青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.神戸大　理系　2017

2017神戸大　理系数学１

第1問

　　nを自然数とする。
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\sin x-nx^2+\frac{1}{9}x^3\end{align*}}$
　　とおく。$\small\sf{\sf 3\lt \pi\lt 4}$ であることを用いて、以下の問に答えよ。

　(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\sf f''(x)\lt 0}$ であることを示せ。

　(2) 方程式$\small\sf{\sf f(x)=0}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲に解をただ1つもつことを示せ。

　(3) (2)における解をx_nとする。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=0\end{align*}}$ であることを示し、
　　　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}nx_n\end{align*}}$ を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\sin x-nx^2+\frac{1}{9}x^3\end{align*}}$

　(1)
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\cos x-2nx+\frac{1}{3}x^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)&=\sf -\sin x-2n+\frac{2}{3}x\\ &<\sf 0-2+\frac{\pi}{3}\ \ \ \left(\because\ 1\leqq n\ ,\ x<\frac{\pi}{2}\right)\\ &<\sf -2+\frac{4}{3}\ \ \ \left(\because\ \pi<4\right)\\ &<\sf 0\end{align*}}$

　(2)
　　　(1)より、曲線y=f(x)は0＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で上に凸である。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(0)=\cos 0=1>0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(\frac{\pi}{2}\right)&=\sf 1-\frac{\pi^2n}{4}+\frac{\pi^3}{72}\\ &<\sf 1-\frac{3^2\cdot 1}{4}+\frac{4^3}{72}\ \ \ \left(\because\ 1\leqq n\ ,\ 3<\pi
<4 \right)\\ &<\sf 0\end{align*}}$
　　　なので、中間値の定理より、方程式f(x)=0は0＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲に
　　　ただ1つの解をもつ。

　(3)
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x_n)=\sin x_n-nx_n^{\ 2}+\frac{1}{9}x_n^{\ 3}=0\end{align*}}$　　・・・・・・・(ⅰ)
　　　より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_n^{\ 2}&=\sf \frac{1}{n}\left(\sin x_n+\frac{1}{9}x_n^{\ 3}\right)\\ &<\sf \frac{1}{n}\left(1+\frac{\pi^3}{72}\right)\ \ \ \left(\because\ x<\frac{\pi}{2}\right)\\ &<\sf \frac{1}{n}\left(1+\frac{4^3}{72}\right)\ \ \ \left(\because\ \pi<4\right)\\ &=\sf \frac{17}{9n}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt x_n<\frac{\sqrt{17}}{3\sqrt{n}}\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{17}}{3\sqrt{n}}=0\end{align*}}$
　　　なので、はさみうちの原理より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=0\end{align*}}$ となる。
　　　このことと(ⅰ)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}nx_n&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\sin x_n}{x_n}+\frac{1}{9}x_n^{\ 2}\right)\\ &=\sf \lim_{x_n\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x_n}{x_n}+\frac{1}{9}x_n^{\ 2}\right)\\ &=\sf \underline{\sf 1}\end{align*}}$

　　上手く不等式を扱いましょう　　

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2017/04/12(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.神戸大　理系　2017

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2017神戸大　理系数学２

第2問

　　nを自然数とする。以下の問に答えよ。

　(1) 実数xに対して、次の等式が成り立つことを示せ。
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=0}^n\left(-1\right)^ke^{-kx}-\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{\left(-1\right)^ne^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}\end{align*}}$

　(2) 次の等式をみたすSの値を求めよ。
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^k\left(1-e^{-k}\right)}{k}-S=\left(-1\right)^n\int_0^1\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}dx\end{align*}}$

(3) 不等式
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}dx\leqq\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
　　　が成り立つことを示し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k\left(1-e^{-k}\right)}{k}\end{align*}}$ を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　等比数列の和の公式を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=0}^n\left(-1\right)^ke^{-kx}&=\sf 1+\sum_{k=1}^n\left(-e^{-x}\right)^k\\ &=\sf 1+\frac{-e^{-x}\left\{1-\left(-e^{-x}\right)^n\right\}}{1-\left(-e^{-x}\right)}\\ &=\sf \frac{1-\left(-e^{-x}\right)^{n+1}}{1+e^{-x}}\\ &=\sf \frac{1+\left(-1\right)^ne^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=0}^n\left(-1\right)^ke^{-kx}-\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{\left(-1\right)^ne^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}\end{align*}}$

