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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017大阪府立大 前期文系 数学1



第1問

  AとBの2人が次のようなゲームを行う。Aは1から10までの自然数が
  1つずつ書かれた10個の玉が入った袋から1つ取り出し、それをAの玉
  とする。一方Bは1から6までの自然数が1つずつ書かれた6個の玉が
  入った袋から1つ取り出し、それをBの玉とする。AとBの得点について
  以下の(a)、(b)、(c)の3つの場合を考える。
   (a) Aの得点はAの玉に書かれた数、Bの得点はBの玉に書かれた数
      とする。
   (b) Aの得点はAの玉に書かれた数、Bの得点はBの玉に書かれた数
      の2倍とする。
   (c) Bの玉に書かれた数が3以下の場合には、Aの得点はBの玉に書
      かれた数、Bの得点はAの玉に書かれた数とする。Bの玉に書か
      れた数が4以上の場合には、Aの得点はAの玉に書かれた数、Bの
      得点はBの玉に書かれた数とする。
   AとBの2人のうち得点の大きい人を勝ちとし、2人の得点が同じ場合は
   引き分けとする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) (a)の場合にBが勝つ確率を求めよ。

 (2) (b)の場合にBが勝つ確率を求めよ。

 (3) (c)の場合にBが勝つ確率を求めよ。



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  1. 2017/04/25(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2017(文系)
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2017大阪府立大 前期文系 数学2



第2問

  原点をOとする座標空間において、3点A(2,2,-1)、B(3,2,0)、
  C(2,3,0)の定める平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。また、原点Oから平面$\small\sf{\alpha}$ に
  垂線を下ろし、$\small\sf{\alpha}$ との交点をQとする。このとき、以下の問いに答
  えよ。

 (1) 点Qの座標を求めよ。

 (2) ∠OAQ=$\small\sf{\theta}$ とする。cos$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。

 (3) a、b、cは実数とし、点Pは次の式を満たすとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=a\overrightarrow{\sf OA}+b\overrightarrow{\sf OB}+c\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
    点Pがa+b+c=0かつ $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|=1\end{align*}}$ を満たしながら動くとき、内積
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ の最大値を求めよ。




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  1. 2017/04/26(水) 23:57:00|
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2017大阪府立大 前期文系 数学3



第3問

  数列{an}を次の条件によって定める。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=3\ ,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) a2、a3を求めよ。

 (2) nは自然数とする。不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n>\sqrt6\end{align*}}$ を証明せよ。

 (2) nは自然数とする。不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-\sqrt6<\frac{1}{4}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\end{align*}}$ を証明せよ。



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  1. 2017/04/27(木) 23:57:00|
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2017大阪府立大 前期文系 数学4



第4問

  pを正の実数とする。放物線y=px2をC1、放物線y=-px2+2px+$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2p}\end{align*}}$ を
  C2とし、C1とC2の2つの交点をA、Bとする。ただし、Aのx座標をa、
  Bのx座標をbとしたとき、a<bである。また、C1とC2で囲まれた図形の
  面積をSとする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 点AにおけるC1の接線とC2の接線は垂直であることを示せ。また、
    点BにおけるC1の接線とC2の接線も垂直であることを示せ。

 (2) Sをpを用いて表せ。

 (3) pがすべての正の実数を動くとき、p=tan$\small\sf{\theta}$ (0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )とおくことに
    より、Sの最小値を求めよ。



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  1. 2017/04/28(金) 23:57:00|
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