第1問
AとBの2人が次のようなゲームを行う。Aは1から10までの自然数が
1つずつ書かれた10個の玉が入った袋から1つ取り出し、それをAの玉
とする。一方Bは1から6までの自然数が1つずつ書かれた6個の玉が
入った袋から1つ取り出し、それをBの玉とする。AとBの得点について
以下の(a)、(b)、(c)の3つの場合を考える。
(a) Aの得点はAの玉に書かれた数、Bの得点はBの玉に書かれた数
とする。
(b) Aの得点はAの玉に書かれた数、Bの得点はBの玉に書かれた数
の2倍とする。
(c) Bの玉に書かれた数が3以下の場合には、Aの得点はBの玉に書
かれた数、Bの得点はAの玉に書かれた数とする。Bの玉に書か
れた数が4以上の場合には、Aの得点はAの玉に書かれた数、Bの
得点はBの玉に書かれた数とする。
AとBの2人のうち得点の大きい人を勝ちとし、2人の得点が同じ場合は
引き分けとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) (a)の場合にBが勝つ確率を求めよ。
(2) (b)の場合にBが勝つ確率を求めよ。
(3) (c)の場合にBが勝つ確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A、Bの玉に書かれた数をそれぞれx、yとする。
(1)
(a)の場合にBが勝つのは
y=2のとき
x=1 の1通り
y=3のとき
x=1，2 の2通り
y=4のとき
x=1，2，3 の3通り
y=5のとき
x=1，2，3，4 の4通り
y=6のとき
x=1，2，3，4 ，5の5通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+2+3+4+5}{6\cdot 10}=\underline{\sf \frac{1}{4}}\end{align*}}$
(2)
(b)の場合にBが勝つのは
y=1のとき
x=1 の1通り
y=2のとき
x=1，2，3 の3通り
y=3のとき
x=1，2，3，4，5 の5通り
y=4のとき
x=1，2，3，･･･，7 の7通り
y=5のとき
x=1，2，3，･･･，9 の9通り
y=6のとき
x=1，2，3，･･･，10の10通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+3+5+7+9+10}{6\cdot 10}=\underline{\sf \frac{7}{12}}\end{align*}}$
(3)
(c)の場合にBが勝つのは
y=1のとき
x=2，3，4，・・・，10 の9通り
y=2のとき
x=3，4，5，・・・，10 の8通り
y=3のとき
x=4，5，6，・・・，10 の7通り
y=4のとき
x=1，2，3 の3通り
y=5のとき
x=1，2，3，4 の4通り
y=6のとき
x=1，2，3，4，5の5通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9+8+7+3+4+5}{6\cdot 10}=\underline{\sf \frac{3}{5}}\end{align*}}$
文系と共通問題です。
すべての場合を書き出すだけです。
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- 2017/04/29(土) 23:51:00|
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第2問
原点をOとする座標空間において、3点$\small\sf{A(2, 2,-1)\ ,\ B(3,2,0)\ ,\ C(2,3,0)}$
の定める平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。また、原点Oから平面$\small\sf{\alpha}$ に垂線を下ろし、
$\small\sf{\alpha}$ との交点を$\small\sf{Q}$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 点$\small\sf{Q}$ の座標を求めよ。
(2) $\small\sf{\angle OAQ=\theta}$ とする。$\small\sf{\cos\theta}$ の値を求めよ。
(3) a、b、cは実数とし、点Pは次の式を満たすとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=a\overrightarrow{\sf OA}+b\overrightarrow{\sf OB}+c\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
点Pが$\small\sf{a+b+c=0}$ かつ $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|=1\end{align*}}$ を満たしながら動くとき、内積
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Qは平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ 上にあるので、$\scriptsize\sf{s+t+u=1}$ …･･･① を満たす実数$\scriptsize\sf{s,t,u}$
を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}&=\sf s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}+u\overrightarrow{\sf OC}\\ &=\sf s\left(2,2,-1\right)+t\left(3,2,0\right)+u\left(2,3,0\right)\\ &=\sf \left(2s+3t+2u,2s+2t+3u,-s\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{OQ\bot \alpha}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(1,0,1\right)\end{align*}}$ および $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}=\left(-1,1,0\right)\end{align*}}$ と垂直なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=\left(2s+3t+2u\right)+0+\left(-s\right)=s+3t+2u=0\end{align*}}$ ・・・・・・・②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=-\left(2s+3t+2u\right)+\left(2s+2t+3u\right)+0=-t+u=0\end{align*}}$ ・・・・・・・③
①、②、③を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{5}{3}\ ,\ t=u=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\left(\frac{5}{3},\frac{5}{3},-\frac{5}{3}\right)\end{align*}}$
よって、点$\scriptsize\sf{Q}$ の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(\frac{5}{3},\frac{5}{3},-\frac{5}{3}\right)}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AQ=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt6}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\angle OQA=90^{\circ}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{AQ}{OA}=\frac{\frac{\sqrt6}{3}}{\sqrt{2^2+2^2+\left(-1\right)^2}}=\underline{\sf \frac{\sqrt6}{9}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}&=\sf a\overrightarrow{\sf OA}+b\overrightarrow{\sf OB}+c\overrightarrow{\sf OC}\\ &=\sf \left(2a+3b+2b,2a+2b+3c,-a\right)\\ &=\sf \left(b,c,-a\right)\ \ \ \left(\because\ a+b+c=0\right)\end{align*}}$
と(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=\frac{5}{3}b+\frac{5}{3}c+\frac{5}{3}a=0\ \ \ \left(\because\ a+b+c=0\right)\end{align*}}$
