第1問
AとBの2人が次のようなゲームを行う。Aは1から10までの自然数が
1つずつ書かれた10個の玉が入った袋から1つ取り出し、それをAの玉
とする。一方Bは1から6までの自然数が1つずつ書かれた6個の玉が
入った袋から1つ取り出し、それをBの玉とする。AとBの得点について
以下の(a)、(b)、(c)の3つの場合を考える。
(a) Aの得点はAの玉に書かれた数、Bの得点はBの玉に書かれた数
とする。
(b) Aの得点はAの玉に書かれた数、Bの得点はBの玉に書かれた数
の2倍とする。
(c) Bの玉に書かれた数が3以下の場合には、Aの得点はBの玉に書
かれた数、Bの得点はAの玉に書かれた数とする。Bの玉に書か
れた数が4以上の場合には、Aの得点はAの玉に書かれた数、Bの
得点はBの玉に書かれた数とする。
AとBの2人のうち得点の大きい人を勝ちとし、2人の得点が同じ場合は
引き分けとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) (a)の場合にBが勝つ確率を求めよ。
(2) (b)の場合にBが勝つ確率を求めよ。
(3) (c)の場合にBが勝つ確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A、Bの玉に書かれた数をそれぞれx、yとする。
(1)
(a)の場合にBが勝つのは
y=2のとき
x=1 の1通り
y=3のとき
x=1，2 の2通り
y=4のとき
x=1，2，3 の3通り
y=5のとき
x=1，2，3，4 の4通り
y=6のとき
x=1，2，3，4 ，5の5通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+2+3+4+5}{6\cdot 10}=\underline{\sf \frac{1}{4}}\end{align*}}$
(2)
(b)の場合にBが勝つのは
y=1のとき
x=1 の1通り
y=2のとき
x=1，2，3 の3通り
y=3のとき
x=1，2，3，4，5 の5通り
y=4のとき
x=1，2，3，･･･，7 の7通り
y=5のとき
x=1，2，3，･･･，9 の9通り
y=6のとき
x=1，2，3，･･･，10の10通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+3+5+7+9+10}{6\cdot 10}=\underline{\sf \frac{7}{12}}\end{align*}}$
(3)
(c)の場合にBが勝つのは
y=1のとき
x=2，3，4，・・・，10 の9通り
y=2のとき
x=3，4，5，・・・，10 の8通り
y=3のとき
x=4，5，6，・・・，10 の7通り
y=4のとき
x=1，2，3 の3通り
y=5のとき
x=1，2，3，4 の4通り
y=6のとき
x=1，2，3，4，5の5通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9+8+7+3+4+5}{6\cdot 10}=\underline{\sf \frac{3}{5}}\end{align*}}$
すべての場合を書き出すだけです。
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- 2017/04/25(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2017（文系）
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第2問
原点をOとする座標空間において、3点$\small\sf{A(2, 2,-1)\ ,\ B(3,2,0)\ ,\ C(2,3,0)}$
の定める平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。また、原点Oから平面$\small\sf{\alpha}$ に垂線を下ろし、
$\small\sf{\alpha}$ との交点を$\small\sf{Q}$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 点$\small\sf{Q}$ の座標を求めよ。
(2) $\small\sf{\angle OAQ=\theta}$ とする。$\small\sf{\cos\theta}$ の値を求めよ。
(3) a、b、cは実数とし、点Pは次の式を満たすとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=a\overrightarrow{\sf OA}+b\overrightarrow{\sf OB}+c\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
点Pが$\small\sf{a+b+c=0}$ かつ $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|=1\end{align*}}$ を満たしながら動くとき、内積
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Qは平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ 上にあるので、$\scriptsize\sf{s+t+u=1}$ …･･･① を満たす実数$\scriptsize\sf{s,t,u}$
を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}&=\sf s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}+u\overrightarrow{\sf OC}\\ &=\sf s\left(2,2,-1\right)+t\left(3,2,0\right)+u\left(2,3,0\right)\\ &=\sf \left(2s+3t+2u,2s+2t+3u,-s\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{OQ\bot \alpha}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(1,0,1\right)\end{align*}}$ および $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}=\left(-1,1,0\right)\end{align*}}$ と垂直なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=\left(2s+3t+2u\right)+0+\left(-s\right)=s+3t+2u=0\end{align*}}$ ・・・・・・・②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=-\left(2s+3t+2u\right)+\left(2s+2t+3u\right)+0=-t+u=0\end{align*}}$ ・・・・・・・③
①、②、③を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{5}{3}\ ,\ t=u=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\left(\frac{5}{3},\frac{5}{3},-\frac{5}{3}\right)\end{align*}}$
