第1問(1)
(ⅰ) 不定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int\tan xdx\end{align*}}$ を求めよ。ただし、積分定数は省略してよい。
(ⅱ) 関数I($\small\sf{\theta}$ )を
$\small\sf{\begin{align*} \sf I(\theta)=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}-\theta}\tan xdx\ \ \ \left(0<\theta<\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
と定める。極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{\theta\rightarrow +0}\bigg(I(\theta）-I(2\theta)\bigg)\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf M=\lim_{\theta\rightarrow +0} \theta e^{I(\theta)}\end{align*}}$ を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int\tan xdx&=\sf \int\frac{\sin x}{\cos x}dx\\ &=\sf \int\frac{-\left(\cos x\right)'}{\cos x}dx\\ &=\sf \underline{\sf -\log\left|\cos x\right|}\end{align*}}$
(ⅱ)
(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf I(\theta)&=\sf \bigg[-\log |\cos x|\bigg]_{\pi/4}^{\pi/2-\theta}\\ &=\sf -\log\left|\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right|+\log\left|\cos\frac{\pi}{4}\right|\\ &=\sf -\log\left(\sin\theta\right)+\log\frac{1}{\sqrt2}\\ &=\sf \log\frac{1}{\sqrt2\sin\theta}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\log\left(\frac{1}{\sqrt2\sin\theta}-\frac{1}{\sqrt2\sin 2\theta}\right)\\ &=\sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\log\frac{\sin 2\theta}{\sin\theta}\\ &=\sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\log \left(2\cos\theta\right)\ \ \ \left(\because\ \sin 2\theta=2sin\theta\cos\theta\right)\\ &=\sf \log\left(2\cos 0\right)\\ &=\sf \underline{\sf \log 2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M&=\sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\theta\ e^{\log\frac{1}{\sqrt2\sin\theta}}\\ &=\sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{\theta}{\sqrt2\sin\theta}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{\sqrt2}}\end{align*}}$
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- 2017/05/01(月) 23:54:00|
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第1問(2)
aを実数とする。2つの等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf 3x+ay=0\ ,\ \ \ \left(a+2\right)x-y=3\end{align*}}$
を同時に満たす整数x、yが存在するとき、aの値とそのときのx、yの値を
それぞれ求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3x+ay=0\end{align*}}$ ・・・・・・・(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a+2\right)x-y=3\end{align*}}$ ・・・・・・・(ⅱ)
(ⅰ)において、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=0\end{align*}}$ となり、これは(ⅱ)を満たさないので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ne 0\end{align*}}$
よって、(ⅰ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-\frac{3x}{y}\end{align*}}$
と変形でき、これを(ⅱ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-\frac{3x}{y}+2\right)x-y=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3x^2-2xy+y^2+3y=0\end{align*}}$
これをxについての二次方程式とみなすと、xは実数なので、
判別式 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=y^2-3\left(y^2+3y\right)\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{9}{2}\leqq y\lt 0\end{align*}}$
yは整数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-4,-3,-2,-1\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-4\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{9}{a^2+2a+3}=-4&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4a^2+8a+3=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=-\frac{3}{2},-\frac{1}{2} \end{align*}}$
これと(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\frac{a}{3}y=-2,-\frac{2}{3}\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-3\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{9}{a^2+2a+3}=-3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3a^2+6a=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=0,-2 \end{align*}}$
これと(ⅰ)より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-0,-2\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{9}{a^2+2a+3}=-2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2a^2+4a-3=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2} \end{align*}}$
これと(ⅰ)より、xは整数にはならない。
・$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{9}{a^2+2a+3}=-1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a^2+2a-6=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=-1\pm\sqrt7 \end{align*}}$
これと(ⅰ)より、xは整数にはならない。
