第１問
自然数の2乗となる数を平方数という。
(１) 自然数a、n、kに対して、n(n+1)+a=(n+k)２が成り立つとき、
a≧k２+2k-1
が成り立つことを示せ。
(２) n(n+1)+14が平方数となるような自然数nをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
a-(k2+2k-1)
=(n+k)2-n(n+1)-(k2+2k-1)
=2kn-n-2k+1
=(2k-1)(n-1)
≧0 (∵ k≧1、 n≧1)
なので、a≧k2+2k-1が成り立つ。
(２)
n(n+1)+14が平方数になるとき、その値はnの平方より大きいので、
自然数kを用いて、
n(n+1)+14=(n+k)2 ・・・・・・・(#)
と表せる。このとき、(１)より不等式
14≧k2+2k-1
⇔ k2+2k-15=(k+5)(k-3)≦0
⇔ -5≦k≦3
が成り立ち、これを満たす自然数kの値は1，2，3である。
k=1のとき
(#) ⇔ n(n+1)+14=(n+1)2 ⇔ n=13
k=2のとき
(#) ⇔ n(n+1)+14=(n+2)2 ⇔ 3n=10
となり、これを満たす自然数nは存在しない。
k=3のとき
(#) ⇔ n(n+1)+14=(n+3)2 ⇔ n=1
以上より、題意を満たす自然数nの値は、n=1，13である。
文系の問題とほぼ同じです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第２問
関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=1+\sin x-x\cos x\end{align*}}$ について、以下の問いに答えよ。
(１) f(x)の0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ における増減を調べ、最大値と最小値を求めよ。
(２) f(x)の不定積分を求めよ。
(３) 次の定積分の値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{2\pi}\left|f(x)\right|dx\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\cos x-\left(\cos x-x\sin x\right)=x\sin x\end{align*}}$
となるので、
0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲ではf’(x)≧0となり、f(x)は単調増加
$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲ではf’(x)≦0となり、f(x)は単調減少
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(0\right)=1\ \ ,\ \ f\left(\pi\right)=1+\pi\ \ ,\ \ f\left(2\pi\right)=1-2\pi\end{align*}}$
なので、f(x)の最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)_{max}=f\left(\pi\right)=\underline{\sf 1+\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)_{min}=f\left(2\pi\right)=\underline{\sf 1-2\pi}\end{align*}}$
(２)
部分積分法を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int f(x)dx&=\sf \int\left(1+\sin x-x\cos x\right)dx\\ &=\sf x-\cos x-\bigg\{x\sin x-\int \sin xdx\bigg\}\\ &=\sf \underline{\sf x-2\cos x-x\sin x+C}\end{align*}}$ (C：積分定数）
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=1-1+0=0\end{align*}}$
であることと、(１)で調べた増減より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲でf(x)≧0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{2}\leqq x\leqq 2\pi\end{align*}}$ の範囲でf(x)≦0
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{2\pi}\left|f(x)\right|dx&=\sf \int_0^{\frac{3\pi}{2}}f(x)dx+\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\left(-f(x)\right)dx\\ &=\sf \bigg[x-2\cos x-x\sin x\bigg]_0^{\frac{3\pi}{2}}-\bigg[x-2\cos x-x\sin x\bigg]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\\ &=\sf \underline{\sf 4\pi +4}\end{align*}}$
これは完答しましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第３問
複素数平面上に3点O、A、Bを頂点とする△OABがある。ただし、
Oは原点とする。△OABの外心をPとする。3点A、B、Pが表す
複素数を、それぞれ$\small\sf{\alpha,\beta,z}$ とするとき、
$\small\sf{\alpha\beta=z}$
が成り立つとする。
(１) 複素数$\small\sf{\alpha}$ の満たすべき条件を求め、点A($\small\sf{\alpha}$ )が描く図形を
複素数平面上に図示せよ。
(２) 点P(z)の存在範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Pは△OABの外心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP=BP&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |z|=|z-\beta| \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |\alpha\beta|=|\alpha\beta-\beta\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |\alpha||\beta|=|\alpha-1||\beta|\\&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |\alpha|=|\alpha-1|\ \ \ \ (\because\ \beta\ne 0)\end{align*}}$
これより、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は複素平面上で2点0、1から等距離にある点である。
よって、$\scriptsize\sf{\alpha}$ の実部は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、A($\scriptsize\sf{\alpha}$ )の描く図形は下図のようになる。
(２)
(１)と同様に、$\scriptsize\sf{\beta}$ の実部も$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、異なる2つの実数a、bを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{1}{2}+ai\ \ ,\ \ \beta=\frac{1}{2}+bi\end{align*}}$
と表せる。z=x+yi（x,yは実数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\alpha\beta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x+yi&=\sf \left(\frac{1}{2}+ai\right)\left(\frac{1}{2}+ai\right)\\ &=\sf \frac{1}{4}-ab+\frac{a+b}{2}i\end{align*}}$
両辺の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{4}-ab\ \ \Leftrightarrow\ \ ab=\frac{1}{4}-x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a+b}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a+b=2y\end{align*}}$
解と係数の関係より、a、bはtについての方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-2yt+\frac{1}{4}-x=0\end{align*}}$
の2解となる。
a、bが実数であることと、a≠bより判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=y^2-\left(\frac{1}{4}-x\right)>0 \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf x>-y^2+\frac{1}{4}}\end{align*}}$