　(2)
　　　(1)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(-1\right)^n\int_0^1\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}dx&=\sf \int_0^1\left\{\sum_{k=0}^n\left(-1\right)^ke^{-kx}-\frac{1}{1+e^{-x}}\right\}dx\\ &=\sf \int_0^1\left\{1+\sum_{k=1}^n\left(-1\right)^ke^{-kx}-\frac{e^x}{e^{x}+1}\right\}dx\\ &=\sf \int_0^1dx+\sum_{k=1}^n\left\{\left(-1\right)^k\int_0^1e^{-kx}dx\right\}-\int_0^1\frac{\left(e^x+1\right)'}{e^{x}+1}dx\\ &=\sf \bigg[x\bigg]_0^1+\sum_{k=1}^n\left\{\left(-1\right)^k\left[-\frac{e^{-kx}}{k}\right]_0^1\right\}-\bigg[\log\left(e^x+1\right)\bigg]_0^1\\ &=\sf \sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^k\left(1-e^{-k}\right)}{k}+1-\log\left(e+1\right)+\log 2\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\log\left(e+1\right)-\log2-1=\underline{\sf \log\frac{e+1}{2e}}\end{align*}}$

　(3)
　　　0≦x≦1において、不等式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1+e^{-x}}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}\leqq e^{-\left(n+1\right)x}\end{align*}}$
　　　が成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}dx&\leqq \sf \int_0^1e^{-\left(n+1\right)x}dx\\ &=\sf \left[-\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{n+1}\right]_0^1\\ &=\sf \frac{1-e^{-\left(n+1\right)}}{n+1}\\ &\leqq \sf \frac{1}{n+1}\ \ \ \ \left(\because\ e^{-\left(n+1\right)}>0\right)\end{align*}}$
　　　が成り立つ。
　　　これと(2)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (0\leqq )\ \left|\sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^k\left(1-e^{-k}\right)}{k}-S\right|&=\sf \left|\left(-1\right)^n\int_0^1\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}dx\right|\\ &=\sf \int_0^1\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}dx\\ &\leqq \sf \frac{1}{n+1}\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}=0\end{align*}}$
　　　なので、はさみうちの原理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^k\left(1-e^{-k}\right)}{k}-S\right\}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^k\left(1-e^{-k}\right)}{k}=S\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k\left(1-e^{-k}\right)}{k}=\underline{\sf \log\frac{e+1}{2e}}\end{align*}}$

　　一見すると式が複雑な感じがしますが、誘導に乗っていけば完答も狙えます。
　　Σを計算する際、k=0の場合に気を付けましょう！　　

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2017/04/13(木) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.神戸大　理系　2017

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2017神戸大　理系数学３

第3問

　　一辺の長さがa₀の正四面体OA₀B₀C₀がある。図のように、辺OA₀上の
　　点A₁、辺OB₀上の点B₁、辺OC₀上の点C₁から平面A₀B₀C₀に下ろした
　　垂線をそれぞれA₁A₁′、B₁B₁′、C₁C₁′としたとき、三角柱A₁B₁C₁
　　－A₁′B₁′C₁′は正三角柱になるとする。ただし、ここでは底面が正三
　　角形であり、側面が正方形である三角柱を正三角柱とよぶことにする。
　　同様に、点A₂、B₂、C₂、A₂′、B₂′、C₂′、･･･を次のように定める。
　　正四面体OA_kB_kC_kにおいて、辺OA_k上の点A_k+1、辺OB_k上の点B_k+1、
　　辺OC_k上の点C_k+1から平面OA_kB_kC_kに下ろした垂線をそれぞれA_k+1A_k+1′、
　　B_k+1B_k+1′、C_k+1C_k+1′としたとき、三角柱A_k+1B_k+1C_k+1－A_k+1′B_k+1′
　　C_k+1′は正三角柱になるとする。辺A_kB_kの長さをa_kとし、正三角柱A_kB_kC_k
　　－A_k′B_k′C_k′の体積をV_kとするとき、以下の問に答えよ。

　(1) 点Oから平面A₀B₀C₀に下ろした垂線をOHとし、$\small\sf{\theta}$ =∠OA₀Hとするとき、
　　　 cos$\small\sf{\theta}$ とsin$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。

　(2) a₁をa₀を用いて表せ。

　(3) V_kをa₀を用いて表し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}V_k\end{align*}}$ を求めよ。

　　　　　　
解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　B₀C₀の中点をMとすると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OM=A_0M=\frac{\sqrt3}{2}a_0\end{align*}}$
　　　図の対称性より、Hは△A₀B₀C₀の重心と一致するので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_0H=\frac{2}{3}A_0M=\frac{\sqrt3}{3}a_0\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{A_0H}{OA_0}=\underline{\sf \frac{\sqrt3}{3}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2}=\underline{\sf \frac{\sqrt6}{3}\ (>0)}\end{align*}}$
　　　　　　

