青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2017

2017大阪大　理系数学１

第１問

　　双曲線H： x^２-y^２=1上の3点A(-1，0)、B(1，0)、C(s，t) （t≠0）を考える。

　(１) 点AにおけるHの接線と直線BCの交点をPとするとき、Pの座標をsとtを
　　　用いて表せ。

　(２) 点CにおけるHの接線と直線ABの交点をQとするとき、Qの座標をsとtを
　　　用いて表せ。

　(３) 点BにおけるHの接線と直線ACの交点をRとするとき、3点P、Q、Rは一直線
　　　上にあることを証明せよ。

解答はこちら↓

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2017/04/04(火) 23:57:00|

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2017大阪大　理系数学２

第２問

　　複素数zはz⁵=1を満たし、実部と虚部がともに正であるものとする。硬貨を
　　投げて表が出れば1、裏が出れば0とし、5回投げて出た順にa₀、a₁、a₂、a₃、
　　a₄とおく。複素数wをw=a₀+a₁z+a₂z²+a₃z³+a₄z⁴ と定める。

　(１) 5回とも表が出たとする。wの値を求めよ。

　(２) a_０=a_２=a_３=0 、a_１=a₄=1 のとき、|w|＜1であることを示せ。

　(３) |w|＜1である確率を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　5回とも表が出たとき　
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm w&=\rm 1+z+z^2+z^3+z^4\\ &=\rm \frac{1-z^5}{1-z}\ \ \ \ \left(\because\ z\ne 1\right)\\ &=\rm \underline{\rm 0\ \ \ \left(\because\ z^5=1\right)}\end{align*}$

　(２)
　　　　　　　　 $\rm z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\ \ \ \left(r>0\ ,\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$
　　　とおくと、ド・モアブルの定理より
　　　　　　　　 $\rm z^5=1\ \ \Leftrightarrow\ \ r^5\left(\cos 5\theta+i\sin 5\theta\right)=\cos 0+i\sin 0$
　　　両辺の成分を比較すると、
　　　　　　　　 $\rm r^5=1\ \ \Leftrightarrow\ \ r=1$
　　　　　　　　 $\rm 5\theta=2\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{2\pi}{5}\ \ \ \ \left(\because\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$
　　　となるので、
　　　　　　　　 $\rm z=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}$
　　　よって、a０=a２=a３=0 、a１=a4=1 のとき、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \left|w\right|&=\rm \left|z+z^4\right|\\ &=\rm \left|\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)+\left(\cos\frac{8\pi}{5}+i\sin\frac{8\pi}{5}\right)\right|\\ &=\rm \left|\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)+\left(\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5}\right)\right|\\ &=\rm 2\cos\frac{2\pi}{5}\\ &<\rm 2\cos\frac{\pi}{3}\\ &=\rm 1\end{align*}$
　　　となるので、|w|＜1が示された。

　(３)
　　　a₀～a₄の値の組み合わせの総数は2⁵=32通り

　　　(ⅰ) (a₀，a₁，a₂，a₃，a₄)=(0，0，0，0，0)のとき
　　　　　　　|w|=|0|=0＜1

　　　(ⅱ) (a₀，a₁，a₂，a₃，a₄)=(1，1，1，1，1)のとき
　　　　　　　(１)より　|w|=|0|=0＜1

　　　(ⅲ) (a₀，a₁，a₂，a₃，a₄)=(1，0，0，0，0)のとき
　　　　　　　|w|=|1|=1

　　　(ⅳ) (a₀，a₁，a₂，a₃，a₄)=(0，1，1，1，1)のとき
　　　　　　　(１)より　|w|=|ｚ+ｚ²+ｚ³+ｚ⁴|=|-1|=1

　　　(ⅴ) (a₀，a₁，a₂，a₃，a₄)=(0，1，0，0，1)のとき
　　　　　　　(２)より　|w|=|ｚ+ｚ⁴|＜1

　　　(ⅵ) (a₀，a₁，a₂，a₃，a₄)=(1，0，1，1，0)のとき
　　　　　　　(２)より　|w|=|1+z²+z³|=|-(ｚ+ｚ⁴)|＜1

　　　(ⅶ) (a₀，a₁，a₂，a₃，a₄)=(1，1，0，0，0)のとき
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm |w|&=\rm |1+z|\\ &=\rm \left|1+\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)\right|\\ &=\rm \sqrt{\left(1+\cos\frac{2\pi}{5}\right)^2+\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right)^2}\\ &=\rm \sqrt{2+2\cos\frac{2\pi}{5}}\\ &>\rm 1\end{align*}$