よって、点$\scriptsize\sf{Q}$ の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(\frac{5}{3},\frac{5}{3},-\frac{5}{3}\right)}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AQ=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt6}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\angle OQA=90^{\circ}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{AQ}{OA}=\frac{\frac{\sqrt6}{3}}{\sqrt{2^2+2^2+\left(-1\right)^2}}=\underline{\sf \frac{\sqrt6}{9}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}&=\sf a\overrightarrow{\sf OA}+b\overrightarrow{\sf OB}+c\overrightarrow{\sf OC}\\ &=\sf \left(2a+3b+2b,2a+2b+3c,-a\right)\\ &=\sf \left(b,c,-a\right)\ \ \ \left(\because\ a+b+c=0\right)\end{align*}}$
と(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=\frac{5}{3}b+\frac{5}{3}c+\frac{5}{3}a=0\ \ \ \left(\because\ a+b+c=0\right)\end{align*}}$
なので、点Pは、点Oを通り$\scriptsize\sf{OQ}$ と垂直な平面（$\scriptsize\sf{\beta}$ とする）上にある。
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|=1\end{align*}}$ より、点Pは平面$\scriptsize\sf{\beta}$ 上で、Oを中心とする半径1の円周上
を動く。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=|\overrightarrow{\sf OP}||\overrightarrow{\sf OA}|\cos\angle AOP=3\cos\angle AOP\end{align*}}$
なので、内積$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ が最大になるのは、$\scriptsize\sf{\angle AOP}$ が最小になるとき、
すなわち、$\scriptsize\sf{\triangle OAP}$ において辺APが最小になるときである。
Aから平面$\scriptsize\sf{\beta}$ に下した垂線の足をHとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=\sqrt{AH^2+PH^2}\end{align*}}$
なので、APが最小になるのは、PHが最小になるときであり、このとき、
3点O、H、Pはこの順で一直線上になる。
このとき、$\scriptsize\sf{AQ//PO}$ なので、$\scriptsize\sf{\angle AOP=\angle OAQ=\theta}$
よって、(2)より内積$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}_{\ max}=3\cos\theta=\underline{\sf \frac{\sqrt6}{3}}\end{align*}}$
(2)の結論を用いた答案を書いてみましたが、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=0\end{align*}}$ に気づきますかね？
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- 2017/04/26(水) 23:57:00|
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第3問
数列$\small\sf{\{a_n\}}$ を次の条件によって定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=3\ ,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{a_2\ ,\ a_3}$ を求めよ。
(2) nは自然数とする。不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n\gt \sqrt6\end{align*}}$ を証明せよ。
(2) nは自然数とする。不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-\sqrt6\lt\frac{1}{4}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\end{align*}}$ を証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{3}{2}+\frac{3}{3}=\underline{\sf \frac{5}{2}}\ \ ,\ \ a_3=\frac{5}{4}+\frac{6}{5}=\underline{\sf \frac{49}{20}}\end{align*}}$
(2)
任意の自然数nに対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n>\sqrt6\end{align*}}$ が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) $\small\sf{n=1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=3=\sqrt9>\sqrt6\end{align*}}$ よりOK
(ⅱ) $\small\sf{n=k}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_k>\sqrt6\end{align*}}$ ・・・・・・・① が成り立つとすると、
相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{k+1}&=\sf \frac{a_k}{2}+\frac{3}{a_k}\\ &\geqq \sf 2\sqrt{\frac{a_k}{2}\cdot\frac{3}{a_k}}\\ &=\sf \sqrt6\end{align*}}$
等号が成立するのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_k}{2}=\frac{3}{a_k}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_k^{\ 2}=6\ \ \Leftrightarrow\ \ a_k=\sqrt6\ (>0)\end{align*}}$
