第1問
駒が単位時間ごとに座標平面上を移動するものとする。nは0以上の整数とし、
時刻nに点(x，y)にある駒は、時刻n+1には$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ ずつの確率で、4点(x+1，y)、
(x-1，y)、(x，y+1)、(x，y-1)のいずれかに移動するものとする。時刻0に
点(0，0)にある駒について、次の問いに答えよ。
(1) 時刻2に、駒が点(0，0)、点(1，0)、点(1，1)、点(2，0)にある確率を、
それぞれ求めよ。
(2) 時刻4に、駒が点(0，0)にある確率を求めよ。
(3) 時刻nに駒が点(x，y)にあるとき、nとx+yの差は2の倍数であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
点(x，y)から点(x+1，y)、(x-1，y)、(x，y+1)、(x，y-1)への移動を
それぞれア、イ、ウ、エとする。
時刻nにおける駒の座標を(xn，yn)とし、
時刻0から時刻nまでに、ア～エの移動が起こった回数をそれぞれ
an、bn、cn、dnとすると、
(xn，yn)=(an-bn，cn-dn)
(1)
(x2，y2)=(0，0)となるような、a2～d2の値の組は、
(a2，b2，c2，d2)=(1，1，0，0)、(0，0，1，1)
なので、順序も考慮に入れて確率を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\right)^2\times 2!\times 2=\underline{\sf \frac{1}{4}}\end{align*}}$
(x2，y2)=(1，0)となるような、a2～d2は存在しないので確率は0である。
(x2，y2)=(1，1)となるような、a2～d2の値の組は、
(a2，b2，c2，d2)=(1，0，1，0)
なので、順序も考慮に入れて確率を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\right)^2\times 2!=\underline{\sf \frac{1}{8}}\end{align*}}$
(x2，y2)=(2，0)となるような、a2～d2の値の組は、
(a2，b2，c2，d2)=(2，0，0，0)
なので、確率を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\right)^2=\underline{\sf \frac{1}{16}}\end{align*}}$
(2)
(x4，y4)=(0，0)となるような、a4～d4の値の組は、
(a4，b4，c4，d4)=(1，1，1，1)、(2，2，0，0)、(0，0，2，2)
なので、順序も考慮に入れて確率を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\right)^4\times \left(4!+\frac{4!}{2!\cdot 2!}+\frac{4!}{2!\cdot 2!}\right)=\underline{\sf \frac{9}{64}}\end{align*}}$
(3)
nとx+yの差は
n-(xn+yn)
=(an+bn+cn+dn)-(an-bn+cn-dn)
=2(cn+dn)
となるので、2の倍数である。
xn、ynやan～dnを定義しておくと答案が書きやすいです。
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- 2017/04/17(月) 23:57:00|
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第2問
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=2^{3x}+2^{-3x}-4\left(2^{2x}+2^{-2x}\right)\end{align*}}$ とする。次の問いに答えよ。
(1) kを実数とする。xについての方程式$\small\sf{\begin{align*} \sf 2^x+2^{-x}=k\end{align*}}$ の実数解の個数を
求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf t=2^x+2^{-x}\end{align*}}$ とおく。f(x)をtで表せ。
(3) xがすべての実数を動くとき、f(x)が最小となるようなxと、そのときの
f(x)の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^x+2^{-x}=k\end{align*}}$ ・・・・・・(*)
2x＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^x+2^{-x}\geqq 2\sqrt{2^x\cdot 2^{-x}}=2\end{align*}}$
(ⅰ) k＜2のとき
(*)を満たす実数xの個数は0個
(ⅱ) k=2のとき
これは相加・相乗平均の等号が成立するときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^x=2^{-x}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2^x=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\end{align*}}$
よって、(*)を満たす実数xの個数は1個
(ⅲ) k＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(2^x\right)^2-k\cdot 2^x+1=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2^x=\frac{k\pm\sqrt{k^2-4}}{2}\ (>0)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\log_2\frac{k\pm\sqrt{k^2-4}}{2}\end{align*}}$
よって、(*)を満たす実数xの個数は2個
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2^{2x}+2^{-2x}&=\sf \left(2^x+2^{-x}\right)^2-2\cdot2^x\cdot 2^{-x}\\ &=\sf t^2-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2^{3x}+2^{-3x}&=\sf \left(2^x+2^{-x}\right)^3-3\cdot2^x\cdot 2^{-x}\left(2^x+2^{-x}\right)\\ &=\sf t^3-3t\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(t)&=\sf \left(t^3-3t\right)-4\left(t^2-2\right)\\ &=\sf \underline{\sf t^3-4t^2-3t+8}\end{align*}}$
(3)
(2)で得られた式をF(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '(t)=3t^2-8t-3=\left(3t+1\right)\left(t-3\right)\end{align*}}$
また、(1)より、t≧2なので、
2≦t＜3のとき、F’(t)＜0よりF(t)は単調に減少し、
3＜tのとき、F’(t)＞0よりF(t)は単調に増加する。
よって、F(t)が最小になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=2^x+2^{-x}=3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(2^x\right)^2-3\cdot 2^x+1=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2^x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf x=\log_2\frac{3\pm\sqrt5}{2}}\end{align*}}$