なので、点Pは、点Oを通り$\scriptsize\sf{OQ}$ と垂直な平面（$\scriptsize\sf{\beta}$ とする）上にある。
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|=1\end{align*}}$ より、点Pは平面$\scriptsize\sf{\beta}$ 上で、Oを中心とする半径1の円周上
を動く。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=|\overrightarrow{\sf OP}||\overrightarrow{\sf OA}|\cos\angle AOP=3\cos\angle AOP\end{align*}}$
なので、内積$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ が最大になるのは、$\scriptsize\sf{\angle AOP}$ が最小になるとき、
すなわち、$\scriptsize\sf{\triangle OAP}$ において辺APが最小になるときである。
Aから平面$\scriptsize\sf{\beta}$ に下した垂線の足をHとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=\sqrt{AH^2+PH^2}\end{align*}}$
なので、APが最小になるのは、PHが最小になるときであり、このとき、
3点O、H、Pはこの順で一直線上になる。
このとき、$\scriptsize\sf{AQ//PO}$ なので、$\scriptsize\sf{\angle AOP=\angle OAQ=\theta}$
よって、(2)より内積$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}_{\ max}=3\cos\theta=\underline{\sf \frac{\sqrt6}{3}}\end{align*}}$
(2)の結論を用いた答案を書いてみましたが、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=0\end{align*}}$ に気づきますかね？
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- 2017/04/29(土) 23:54:00|
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第3問
数列$\small\sf{\{a_n\}}$ を次の条件によって定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=3\ ,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) nは自然数とする。不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n>\sqrt6\end{align*}}$ を証明せよ。
(2) nは自然数とする。不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-\sqrt6<\frac{1}{4}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\end{align*}}$ を証明せよ。
(3) 数列$\small\sf{\{a_n\}}$ の収束、発散について調べ、極限があればその極限を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
任意の自然数nに対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n>\sqrt6\end{align*}}$ が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{n=1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=3=\sqrt9>\sqrt6\end{align*}}$ よりOK
(ⅱ) $\scriptsize\sf{n=k}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_k>\sqrt6\end{align*}}$ ・・・・・・・① が成り立つとすると、
相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{k+1}&=\sf \frac{a_k}{2}+\frac{3}{a_k}\\ &\geqq \sf 2\sqrt{\frac{a_k}{2}\cdot\frac{3}{a_k}}\\ &=\sf \sqrt6\end{align*}}$
等号が成立するのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_k}{2}=\frac{3}{a_k}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_k^{\ 2}=6\ \ \Leftrightarrow\ \ a_k=\sqrt6\ (>0)\end{align*}}$
のときであるが、①の仮定の下では等号は成立しないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k+1}>\sqrt6\end{align*}}$ となり、n=k+1のときも不等式は成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n>\sqrt6\end{align*}}$ が成り立つ。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}-\sqrt6&=\sf \frac{a_n}{2}+\frac{3}{a_n}-\sqrt6\\ &=\sf \frac{a_n^{\ 2}-2\sqrt6\ a_n+6}{2a_n}\\ &=\sf \frac{1}{2a_n}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\\ &<\sf \frac{1}{4}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\ \ \ \left(\because\ a_n>\sqrt6>2\right)\end{align*}}$
(3)
(2)の不等式を繰り返し用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a_{n+1}-\sqrt6&<\sf \frac{1}{4}\left(a_n-\sqrt6\right)^2\\ &<\sf \frac{1}{4}\left\{\frac{1}{4}\left(a_{n-1}-\sqrt6\right)^2\right\}^2\\ &=\sf \frac{1}{4^3}\left(a_{n-1}-\sqrt6\right)^4\\ &<\sf \frac{1}{4^3}\left\{\frac{1}{4}\left(a_{n-2}-\sqrt6\right)^2\right\}^4\\ &=\sf \frac{1}{4^7}\left(a_{n-2}-\sqrt6\right)^8\\ &\ \vdots\sf \\ &\ \vdots\sf \\ &<\sf \sf \frac{1}{4^{2n-1}}\left(a_{1}-\sqrt6\right)^{2n}\\ &=\sf 4\cdot\left(\frac{3-\sqrt6}{4}\right)^{2n}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{3-\sqrt6}{4}<1\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ 4\cdot\left(\frac{3-\sqrt6}{4}\right)^{2n}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n+1}-\sqrt6\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n=\underline{\ \sqrt6}\end{align*}}$
相加・相乗平均を使うのは見え見えですね！
(1)、(2)は文系と共通の問題です。
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- 2017/04/29(土) 23:57:00|
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第4問
曲線$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x}\ \left(x>0\right)\end{align*}}$ をCとする。自然数nに対して、点$\small\sf{\begin{align*} \sf P_n\left(n,\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$ における