これを複素平面上に図示すると下図のようになる。
（ただし、境界線上の点は含まない）
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:11:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第４問
さいころを続けて投げて、数直線上の点Pを移動させるゲームを行う。
初め点Pは原点0にいる。さいころを投げるたびに、出た目の数だけ、
点Pを現在の位置から正の向きに移動させる。この試行を続けて行い、
点Pが10に達するか越えた時点でゲームを終了する。n回目の試行で
ゲームが終了する確率をpnとする。
(１) p１0=$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{6}\right)^9\end{align*}}$ となることを示せ。
(２) p9の値を求めよ。
(３) p３の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
n回目のさいころの目をanとし、sn=a１+a２+・・・+anとおくと、
an≧1より、sn≧nである。
(１)
10回の試行における目の出方の総数は610通り。
9≦s9＜10 かつ s10≧10となればよいので、
s9=9=1+1+1+1+1+1+1+1+1となるa1～a9は1通り、
a10の値は6通りあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{10}=\frac{1\times 6}{6^{10}}=\underline{\sf \left(\frac{1}{6}\right)^9}\end{align*}}$
(２)
9回の試行における目の出方の総数は69通り。
8≦s8＜10 かつ s9≧10となればよいので、
次の2通りの場合が考えられる。
・ s8=8 かつ a9≧2の場合
s8=8=1+1+1+1+1+1+1+1となるa1～a8は1通り、
a9の値は5通り
・ s8=9 かつ a9≧1の場合
s8=9=1+1+1+1+1+1+1+2となるa1～a8は、
順序も考慮に入れると8通り、
a9の値は6通り
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{9}=\frac{1\times 5+8\times 6}{6^{9}}=\underline{\sf \frac{53}{6^9}}\end{align*}}$
(３)
3回の試行における目の出方の総数は63通り。
4≦s2＜10 かつ s3≧10となればよいので、
次の6通りの場合が考えられる。
・ s2=4 かつ a3≧6の場合
右表よりa1、a2の組は3通り
a3の値は1通り
・ s2=5 かつ a3≧5の場合
右表よりa1、a2の組は4通り
a3の値は2通り
・ s2=6かつ a3≧4の場合
右表よりa1、a2の組は5通り
a3の値は3通り
・ s2=7かつ a3≧3の場合
右表よりa1、a2の組は6通り
a3の値は4通り
・ s2=8 かつ a3≧2の場合
右表よりa1、a2の組は5通り
a3の値は5通り
・ s2=9 かつ a3≧1の場合
右表よりa1、a2の組は4通り
a3の値は6通り
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{3}=\frac{3\times 1+4\times 2+5\times 3+6\times 4+5\times 5+4\times 6}{6^{3}}=\underline{\sf \frac{11}{24}}\end{align*}}$
キチンと数えれば大丈夫です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:12:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第５問
座標平面上の3点A(1，0)、B(3，1)、C(2，2)を頂点とする。△ABCの
内部および境界をTとおく。実数aに対して、条件
AP2+BP2+CP2≦a
を満たす座標平面上の点Pの全体をDとする。ただし、APは点Aと点Pの
距離を表す。
(１) Dが少なくとも1つの点Pを含むようなaの値の範囲を求めよ。
(２) DがTを含むようなaの値の範囲を求めよ。
(３) (1)のもとで、DがTに含まれるようなaの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
点Pの座標を(x，y)とおくと、Dは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2+BP^2+CP^2\leqq a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \big\{\left(x-1\right)^2+y^2\big\}+\big\{\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2\big\}+\big\{\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2\big\}\leqq a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+y^2-4x-2y\leqq\frac{a-19}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2\leqq \frac{a-4}{3}\end{align*}}$ ・・・・・・・(*)
x、yは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2\geqq 0\end{align*}}$
よって、(*)を満たす実数x、yが存在するための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a-4}{3}\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 4\leqq a}\end{align*}}$
(２)
(１)の条件を満たすとき、(*)は点(2，1)（P0とする）を中心とする
半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\frac{a-4}{3}}\end{align*}}$ の円の周および内部を表す。
DがTを含むためには、Tの3頂点がすべてD内に含まれていればよい。
点A
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-2\right)^2+\left(0-1\right)^2\leqq\frac{a-4}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 10\end{align*}}$
点B
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(3-2\right)^2+\left(1-1\right)^2\leqq\frac{a-4}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 7\end{align*}}$
点C
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2-2\right)^2+\left(2-1\right)^2\leqq\frac{a-4}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 7\end{align*}}$
これらをすべて満たすようなaの値の範囲は、a≧10である。
(３)
DがTに含まれるとき、3直線AB、BC、CAはすべてDの外部にある。
すなわち、P0から各直線までの距離≧Dの半径であればよい。
直線AB：x-2y-1=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|2-2-1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}\geqq\sqrt{\frac{a-4}{3}}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{23}{5}\end{align*}}$
直線BC：x+y-4=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|2+1-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}\geqq\sqrt{\frac{a-4}{3}}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{11}{2}\end{align*}}$
直線CA：2x-y-2=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|4-1-2\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}\geqq\sqrt{\frac{a-4}{3}}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{23}{5}\end{align*}}$
(１)のもとで、これらをすべて満たすようなaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 4\leqq a\leqq\frac{23}{5}}\end{align*}}$
である。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/04(日) 01:13:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2017
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
