青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　文系　2017

2017大阪大　文系数学１

第１問

　　 b、cを実数、qを正の実数とする。放物線P：y=-x^２+bx+cの頂点の
　　y座標がqのとき、放物線Pとx軸で囲まれた部分の面積Sをqを用いて表せ。

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2017/04/01(土) 23:57:00|

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2017大阪大　文系数学２

第２問

　　実数x、y、zが
　　　　　　　x+y+z=1、　 x+2⁢y+3z=5
　　を満たすとする。

　(１) x^３+y^３+z^３-3xyz の最小値を求めよ。

　(２) x≧0のとき、xyzが最大となるzの値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　x+y+z=1、　x+2y+3z=5　　
　　　2式よりyを消去してxについて解くと、 x=z-3　　・・・・・・・①
　　　2式よりxを消去してyについて解くと、 y=-2z+4　　・・・・・・・②
　　　
　(１)　　　
　　　　　　　　 $\rm P=x^3+y^3+z^3-3xyz$
　　　とおくと、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm P&=\rm \left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\\ &=\rm \frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left\{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right\}\end{align*}$ 　　　・・・・・・・(#)
　　　これに①、②を代入すると、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm P&=\rm \frac{1}{2}\cdot 1\cdot\left\{\left(3z-7\right)^2+\left(-3z+4\right)^2+3^2\right\}\\ &=\rm 9z^2-33z+37\\ &=\rm 9\left(z-\frac{11}{6}\right)^2+\frac{27}{4}\end{align*}$
　　　となるので、Pの最小値は
　　　　　　　　 $\rm \underline{\ P_{min}=\frac{27}{4}\ \ \ \left(x=-\frac{7}{6}\ ,\ y=\frac{1}{3}\ ,\ z=\frac{11}{6}\right)}$

　(２)
　　　①、②より
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm xyz&=\rm \left(z-3\right)\left(-2z+4\right)z \\ &=\rm -2z^3+10z^2-12z\end{align*}$
　　　これをf(z)とおくと、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm f\ '(z)&=\rm -6z^2+20z-12\\ &=\rm -2\left(3z^2-10z+6\right) \end{align*}$
　　　となり、
　　　　　　　　 $\rm f\ '(z)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\frac{5\pm\sqrt7}{3}$
　　　これらの値をp、q （p＜q）とおくと、f(z)の増減は
　　　　　　　0≦ｘ＜pのとき、f’(z)＜0より f(z)は単調減少
　　　　　　　p≦ｘ＜qのとき、f’(z)＞0より f(z)は単調増加
　　　　　　　q≦ｘのとき、f’(z)＜0より f(z)は単調減少
　　　ここで、2＜q＜3であり、f(2)=f(3)=0なので、f(q)＞0=f(0)
　　　よって、f(z)が最大になるのは
　　　　　　　　 $\rm z=q=\underline{\ \frac{5+\sqrt7}{3}}$
　　　のときである。

　　(#)の変形は有名です。　　

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2017/04/02(日) 23:57:00|

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2017大阪大　文系数学３

第３問

　　次の条件によって定められる数列{a_n}がある。
　　　　　a₁=2、　　a_n+1=8a_n²　　（n=1，2，3，・・・）

　(１) b_n=log₂a_nとおく。b_n+1をb_nを用いて表せ。

　(２) 数列{b_n}の一般項を求めよ。

　(３) P_n=a₁a₂a₃・・・a_nとおく。数列{P_n}の一般項を求めよ。

　(４) P_n＞10¹⁰⁰となる最小の自然数nを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　与えられた漸化式において、a₁＞0より、a₂＞0．
　　　以下も帰納的にa_n＞0なので、両辺の対数(底2)をとると、　
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \log_2a_{n+1}&=\rm \log_2 8a_n^{\ 2}\\ &=\rm \log_28+\log_2a^2\\ &=\rm 3+2\log_2a_n \end{align*}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b_{n+1}=3+2b_n}$

　(２)
　　　(１)の漸化式は
　　　　　　　　 $\rm b_{n+1}+3=2\left(b_n+3\right)$
　　　と変形できるので、数列{b_n+3}は公比2の等比数列をなす。
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm b_n+3&=\rm \left(b_1+3\right)\cdot2^{n-1}\\ &=\rm \left(\log_22+3\right)\cdot2^{n-1}\\ &=\rm 2^{n+1} \end{align*}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\underline{\ 2^{n+1}-3}$

　(３)
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \log_2P_n&=\rm \log_2a_1a_2\ldots a_n\\ &=\rm \log_2a_1+\log_2a_2+\ldots +\log_2a_n\\ &=\rm b_1+b_2+\ldots +b_n\\ &=\rm \sum_{k=1}^n\left(2^{k+1}-3\right)\\ &=\rm \frac{4\left(2^n-1\right)}{2-1}-3n\\ &=\rm 2^{n+2}-3n-4\end{align*}$
　　　より、
　　　　　　　　 $\rm \underline{\rm P_n=2^{2^{n+2}-3n-4}}$

　(４)
　　　　　　　　 $\rm P_n>10^{100}\log_{10}P_n>\log_{10}10^{100}$
　　　(３)より
　　　　　　　　 $\rm \log_{10}2^{2^{n+2}-3n-4}>100$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2^{n+2}-3n-4\right)\log_{10}2>100$ 　　　
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ 2^{n+2}-3n-4>\frac{100}{\log_{10}2}$ 　　　・・・・・・・(#)
　　　ここで、　　
　　　　　　　　 $\rm 2^3=8<10\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm \log_{10}2^3<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \log_{10}2<\frac{1}{3}$
　　　　　　　　 $\rm 2^{10}=1024>1000\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm \log_{10}2^{10}>3\ \ \Leftrightarrow\ \ \log_{10}2>\frac{3}{10}$
　　　より、
　　　　　　　　 $\rm 300=\frac{100}{\frac{1}{3}}<\frac{100}{\log_{10}2}<\frac{100}{\frac{3}{10}}=\frac{1000}{3}$

　　　n=6のとき、(#)の左辺は
　　　　　　　　 $\rm 256-18-4=234<300$
　　　n=7のとき、(#)の左辺は
　　　　　　　　 $\rm 512-21-4=487>\frac{1000}{3}$
　　　なので、題意を満たすような最小の自然数は、n=7である。

　　log₁₀2の値が与えられていないので、自分で作る必要があります。　　

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2017/04/03(月) 23:57:00|

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