　　　(ⅷ) (a₀，a₁，a₂，a₃，a₄)=(0，0，1，1，1)のとき
　　　　　　(１)と(ⅶ)より、|w|=|z²+z³+z⁴|=|-(1+z)|＞1

　　　複素数平面上において、1、z、z²、z³、z⁴の表す点は、原点を中心とする
　　　正五角形の頂点となるので、(ⅲ)～(ⅷ)のパターンはそれぞれ5通りずつある。
　　　|w|＜1となるのは、(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅴ)、(ⅵ)のパターンなので、その確率は
　　　　　　　　 $\rm \frac{1+1+5+5}{32}=\underline{\rm \frac{3}{8}}$

　　(１)の結果をうまく使いましょう。　　

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2017/04/05(水) 23:57:00|

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2017大阪大　理系数学３

第３問

　　a、bを自然数とし、不等式
　　　　　　　　　 $\rm \left|\frac{a}{b}-\sqrt7\right|<\frac{2}{b^4}\ \ \ \ \ \ \ldots\ldots\ldots (A)$
　　を考える。次の問いに答えよ。ただし、2.645＜ $\rm \sqrt7$ ＜2.646 であること、
　　 $\rm \sqrt7$ が無理数であることを用いてよい。

　(１)　不等式(A)を満たしb≧2である自然数a、bに対して
　　　　　　　　　 $\rm \left|\frac{a}{b}+\sqrt7\right|<6$
　　　であることを示せ。

　(２) 不等式(A)を満たす自然数a、bの組のうち、b≧2であるものをすべて求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \left|\frac{a}{b}+\sqrt7\right|&=\rm \left|\frac{a}{b}-\sqrt7+2\sqrt7\right|\\ &\leq\rm \left|\frac{a}{b}-\sqrt7\right|+\left|2\sqrt7\right|\\ &<\rm \frac{2}{b^4}+2\sqrt7\\ &<\rm \frac{2}{2^4}+5.292\\ &=\rm 5.417\\ &<\rm 6\end{align*}$

　(２)
　　　(１)の不等式と(A)の辺々をかけると、
　　　　　　 $\rm \left|\frac{a}{b}-\sqrt7\right|\left|\frac{a}{b}+\sqrt7\right|<\frac{12}{b^4} \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|b^2\left(a^2-7b^2\right)\right|<12$ 　　　・・・・・・・(B)
　　　ここで、|a²-7b²|=0とすると、a、b＞0より、
　　　　　　　　 $\rm \frac{a}{b}=\sqrt7$
　　　と変形できる。a、bは自然数なので、左辺は有理数となるが、これは $\rm\sqrt7$ が
　　　無理数であることに矛盾するので、|a²-7b²|≧1である。
　　　よって、(B)より
　　　　　　　　 $\rm b^2<\frac{12}{\left|a^2-7b^2\right|}\leq 12$
　　　となるので、これを満たす2以上の自然数bは2または3である。

　　　b=2のとき
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm (B)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm 4\left|a^2-28\right|<12\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm 25<a^2<31 \end{align*}$
　　　　となり、これを満たすような自然数aは存在しない。

　　　b=3のとき
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm (B)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm 9\left|a^2-63\right|<12\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm \frac{185}{3}<a^2<\frac{193}{3} \end{align*}$
　　　　となり、これを満たすような自然数aはa=3のみ。
　　　　このとき、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \left|\frac{8}{3}-\sqrt7\right|-\frac{2}{3^4}&=\frac{214}{81}-\sqrt7\rm \\ &<2.642-2.645\rm \\ &<\rm 0\end{align*}$
　　　となるので、(A)を満たす。
　　以上より、題意を満たすような自然数a、bの組は、
　　　　　　　　　　　(a，b)=(3，8)

　　今年の阪大はこの問題が一番難しいです。　　

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2017/04/06(木) 23:57:00|

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2017大阪大　理系数学４

第４問

　　b、cを実数とする。2次関数f(x)=-x²+bx+cが
　　　　　0≦f(1)≦2、 5≦f(3)≦6
　　を満たすとする。

　(１) f(4)のとりうる値の範囲を求めよ。

　(２) 放物線f(x)の頂点のy座標qのとりうる値の範囲を求めよ。

　(３) 放物線y=⁡f(x)の頂点のy座標が6のとき、放物線y=f(x)とx軸で
　　　囲まれた部分の面積Sを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　f(1)=-1+b+cより
　　　　　　0≦-1+b+c≦2　　⇔　 -b+1≦c≦-b+3
　　　f(3)=-9+3b+cより
　　　　　　5≦-9+3b+c≦6　　⇔　 -3b+14≦c≦-3b+15
　　　bc平面上において4直線L₁～L₄を
　　　　　L₁： c=-b+1　　L₂： c=-b+3
　　　　　L₃： c=-3b+14　　L₄： c=-3b+15
　　　とおくと、点(b，c)の存在する領域は、これら4直線で
　　　囲まれてできる平行四辺形の周および内部である。
　　　（これをDとする）この平行四辺形の4頂点を下図のように
　　　P₁～P₄とおくと、
　　　　　　 $\rm P_1\left(\frac{13}{2},-\frac{11}{2}\right)\ ,\ P_2\left(7,-6\right)\ ,\ P_3\left(6,-3\right)\ ,\ P_4\left(\frac{11}{2},-\frac{5}{2}\right)$
　　
　　　　　