　(2)
　　　A₁A₁’⊥A₀Hなので、(1)より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\theta=\frac{A_0A_1}{A_1A_1 '}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{\sqrt6}{3}=\frac{a_1}{a_0-a_1}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sqrt6\ a_0-\sqrt6\ a_1=3a_1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a_1=\frac{\sqrt6}{3+\sqrt6}a_0=\underline{\sf \left(\sqrt6-2\right)a_0}\end{align*}}$

　(3)
　　　(1)と同様に考えると、k=1，2，3，･･･
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_k&=\sf \left(\sqrt6-2\right)a_{k-1}\\ &=\sf \left(\sqrt6-2\right)^2a_{k-2}\\ &\ \vdots\sf \\ &=\sf \left(\sqrt6-2\right)^ka_{0}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_k&=\sf \triangle A_kB_kC_k\times A_kA_k'\\ &=\sf \frac{1}{2}\left(a_k\right)^2\sin\frac{\pi}{3}\cdot a_k\\ &=\sf \frac{\sqrt3}{4}\left(a_k\right)^3\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\sqrt3}{4} \left(\sqrt6-2\right)^{3k}a_{0}^{\ 3}}\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2<\sqrt6<3\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\sqrt6-2<1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\left(\sqrt6-2\right)^{3}<1\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{\infty}V_k&=\sf \frac{\frac{\sqrt3}{4} \left(\sqrt6-2\right)^{3}a_{0}^{\ 3}}{1-\left(\sqrt6-2\right)^{3}}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{3\sqrt2-2\sqrt3}{18}\ a_0^{\ 3}}\end{align*}}$

　　問題文が長くてイヤになりますｗｗ　　

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2017/04/14(金) 23:57:00|

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2017神戸大　理系数学４

第4問

　　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}\end{align*}}$ = (1，1，1)、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_2}\end{align*}}$ =(1，-1，-1)、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_3}\end{align*}}$ = (-1，1，-1)、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_4}\end{align*}}$ =(-1，-1，1)とする。
　　座標空間内の動点Pが原点Oから出発し、正四面体のサイコロ(1、2、3、4の目が
　　それぞれ確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ で出る)をふるごとに、出た目がk（k=1，2，3，4）のときは$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_k}\end{align*}}$ だけ
　　移動する。すなわち、サイコロをn回ふった後の動点Pの位置をP_nとして、サイコロ
　　を(n+1)回目にふって出た目がkならば
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_nP_{n+1}}=\overrightarrow{\sf v_k}\end{align*}}$
　　である。ただし、P₀=Oである。以下の問に答えよ。

　(1) 点P₂がx軸上にある確率を求めよ。

　(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}\bot\overrightarrow{\sf P_2P_4}\end{align*}}$ となる確率を求めよ。

　(3) 4点P₀、P₁、P₂、P₃が同一平面上にある確率を求めよ。

　(4) nを6以下の自然数とするとき、P_n=Oとなる確率を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　2つのベクトルの和は次の16通りの場合が考えられる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}+\overrightarrow{\sf v_2}=\overrightarrow{\sf v_2}+\overrightarrow{\sf v_1}=\left(2,0,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_3}+\overrightarrow{\sf v_4}=\overrightarrow{\sf v_4}+\overrightarrow{\sf v_3}=\left(-2,0,0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}+\overrightarrow{\sf v_3}=\overrightarrow{\sf v_3}+\overrightarrow{\sf v_1}=\left(0,2,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_2}+\overrightarrow{\sf v_4}=\overrightarrow{\sf v_4}+\overrightarrow{\sf v_2}=\left(0,-2,0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}+\overrightarrow{\sf v_4}=\overrightarrow{\sf v_4}+\overrightarrow{\sf v_1}=\left(0,0,2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_2}+\overrightarrow{\sf v_3}=\overrightarrow{\sf v_3}+\overrightarrow{\sf v_2}=\left(0,0,-2\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}+\overrightarrow{\sf v_1}=\left(2,2,2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_2}+\overrightarrow{\sf v_2}=\left(2,-2,-2\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_3}+\overrightarrow{\sf v_3}=\left(-2,2,-2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_4}+\overrightarrow{\sf v_4}=\left(-2,-2,2\right)\end{align*}}$
　　　このうちy成分とz成分がともに0になるものは4個あるので、
　　　P₂がx軸上にある確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{16}=\underline{\sf \frac{1}{4}}\end{align*}}$