のときであり、最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)_{min}&=\sf F(3)\\ &=\sf 27-36-9+8\\ &=\sf \underline{\sf -10}\end{align*}}$
これはよくある問題ですね。
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- 2017/04/18(火) 23:57:00|
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第3問
三角形OABにおいて、辺ABを1：2に内分する点をO’、辺BOを1：2 に内分
する点をA’、辺OAを1：2に内分する点をB’とし、線分AA’とBB’の交点を
P、BB’とOO’の交点をQ、OO’とAA’の交点をRとする。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OO'}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) OR：RO’=6：1となることを示せ。
(3) 三角形PQRの面積Mを三角形OABの面積Sを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
O’はABを1：2に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OO'}=\frac{2\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}}{1+2}=\underline{\sf \frac{2\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3}}\end{align*}}$
(2)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{RO'}{OR}\cdot\frac{AB}{O'A}\cdot\frac{A'O}{BA'}=\frac{RO'}{OR}\cdot\frac{3}{1}\cdot\frac{2}{1}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{RO'}{OR}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ OR:RO7=\underline{\sf 6:1}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle OAR&=\sf \frac{6}{7}\triangle OAO'\\ &=\sf \frac{6}{7}\times\frac{1}{3}\triangle OAB\\ &=\sf \frac{2}{7}\ S\end{align*}}$
(2)と同様に、AP：PA’=BQ：QB’=6：1なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABP=\triangle BOQ=\frac{2}{7}\ S\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle PQR=\triangle PAB-\left(\triangle OAR+\triangle ABP+\triangle BOQ\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ M= S-\frac{2}{7}\ S\times 3= \underline{\sf \frac{1}{7}\ S}\end{align*}}$
メネラウスで誤魔化しましたｗｗｗ
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- 2017/04/19(水) 23:57:00|
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第4問
1辺の長さが2の正四面体OABCの辺OA上にA以外の点Pをとる。点Pから
平面ABCへ垂線をおろし、その垂線と平面ABCの交点をHとする。PA=t
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 三角形HBCの面積Sをtを用いて表せ。
(2) 線分PHの長さをtを用いて表せ。
(3) 四面体PHBCの体積Vが最大となるようなtと、そのときのVの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△ABCは正三角形なので、BCの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OM=AM=\sqrt3\end{align*}}$
△OAMで余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle OAM=\frac{2^2+\left(\sqrt3\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2}{2\cdot 2\cdot \sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$
PH⊥AMなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AH=AP\cos\angle OAM=\frac{\sqrt3}{3}t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf HM=\sqrt3-\frac{\sqrt3}{3}t\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{2}\cdot 2\cdot\left(\sqrt3-\frac{\sqrt3}{3}t\right)\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\sqrt3}{3}\left(3-t\right)} \end{align*}}$
(2)
△APHで三平方の定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PH&=\sf \sqrt{t^2-\left(\frac{\sqrt3}{3}t\right)^2}\\ &=\sf \sqrt{\frac{2}{3}t^2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\sqrt6}{3}t\ (>0)}\end{align*}}$
(3)
(1)、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{3}\left(3-t\right)\cdot\frac{\sqrt6}{3}t\\ &=\sf -\frac{\sqrt2}{9}\left(t^2-3t\right)\\ &=\sf -\frac{\sqrt2}{9}\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{\sqrt2}{4}\end{align*}}$
なので、Vの最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf V_{max}=\frac{\sqrt2}{4}\ \ \ \left(t=\frac{3}{2}\right)}\end{align*}}$
これも難しくありません。
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- 2017/04/20(木) 23:57:00|
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