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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017神戸大 理系数学1



第1問

  nを自然数とする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\sin x-nx^2+\frac{1}{9}x^3\end{align*}}$
  とおく。$\small\sf{\sf 3\lt \pi\lt 4}$ であることを用いて、以下の問に答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\sf f''(x)\lt 0}$ であることを示せ。

 (2) 方程式$\small\sf{\sf f(x)=0}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲に解をただ1つもつことを示せ。

 (3) (2)における解をxnとする。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=0\end{align*}}$ であることを示し、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}nx_n\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2017/04/12(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2017
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2017神戸大 理系数学2



第2問

  nを自然数とする。以下の問に答えよ。

 (1) 実数xに対して、次の等式が成り立つことを示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=0}^n\left(-1\right)^ke^{-kx}-\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{\left(-1\right)^ne^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}\end{align*}}$

 (2) 次の等式をみたすSの値を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^k\left(1-e^{-k}\right)}{k}-S=\left(-1\right)^n\int_0^1\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}dx\end{align*}}$

(3) 不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+e^{-x}}dx\leqq\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
    が成り立つことを示し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k\left(1-e^{-k}\right)}{k}\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2017/04/13(木) 23:57:00|
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2017神戸大 理系数学3



第3問

  一辺の長さがa0の正四面体OA0B0C0がある。図のように、辺OA0上の
  点A1、辺OB0上の点B1、辺OC0上の点C1から平面A0B0C0に下ろした
  垂線をそれぞれA1A1′、B1B1′、C1C1′としたとき、三角柱A1B1C1
  -A1′B1′C1′は正三角柱になるとする。ただし、ここでは底面が正三
  角形であり、側面が正方形である三角柱を正三角柱とよぶことにする。
  同様に、点A2、B2、C2、A2′、B2′、C2′、・・・を次のように定める。
  正四面体OAkBkCkにおいて、辺OAk上の点Ak+1、辺OBk上の点Bk+1
  辺OCk上の点Ck+1から平面OAkBkCkに下ろした垂線をそれぞれAk+1Ak+1′、
  Bk+1Bk+1′、Ck+1Ck+1′としたとき、三角柱Ak+1Bk+1Ck+1-Ak+1′Bk+1
  Ck+1′は正三角柱になるとする。辺AkBkの長さをakとし、正三角柱AkBkCk
  -Ak′Bk′Ck′の体積をVkとするとき、以下の問に答えよ。

 (1) 点Oから平面A0B0C0に下ろした垂線をOHとし、$\small\sf{\theta}$ =∠OA0Hとするとき、
    cos$\small\sf{\theta}$ とsin$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。

 (2) a1をa0を用いて表せ。

 (3) Vkをa0を用いて表し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}V_k\end{align*}}$ を求めよ。


      img25.jpg
解答はこちら↓

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  1. 2017/04/14(金) 23:57:00|
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2017神戸大 理系数学4



第4問

   $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}\end{align*}}$ = (1,1,1)、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_2}\end{align*}}$ =(1,-1,-1)、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_3}\end{align*}}$ = (-1,1,-1)、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_4}\end{align*}}$ =(-1,-1,1)とする。
  座標空間内の動点Pが原点Oから出発し、正四面体のサイコロ(1、2、3、4の目が
  それぞれ確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ で出る)をふるごとに、出た目がk(k=1,2,3,4)のときは$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_k}\end{align*}}$ だけ
  移動する。すなわち、サイコロをn回ふった後の動点Pの位置をPnとして、サイコロ
  を(n+1)回目にふって出た目がkならば
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_nP_{n+1}}=\overrightarrow{\sf v_k}\end{align*}}$
  である。ただし、P0=Oである。以下の問に答えよ。

 (1) 点P2がx軸上にある確率を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_0P_2}\bot\overrightarrow{\sf P_2P_4}\end{align*}}$ となる確率を求めよ。

 (3) 4点P0、P1、P2、P3が同一平面上にある確率を求めよ。

 (4) nを6以下の自然数とするとき、Pn=Oとなる確率を求めよ。



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  1. 2017/04/15(土) 23:57:00|
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2017神戸大 理系数学5



第5問

   r、c、ωは正の定数とする。座標平面上の動点Pは時刻t=0のとき原点に
  あり、毎秒cの速さでx軸上を正の方向へ動いているとする。また、動点Qは
  時刻t=0のとき点$\small{\sf (0,\ -r)}$ にあるとする。点Pから見て、動点Qが点Pを中心と
  する半径rの円周上を毎秒ωラジアンの割合で反時計回りに回転しているとき、
  以下の問に答えよ。

 (1) 時刻tにおける動点Qの座標$\small{\sf (x(t),\ y(t))}$ を求めよ。

 (2) 動点Qの描く曲線が交差しない、すなわち、$\small{\sf t_1\ne t_2}$ ならば$\small{\sf (x(t_1),\ y(t_1))\ne (x(t_2),\ y(t_2))}$
    であるための必要十分条件をr、c、ωを用いて与えよ。




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  1. 2017/04/16(日) 23:57:00|
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