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【解答】
(1)
2つのベクトルの和は次の16通りの場合が考えられる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}+\overrightarrow{\sf v_2}=\overrightarrow{\sf v_2}+\overrightarrow{\sf v_1}=\left(2,0,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_3}+\overrightarrow{\sf v_4}=\overrightarrow{\sf v_4}+\overrightarrow{\sf v_3}=\left(-2,0,0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}+\overrightarrow{\sf v_3}=\overrightarrow{\sf v_3}+\overrightarrow{\sf v_1}=\left(0,2,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_2}+\overrightarrow{\sf v_4}=\overrightarrow{\sf v_4}+\overrightarrow{\sf v_2}=\left(0,-2,0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}+\overrightarrow{\sf v_4}=\overrightarrow{\sf v_4}+\overrightarrow{\sf v_1}=\left(0,0,2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_2}+\overrightarrow{\sf v_3}=\overrightarrow{\sf v_3}+\overrightarrow{\sf v_2}=\left(0,0,-2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}+\overrightarrow{\sf v_1}=\left(2,2,2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_2}+\overrightarrow{\sf v_2}=\left(2,-2,-2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_3}+\overrightarrow{\sf v_3}=\left(-2,2,-2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_4}+\overrightarrow{\sf v_4}=\left(-2,-2,2\right)\end{align*}}$
このうちy成分とz成分がともに0になるものは4個あるので、
P2がx軸上にある確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{16}=\underline{\sf \frac{1}{4}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a_1}=\left(2,0,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a_2}=\left(-2,0,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a_3}=\left(0,2,0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a_4}=\left(0,-2,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a_5}=\left(0,0,2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a_6}=\left(0,0,-2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b_1}=\left(2,2,2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b_2}=\left(2,-2,-2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b_3}=\left(-2,2,-2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b_4}=\left(-2,-2,2\right)\end{align*}}$
とおく。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}=\overrightarrow{\sf a_1}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}\cdot\overrightarrow{\sf P_2P_4}=0\end{align*}}$ となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_2P_4}=\overrightarrow{\sf a_3},\overrightarrow{\sf a_4},\overrightarrow{\sf a_5},\overrightarrow{\sf a_6}\end{align*}}$
の場合である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}=\overrightarrow{\sf a_2}、\overrightarrow{\sf a_3},\overrightarrow{\sf a_4},\overrightarrow{\sf a_5},\overrightarrow{\sf a_6}\end{align*}}$ の場合も同様。
一方、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}=\overrightarrow{\sf b_k}\ \left(k=1,2,3,4\right)\end{align*}}$ の場合は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}\cdot\overrightarrow{\sf P_2P_4}=0\end{align*}}$ となる$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_2P_4}\end{align*}}$ は
存在しない。
以上より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}\bot\overrightarrow{\sf P_2P_4}\end{align*}}$ となる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2^2\times 4\times 6}{16^2}=\frac{3}{8}\end{align*}}$
(3)
4点P0、P1、P2、P3が同一平面上にあるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf P_1P_2}\ ,\ \overrightarrow{\sf P_2P_3}\end{align*}}$ のうち少なくとも2つが一致するときである。
これら3つのベクトルがすべて異なる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{8}\end{align*}}$
なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{3}{8}=\underline{\sf \frac{5}{8}}\end{align*}}$
