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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017大阪府立大 工学部 数学1(1)



第1問(1)

 (ⅰ) 不定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int\tan xdx\end{align*}}$ を求めよ。ただし、積分定数は省略してよい。

 (ⅱ) 関数I($\small\sf{\theta}$ )を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf I(\theta)=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}-\theta}\tan xdx\ \ \ \left(0<\theta<\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
    と定める。極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{\theta\rightarrow +0}\bigg(I(\theta)-I(2\theta)\bigg)\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf M=\lim_{\theta\rightarrow +0} \theta e^{I(\theta)}\end{align*}}$ を
    求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2017/05/01(月) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2017(工)
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2017大阪府立大 工学部 数学1(2)



第1問(2)

  aを実数とする。2つの等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf 3x+ay=0\ ,\ \ \ \left(a+2\right)x-y=3\end{align*}}$
  を同時に満たす整数x、yが存在するとき、aの値とそのときのx、yの値を
  それぞれ求めよ。



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  1. 2017/05/01(月) 23:57:00|
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2017大阪府立大 工学部 数学2



第2問

  平面上にAB=3、AD=3、DC=2、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AD}=\sqrt6\end{align*}}$ であり、辺ABと辺DCが平行な
  台形ABCDがある。また、tを0<t<1である実数とする。線分BDをt:(1-t)
  の比に内分する点をPとし、直線APと直線BCの交点をQとする。このとき、
  以下の問いに答えよ。

 (1) 三角形BCDの面積S0を求めよ。

 (2) 正の実数sをBQ:BC=s:1で定めるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ およびsを用いて
    表せ。

 (3) (2)のsをtを用いて表せ。

 (4) 線分PQと線分DCが共有点をもたないtの範囲を求めよ。

 (5) tが(4)で求めた範囲にあるとき、四角形PQCDの面積と三角形ABPの
    面積が等しくなるときのtの値を求めよ。



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  1. 2017/05/02(火) 23:57:00|
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2017大阪府立大 工学部 数学3



第3問

  xy平面において、連立不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq 1\ ,\ 0\leqq y\leqq 1\ ,\ \sin\left(\pi xy-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\pi xy-\frac{\pi}{4}\right)\geqq 1\end{align*}}$
  の表す領域をDとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 領域Dを図示せよ。

 (2) mをm≧1を満たす実数とする。点(x,y)が領域D上を動くとき、
    mx+yの最大値と最小値をそれぞれmを用いて表せ。



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  1. 2017/05/03(水) 23:57:00|
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2017大阪府立大 工学部 数学4



第4問

  nを自然数とする。1つのさいころをn回続けて投げるとき、出た目の数を順に
  X1,X2,・・・,Xnと表し、それらの積をYnと表す。ただし、X1=Y1とする。
  また、Ynを3で割ったときの余りがrである事象の確率をPn(r)(r=0,1,2)と
  する。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) P2(0)、P2(1)、P2(2)をそれぞれ求めよ。

 (2) n≧2のとき、Pn(0)、Pn(1)、Pn(2)のそれぞれをPn-1(0)、Pn-1(1)、Pn-1(2)
    を用いて表せ。

 (3) Pn(0)、Pn(1)、Pn(2)をそれぞれ求めよ。



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  1. 2017/05/04(木) 23:57:00|
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2017大阪府立大 工学部 数学5



第5問

  実数全体を定義域とする関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{\sqrt2 x}{\sqrt{1+2x^2}}\end{align*}}$
  に対して、その逆関数をf-1(x)と表す。曲線y=f(x)をC1とし、曲線y=f-1(x)
  をC2とするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) f(x)の導関数f’(x)を求めよ。また、y=f(x)の値域を求めよ。

 (2) f-1(x)を求めよ。また、C1とC2の交点をすべて求めよ。

 (3) 変数変換x=$\small\sf{\alpha}$ tan$\small\sf{\theta}$ を用いて、定積分
         $\small\sf{\begin{align*} \sf J=\int_0^{\alpha}\frac{dx}{x^2+\alpha^2}\end{align*}}$
    を求めよ。ただし、$\small\sf{\alpha}$ は正の定数とする。

 (3) 2曲線C1、C2のx≧0の部分で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転して
    できる回転体の体積Vを求めよ。




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  1. 2017/05/05(金) 23:57:00|
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