以上より、ヂ位を満たすa、x、yの組は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a,x,y\right)=\underline{\sf \left(-\frac{3}{2},-2,-4\right),\left(0,0,-3\right),\left(-2,-2,-3\right)}\end{align*}}$
aは整数とは限らないことに注意が必要です。
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- 2017/05/01(月) 23:57:00|
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第2問
平面上にAB=3、AD=3、DC=2、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AD}=\sqrt6\end{align*}}$ であり、辺ABと辺DCが平行な
台形ABCDがある。また、tを0＜t＜1である実数とする。線分BDをt：(1-t)
の比に内分する点をPとし、直線APと直線BCの交点をQとする。このとき、
以下の問いに答えよ。
(1) 三角形BCDの面積S0を求めよ。
(2) 正の実数sをBQ：BC=s：1で定めるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ およびsを用いて
表せ。
(3) (2)のsをtを用いて表せ。
(4) 線分PQと線分DCが共有点をもたないtの範囲を求めよ。
(5) tが(4)で求めた範囲にあるとき、四角形PQCDの面積と三角形ABPの
面積が等しくなるときのtの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle ABD&=\sf \frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf AB}\right|^2\left|\overrightarrow{\sf AD}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AD}\right)^2}\\ &=\sf \frac{1}{2}\sqrt{3^2\cdot 3^2-\left(\sqrt6\right)^2}\\ &=\sf \frac{5\sqrt3}{2}\end{align*}}$
AB//DCより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_0&=\sf \frac{DC}{AB}\times \triangle ABD\\ &=\sf \frac{2}{3}\times\frac{5\sqrt3}{2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{5\sqrt3}{3}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf AD}+\overrightarrow{\sf DC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf AB}+\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
QはBCをs：1-sに内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AQ}&=\sf \left(1-s\right)\overrightarrow{\sf AB}+s\overrightarrow{\sf AC}\\ &=\sf \underline{\sf \left(1-\frac{s}{3}\right)\overrightarrow{\sf AB}+s\overrightarrow{\sf AD}}\end{align*}}$
(3)
PはBDをt：(1-t)に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
3点A、P、Qは一直線上にあるので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=k\overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-\frac{s}{3}\right)\overrightarrow{\sf AB}+s\overrightarrow{\sf AD}=k\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf AB}+kt\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{s}{3}=k\left(1-t\right)\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=kt\end{align*}}$
これらからkを消去してsについて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\underline{\sf \frac{3t}{3-2t}}\end{align*}}$
(4)
Qが線分BC上（両端を除く）にあればよい。
0＜t＜1より3-2t＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt s=\frac{3t}{3-2t}<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 0\lt t<\frac{3}{5}}\end{align*}}$
(5)
四角形PQCD=△ABPのとき、△BCD=△ABQとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\triangle ABD=s\triangle ABC\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{3}=\frac{3t}{3t-2}\ \ \ \ \left(\because\ \triangle ABC=\triangle ABD\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{\sf \frac{6}{13}}\end{align*}}$
(5) △BCD=△ABQに気づきましょう
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- 2017/05/02(火) 23:57:00|
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第3問
xy平面において、連立不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq 1\ ,\ 0\leqq y\leqq 1\ ,\ \sin\left(\pi xy-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\pi xy-\frac{\pi}{4}\right)\geqq 1\end{align*}}$
の表す領域をDとするとき、以下の問いに答えよ。
(1) 領域Dを図示せよ。
(2) mをm≧1を満たす実数とする。点(x，y)が領域D上を動くとき、
mx+yの最大値と最小値をそれぞれmを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
合成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\sin\left(\pi xy-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)\geqq 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\pi xy\geqq \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{4}\leqq \pi xy\leqq \frac{3\pi}{4}\ \ \ \left(\because\ 0\leqq \pi xy\leqq \pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4x}\leqq y\leqq \frac{3}{4x}\ \ \ \left(\because\ 0\lt x\right)\end{align*}}$
よって、領域Dを図示すると右図のようになる。
（境界線上の点も含む）
(2)
4点P1～P4を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(\frac{1}{4},1\right)\ ,\ P_2\left(1,\frac{1}{4}\right)\ ,\ P_3\left(\frac{3}{4},1\right)\ , \ P_4\left(1,\frac{3}{4}\right)\end{align*}}$
とおく。
mx+y=k ⇔ y=-mx+k とおくと、これは傾き-m（≦-1）、切片k（≧0）の
直線を表す（この直線をLとおく）。
LがDと共有点を持つようにkが変化するとき、直線P3P4の傾きは-1なので、
Lが点P4を通るときkは最大となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_{max}=m+\frac{3}{4}\end{align*}}$