　(2)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a_1}=\left(2,0,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a_2}=\left(-2,0,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a_3}=\left(0,2,0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a_4}=\left(0,-2,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a_5}=\left(0,0,2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a_6}=\left(0,0,-2\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b_1}=\left(2,2,2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b_2}=\left(2,-2,-2\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b_3}=\left(-2,2,-2\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b_4}=\left(-2,-2,2\right)\end{align*}}$
　　　とおく。
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}=\overrightarrow{\sf a_1}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}\cdot\overrightarrow{\sf P_2P_4}=0\end{align*}}$ となるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_2P_4}=\overrightarrow{\sf a_3},\overrightarrow{\sf a_4},\overrightarrow{\sf a_5},\overrightarrow{\sf a_6}\end{align*}}$
　　　の場合である。
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}=\overrightarrow{\sf a_k}\ \left(k=2,3,4,5,6\right)\end{align*}}$ の場合も同様。
　　　一方、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}=\overrightarrow{\sf b_k}\ \left(k=1,2,3,4\right)\end{align*}}$ の場合は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}\cdot\overrightarrow{\sf P_2P_4}=0\end{align*}}$ となる$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_2P_4}\end{align*}}$ は
　　　存在しない。
　　　以上より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}\bot\overrightarrow{\sf P_2P_4}\end{align*}}$ となる確率は　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2^2\times 4\times 6}{16^2}=\frac{3}{8}\end{align*}}$

　(3)
　　　4点P₀、P₁、P₂、P₃が同一平面上にあるのは、
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf P_1P_2}\ ,\ \overrightarrow{\sf P_2P_3}\end{align*}}$ のうち少なくとも2つが一致するときである。
　　　これら3つのベクトルがすべて異なる確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{8}\end{align*}}$
　　　なので、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{3}{8}=\underline{\sf \frac{5}{8}}\end{align*}}$

　(4)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a_1}+\overrightarrow{\sf a_2}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a_3}+\overrightarrow{\sf a_4}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a_5}+\overrightarrow{\sf a_6}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
　　　なので、P₄=Oとなる確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2^2\times 2\times 3}{16^2}=\underline{\sf \frac{3}{32}}\end{align*}}$
　　　これ以外の場合はないので、$\scriptsize\sf{\sf P_n=O\ \ （n=1,2,3,5,6）}$ となる確率は0である。

　　(3)までは文系と共通問題です。　　

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2017/04/15(土) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.神戸大　理系　2017

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2017神戸大　理系数学５

第5問

　　 r、c、ωは正の定数とする。座標平面上の動点Pは時刻t=0のとき原点に
　　あり、毎秒cの速さでx軸上を正の方向へ動いているとする。また、動点Qは
　　時刻t=0のとき点$\small{\sf (0,\ -r)}$ にあるとする。点Pから見て、動点Qが点Pを中心と
　　する半径rの円周上を毎秒ωラジアンの割合で反時計回りに回転しているとき、
　　以下の問に答えよ。

　(1) 時刻tにおける動点Qの座標$\small{\sf (x(t),\ y(t))}$ を求めよ。

　(2) 動点Qの描く曲線が交差しない、すなわち、$\small{\sf t_1\ne t_2}$ ならば$\small{\sf (x(t_1),\ y(t_1))\ne (x(t_2),\ y(t_2))}$
　　　であるための必要十分条件をr、c、ωを用いて与えよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　時刻tにおける点Pの座標は(ct，0)であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ がx軸正方向となす角は
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}+\omega t \end{align*}}$ なので、　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x(t)=ct+r\cos\left(-\frac{\pi}{2}+\omega t \right)=ct+r\sin\omega t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y(t)=r\sin\left(-\frac{\pi}{2}+\omega t \right)=-r\cos\omega t\end{align*}}$
　　　よって、時刻tにおける点Qの座標は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(ct+r\sin\omega t,-r\cos\omega t\right)}\end{align*}}$

　(2)
　　　Qの描く曲線をCとする。
　　　(1)で求めたx(t)、y(t)をtで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\ '(t)=c+r\omega\cos\omega t\end{align*}}$　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '(t)=-r\omega\sin\omega t\end{align*}}$　　　　

　　　(ⅰ)$\scriptsize\sf{\sf c\geqq r\omega}$ のとき
　　　　　x’(t)≧0よりx(t)は単調に増加するので、x(t₁)=x(t₂)となるような
　　　　　t₁、t₂（t₁≠t₂）が存在しないので、曲線Cは交差しない。

　　　(ⅱ)$\scriptsize\sf{\sf 0\lt c\lt r\omega}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1<-\frac{c}{r\omega}<0\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\alpha=\cos\beta=-\frac{c}{r\omega}\ \ \ \left(\frac{\pi}{2}<\alpha <\pi<\beta<\frac{3}{2}\pi\right)\end{align*}}$
　　　　　　となる、$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ が存在する。
　　　　　　このとき、x(t)、y(t)の増減および曲線Cは次のようになり、
　　　　　　曲線Cは交差する。

　　　　　　

　　　　　　　　　　

　　
　　　以上より、曲線Cが交差しないための必要十分条件は、c≧rωである。

　　今年の神戸大は例年と比べて難しいですね。　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2017/04/16(日) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.神戸大　理系　2017

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