曲線Cの接線を$\small\sf{L_n}$ とする。また、2直線$\small\sf{L_n\ ,\ L_{n+1}}$ と曲線Cで囲まれた
図形の面積を$\small\sf{S_n}$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{L_n}$ と$\small\sf{L_{n+1}}$ の交点を求めよ。
(2) $\small\sf{S_n}$ を求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^3S_n\end{align*}}$ を求めよ。ただし、必要があれば次の不等式を証明せずに
用いてもよい。
$\small\sf{x\gt 0}$ のとき
$\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4<\log\left(1+x\right)\lt x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Cの導関数は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=-\frac{1}{x^2}\end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{L_n\ ,\ L_{n+1}}$ の方程式はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_n:\ y-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n^2}\left(x-n\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{n^2}x+\frac{2}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_{n+1}:\ y=-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}x+\frac{2}{n+1}\end{align*}}$
これら2直線の交点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{n^2}x+\frac{2}{n}=-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}x+\frac{2}{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2n+1}{n^2\left(n+1\right)^2}x=\frac{2}{n\left(n+1\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2n\left(n+1\right)}{2n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{n^2}\cdot\frac{2n\left(n+1\right)}{2n+1}+\frac{2}{n}=\frac{2}{2n+1}\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(\frac{2n\left(n+1\right)}{2n+1},\frac{2}{2n+1}\right)}\end{align*}}$
(2)
(1)で求めた交点のx座標を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf N=\frac{2n\left(n+1\right)}{2n+1}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf \int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx-\int_n^N\left(-\frac{1}{n^2}x+\frac{2}{n}\right)dx-\int_N^{n+1}\left\{-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}x+\frac{2}{n+1}\right\}dx\\ &=\sf \bigg[\log|x|\bigg]_n^{n+1}+\frac{1}{n^2}\left[\frac{x^2}{2}-2nx\right]_n^N+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\left[\frac{x^2}{2}-2\left(n+1\right)x\right]_N^{n+1}\\ &=\sf \log\frac{n+1}{n}+\frac{1}{n^2}\left(\frac{N^2}{2}-2nN\right)+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\left\{\frac{N^2}{2}-2\left(n+1\right)N\right\}\\ &=\sf \log\left(1+\frac{1}{n}\right)+\frac{2n+1}{2n^2\left(n+1\right)^2}\cdot N^2-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\cdot N\\ &=\sf \log\left(1+\frac{1}{n}\right)+\frac{2n+1}{2n^2\left(n+1\right)^2}\cdot \frac{4n^4\left(n+1\right)^4}{\left(2n+1\right)^2}-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\cdot \frac{2n\left(n+1\right)}{2n+1}\\ &=\sf \underline{\sf \log\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{2}{2n+1}}\end{align*}}$
(3)
与えられた不等式において、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{n}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}-\frac{1}{4n^4}<\log\left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}-\frac{1}{4n^4}-\frac{2}{2n+1}\lt S_n<\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}-\frac{2}{2n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n^2-\frac{n}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4n}-\frac{2n^3}{2n+1}\lt n^3S_n\lt n^2-\frac{n}{2}+\frac{1}{3}-\frac{2n^3}{2n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}-\frac{n}{2\left(2n+1\right)}-\frac{1}{4n}\lt n^3S_n\lt \frac{1}{3}-\frac{n}{2\left(2n+1\right)}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{4n}\end{align*}}$ なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^3S_n&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\frac{1}{3}-\frac{n}{2\left(2n+1\right)}\right\}\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\frac{1}{3}-\frac{1}{2\left(2+\frac{1}{n}\right)}\right\}\\ &=\sf \frac{1}{3}-\frac{1}{2\times\left(2+0\right)}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{12}}\end{align*}}$
途中の計算式を省略していますが、けっこう面倒です・・・・
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- 2017/04/30(日) 23:57:00|
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