一方、Lと曲線$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{4x}\end{align*}}$ （C1とおく）が接するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -mx+k=\frac{1}{4x}\ \ \Leftrightarrow\ \ 4mx^2-4kx+1=0\end{align*}}$
これが重解を持つときなので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=4k^2-4m=0\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\sqrt{m}\ (\geqq 0)\end{align*}}$
のときであり、重解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4mx^2-4\sqrt{m}x+1=\left(2\sqrt{m}x-1\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{2\sqrt{m}}\end{align*}}$
LとC1が領域D内で接するのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\leqq \frac{1}{2\sqrt{m}}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq m\leqq 4\ \ \ \left(\because\ m\geqq 1\right)\end{align*}}$
の時である。
mがこの範囲にあるとき、LがC1に接するとき、すなわち
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{2\sqrt{m}}\ ,\ y=\frac{1}{4\cdot \frac{1}{2\sqrt{m}}}=\frac{\sqrt{m}}{2}\end{align*}}$
のとき、kは最小となり
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_{min}=m\cdot\frac{1}{2\sqrt{m}}+\frac{\sqrt{m}}{2}=\sqrt{m}\end{align*}}$
一方、4＜mの場合、Lが点P1を通るときにkが最小になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_{min}=\frac{1}{4}m+1\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf k_{max}=m+\frac{3}{4}\ \ ,\ \ k_{min}=\left\{\begin{matrix}\sf \sqrt{m} & \left(\sf 1\leqq m\leqq 4\right)\\ \sf \frac{1}{4}m+1& \left(\sf 4\lt m\sf \right)\end{matrix}\right.}\end{align*}}$
最小値の方は場合分けが必要です。
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- 2017/05/03(水) 23:57:00|
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第4問
nを自然数とする。1つのさいころをn回続けて投げるとき、出た目の数を順に
X1，X2，･･･，Xnと表し、それらの積をYnと表す。ただし、X1=Y1とする。
また、Ynを3で割ったときの余りがrである事象の確率をPn(r)（r=0，1，2）と
する。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) P2(0)、P2(1)、P2(2)をそれぞれ求めよ。
(2) n≧2のとき、Pn(0)、Pn(1)、Pn(2)のそれぞれをPn-1(0)、Pn-1(1)、Pn-1(2)
を用いて表せ。
(3) Pn(0)、Pn(1)、Pn(2)をそれぞれ求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Ynを3で割ったときの余りをrnとする。
(2)
・rn-1=0のときは、必ずrn=0になる
・rn-1=1のとき
Xn=3，6 のときrn=0
Xn=1，4 のときrn=1
Xn=2，5 のときrn=2
・rn-1=2のとき
Xn=3，6 のときrn=0
Xn=1，4 のときrn=2
Xn=2，5 のときrn=1
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf P_n(0)=P_{n-1}(0)+\frac{1}{3}\bigg\{P_{n-1}(1)+P_{n-1}(2)\bigg\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf P_n(1)=P_{n}(2)=\frac{1}{3}\bigg\{P_{n-1}(1)+P_{n-1}(2)\bigg\}}\end{align*}}$
(1)
(2)と
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1(0)=P_1(1)=P_1(2)=\frac{1}{3}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2(0)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=\underline{\sf \frac{5}{9}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2(1)=P_2(2)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=\underline{\sf \frac{2}{9}}\end{align*}}$
(3)
任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n(0)+P_n(1)+P_n(2)=1\end{align*}}$
が成り立つので、(2)の漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_n(0)&=\sf P_{n-1}(1)+\frac{1}{3}\bigg\{1-P_{n-1}(0)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_n(0)-1=\frac{2}{3}\bigg\{P_{n-1}(0)-1\bigg\}\end{align*}}$
と変形できるので、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \bigg\{P_{n}(0)-1\bigg\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{n}(0)-1&=\sf \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\bigg\{P_1(0)-1\bigg\} \\ &=\sf -\left(\frac{2}{3}\right)^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_n(0)=\underline{\sf 1-\left(\frac{2}{3}\right)^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_n(1)=P_n(2)&=\sf \frac{1}{2}\bigg\{1-P_n(0)\bigg\}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
(2)を先にやりました。
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- 2017/05/04(木) 23:57:00|
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第5問
実数全体を定義域とする関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{\sqrt2 x}{\sqrt{1+2x^2}}\end{align*}}$
に対して、その逆関数をf-1(x)と表す。曲線y=f(x)をC1とし、曲線y=f-1(x)
をC2とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) f(x)の導関数f’(x)を求めよ。また、y=f(x)の値域を求めよ。
(2) f-1(x)を求めよ。また、C1とC2の交点をすべて求めよ。
(3) 変数変換x=$\small\sf{\alpha}$ tan$\small\sf{\theta}$ を用いて、定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf J=\int_0^{\alpha}\frac{dx}{x^2+\alpha^2}\end{align*}}$
を求めよ。ただし、$\small\sf{\alpha}$ は正の定数とする。
(3) 2曲線C1、C2のx≧0の部分で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転して
できる回転体の体積Vを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{\sqrt2 x}{\sqrt{1+2x^2}}\end{align*}}$