のときであるが、①の仮定の下では等号は成立しないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k+1}\gt\sqrt6\end{align*}}$ となり、$\small\sf{n=k+1}$ のときも不等式は成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n>\sqrt6\end{align*}}$ が成り立つ。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}-\sqrt6&=\sf \frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n}-\sqrt6\\ &=\sf \frac{a_n^{\ 2}-2\sqrt6\ a_n+6}{2a_n}\\ &=\sf \frac{1}{2a_n}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\\ &<\sf \frac{1}{4}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\ \ \ \left(\because\ a_n>\sqrt6>2\right)\end{align*}}$
相加・相乗平均を使うのは見え見えですね！
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- 2017/04/27(木) 23:57:00|
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第4問
pを正の実数とする。放物線y=px2をC1、放物線y=-px2+2px+$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2p}\end{align*}}$ を
C2とし、C1とC2の2つの交点をA、Bとする。ただし、Aのx座標をa、
Bのx座標をbとしたとき、a＜bである。また、C1とC2で囲まれた図形の
面積をSとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 点AにおけるC1の接線とC2の接線は垂直であることを示せ。また、
点BにおけるC1の接線とC2の接線も垂直であることを示せ。
(2) Sをpを用いて表せ。
(3) pがすべての正の実数を動くとき、p=tan$\small\sf{\theta}$ （0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）とおくことに
より、Sの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf px^2=-px^2+2px+\frac{1}{2p} \ \ \Leftrightarrow\ \ 4p^2x^2-4p^2x-1=0\end{align*}}$ ・・・・・・・(ⅰ)
であり、x=aは(ⅰ)の解なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4p^2a^2-4p^2a-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ -4p^2a^2+4p^2a=-1\end{align*}}$ ・・・・・・・(ⅱ)
C1およびC2の導関数はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=2px\ \ ,\ \ y\ '=-2px+2p\end{align*}}$
なので、点AにおけるC1の接線の傾きとC2の接線の傾きの積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2pa\left(-2pa+2p\right)=-4p^2a^2+4p^2a=-1\ \ \ \ \left(\because\ (ii)\right)\end{align*}}$
となるので、これら2接線は直交する。
Bについても同様である。
(2)
a、bは(ⅰ)の解なので、解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+b=1\ \ ,\ \ ab=-\frac{1}{4p^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b-a=\sqrt{\left(a+b\right)^2-4ab}=\sqrt{1+\frac{1}{p^2}}\ \ \ \left(\because\ a\lt b\right)\end{align*}}$
a＜x＜bの範囲では、C2はC1より上側にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_a^b\bigg\{\left(px^2+2px+\frac{1}{2p}\right)-px^2\bigg\}dx\\ &=\sf -2p\int_a^b\left(x-a\right)\left(x-b\right)dx\\ &=\sf \frac{2p}{6}\left(b-a\right)^3\\ &=\sf \underline{\sf \frac{p}{3}\left(\sqrt{1+\frac{1}{p^2}}\right)^3}\end{align*}}$
(3)
(2)にp=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{\tan\theta}{3}\left(\sqrt{1+\frac{1}{\tan^2\theta}}\right)^3\\ &=\sf \frac{\tan\theta}{3}\left(\sqrt{\frac{1}{\sin^2\theta}}\right)^3\\ &=\sf \frac{\tan\theta}{3\sin^3\theta}\\ &=\sf \frac{1}{3\cos\theta\sin^2\theta}\\ &=\sf \frac{1}{3\cos\theta\left(1-\cos^2\theta\right)} \end{align*}}$
ここで関数f(t)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)=t\left(1-t^2\right)=-t^3+t\ \ \left(0\lt t<1\right)\end{align*}}$
と定めると、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=-3t^2+1\end{align*}}$
となるので、f(t)の増減は次のようになる。
Sが最小になるのは、分母が最大になるときなので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{min}&=\sf \frac{1}{3f\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)}\\ &=\sf \frac{1}{3\cdot\frac{2\sqrt3}{9}}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
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- 2017/04/28(金) 23:57:00|
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