right)x+\frac{2}{3}a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)=\underline{\sf \frac{2}{3}a}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=x^2-2ax+a^2-b=\left(x-a\right)^2-b\end{align*}}$
f(x)がx＞1の範囲に極大値を持つのは、方程式f’(x)=0がx＞1の
部分に異なる2つの実数解を持つときである。
放物線y=f’(x)が右図のようになればよいので、
判別式 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=a^2-\left(a^2-b\right)>0\ \ \Leftrightarrow\ \ b>0\end{align*}}$
軸 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a>1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(1)=1-2a+a^2-b>0\ \ \Leftrightarrow\ \ b>\left(a-1\right)^2\end{align*}}$
よって、求める条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a>1\ \ ,\ \ b>0\ \ ,\ \ b>\left(a-1\right)^2}\end{align*}}$
であり、これを図示すると下図のようになる。
（境界上の点は含まない）
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