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)&=\sf \frac{\sqrt2\cdot\sqrt{1+2x^2}-\sqrt2x\cdot\frac{4x}{2\sqrt{1+2x^2}}}{\left(\sqrt{1+2x^2}\right)^2}\\ &=\sf \frac{\sqrt2\left(1+2x^2\right)-2\sqrt2x^2}{\left(\sqrt{1+2x^2}\right)^3}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\sqrt2}{\left(\sqrt{1+2x^2}\right)^3}}\end{align*}}$
であり、f’(x)＞0なので、f(x)は単調に増加する。また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt2}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{-\sqrt2 t}{\sqrt{1+2\left(-t\right)^2}}=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{-\sqrt2}{\sqrt{\frac{1}{t^2}+2}}=-1\end{align*}}$
なので、y=f(x)の値域は、-1＜y＜1である。
(2)
y=f(x)は、x=0のときy=0であり、x＞0のときy＞0、x＜0のときy＜0
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{\sqrt2 x}{\sqrt{1+2x^2}}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(1+2x^2\right)y^2=2x^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2\left(1-y^2\right)x^2=y^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2=\frac{y^2}{2\left(1-y^2\right)}\ \ \ \left(\because\ -1\lt y<1\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\frac{y}{\sqrt{2\left(1-y^2\right)}}\end{align*}}$
よって、f(x)の逆関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\underline{\sf \frac{x}{\sqrt{2\left(1-x^2\right)}}}\end{align*}}$
C1とC2は直線y=xについて対称なので、これら2曲線の交点は、
直線y=x上にある。C1と直線y=xの交点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt2 x}{\sqrt{1+2x^2}}=x&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2x^2=x^2\left(1+2x^2\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2\left(2x^2-1\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=0,\pm\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
よって、C1とC2の交点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(0,0\right)\ ,\ \left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right)\ ,\ \left(-\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2}\right)}\end{align*}}$
(3)
x=$\scriptsize\sf{\alpha}$ tan$\scriptsize\sf{\theta}$ と置換したとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{\alpha}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
であり、0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\alpha\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf J&=\sf \int_0^{\alpha}\frac{dx}{x^2+\alpha^2}\\ &=\sf \int_0^{\pi/4}\frac{1}{\alpha^2\left(1+\tan^2\theta\right)}\cdot\frac{\alpha d\theta}{\cos^2\theta}\\ &=\sf \frac{1}{\alpha}\int_0^{\pi/4}d\theta\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\pi}{4\alpha}}\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_0^{1/\sqrt2}\bigg\{f(x)\bigg\}^2dx-\pi\int_0^{1/\sqrt2}\bigg\{f^{-1}(x)\bigg\}^2dx\\ &=\sf \pi\int_0^{1/\sqrt2}\frac{2x^2}{1+2x^2}dx-\pi\int_0^{1/\sqrt2}\frac{x^2}{2\left(1-x^2\right)}dx \end{align*}}$
1つ目の定積分は(3)を利用して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{1/\sqrt2}\frac{2x^2}{1+2x^2}dx&=\sf \int_0^{1/\sqrt2}\left(1-\frac{1}{1+2x^2}\right)dx\\ &=\sf \int_0^{1/\sqrt2}dx-\frac{1}{2}\int_0^{1/\sqrt2}\frac{dx}{x^2+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}\\ &=\sf \bigg[x\bigg]\int_0^{1/\sqrt2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4\cdot\frac{1}{\sqrt2}}\\ &=\sf \frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2\pi}{8}\end{align*}}$
2つ目の定積分は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{1/\sqrt2}\frac{x^2}{2\left(1-x^2\right)}dx&=\sf \frac{1}{2}\int_0^{1/\sqrt2}\left(-1+\frac{1}{1-x^2}\right)dx\\ &=\sf -\frac{1}{2}\int_0^{1/\sqrt2}dx+\frac{1}{4}\int_0^{1/\sqrt2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-x}\right)dx\\ &=\sf -\frac{1}{2}\bigg[x\bigg]_0^{1/\sqrt2}+\frac{1}{4}\bigg[-log\left|1-x\right|+\log\left|1+x\right|\bigg]_0^{1/\sqrt2}\\ &=\sf -\frac{\sqrt2}{4}+\frac{1}{4}\log\frac{1+\frac{1}{\sqrt2}}{1-\frac{1}{\sqrt2}}\\ &=\sf -\frac{\sqrt2}{4}+\frac{1}{4}\log\left(\sqrt2+1\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2\pi}{8}\right)\pi-\left(-\frac{\sqrt2}{4}+\frac{1}{4}\log\left(\sqrt2+1\right)\right)\pi\\ &=\sf \underline{\sf \left(\frac{3\sqrt2}{4}-\frac{\sqrt2\pi}{8}-\frac{1}{2}\log\left(\sqrt2+1\right)\right)\pi}\end{align*}}$
最後の計算がやや面倒です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/05/05(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2017（工）
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