　　　f(4)=-16+4b+c=k　 ⇔　 c=-4b+k+16 とおくと、
　　　これは傾き-4、切片k+16の直線を表し、これが領域Dと
　　　共有点を持つようにkの値を変化させると、
　　　点P₄を通るとき、kは最小
　　　　　　　　 $\rm k_{min}=-16+22-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$
　　　点P₂を通るとき、kは最大
　　　　　　　　 $\rm k_{max}=-16+28-6=6$
　　　よって、f(4)のとり得る値の範囲は
　　　　　　　　 $\rm \underline{\rm \frac{7}{2}\leq f(4)\leq 6}$

　(２)
　　　　　　　　 $\rm f(x)=-\left(x-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{b^2}{4}+c$
　　　より、
　　　　　　　　 $\rm q=\frac{b^2}{4}+c\ \ \Leftrightarrow\ \ c=-\frac{b^2}{4}+q$ 　　　・・・・・・・(ⅰ)
　　　これは上に凸な放物線を表し、qはそのy切片である。
　　　(ⅰ)が点P₁～P₄を通るときのqの値をそれぞれq～q₄とすると、
　　　　　　　　 $\rm q_1=\frac{81}{16}\ ,\ q_2=\frac{25}{4}\ ,\ q_3=6\ ,\ q_4=\frac{81}{16}$
　　　また、(ⅰ)がL₃と接するとき、bについての二次方程式
　　　　　　　　 $\rm -2b+14=-\frac{b^2}{4}+q\ \ \Leftrightarrow\ \ b^2-12b+56-4q=0$ 　　　・・・・・・・(ⅱ)
　　　が重解を持てばよいので、判別式を考えると、　　　
　　　　　　　　 $\rm D/4=6^2-\left(56-4q\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ q=5$
　　　このとき、
　　　　　　　　 $\rm (ii)\ \ \Leftrightarrow\ \ b^2-12b+36=\left(b-6\right)^2=\ \ \Leftrightarrow\ \ b=6$
　　　なので、(ⅰ)は線分P₁P₄と接する。
　　　以上より、qのとり得る値の範囲は、
　　　　　　　　 $\rm \underline{\rm 5\leq q\leq\frac{25}{4}}$

　(３)
　　　q=6のとき、
　　　　　　　　 $\rm f(x)=-\left(x-\frac{b}{2}\right)^2+6=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{b}{2}\pm\sqrt6$
　　　これらの値をα、β（α＜β）とすると、放物線y=f(x)はx軸と
　　　2点(α，0)、(β，0)で交わる。
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm S&=\rm \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\\ &=\rm \int_{\alpha}^{\beta}\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)dx\\ &=\rm \frac{1}{6}\left(\beta-\alpha\right)^3\\ &=\rm \frac{1}{6}\bigg\{\left(\frac{b}{2}+\sqrt6\right)-\left(\frac{b}{2}-\sqrt6\right)\bigg\}^3\\ &=\rm \frac{1}{6}\cdot\left(2\sqrt6\right)^3\\ &=\rm \underline{\rm 8\sqrt6}\end{align*}$

　　線形計画法です。　　

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2017/04/07(金) 23:57:00|

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2017大阪大　理系数学５

第５問

　　xy平面上で放物線y=x²と直線y=2で囲まれた図形を、y軸のまわりに1回転
　　してできる回転体をLとおく。回転体Lに含まれる点のうち、xy平面上の直線
　　x=1からの距離が1以下のもの全体がつくる立体をMとおく。

　(１) tを0≦t≦2を満たす実数とする。xy平面上の点(0，t)を通り、y軸に直交
　　　する平面によるMの切り口の面積をS(t)とする。t=(2cosθ)^２ ( $\rm \frac{\pi}{4}$ ≦θ≦ $\rm \frac{\pi}{2}$ )
　　　のとき、S(t)をθを用いて表せ。

　(２) Mの体積Vを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　xyz空間内において、Lを平面y=tで切った断面は、点(0，t，0)（Pとする）
　　　を中心とする半径 $\rm \sqrt{t}$ の円（C₁とする）の周および内部である。
　　　また、平面y=t上で、点(1，t，0)（Qとする）を中心とする半径1の円をC₂と
　　　すると、Mを平面y=tで切った断面は、2つの円C₁、C₂で囲まれた図形である。
　　　C₁、C₂の方程式は
　　　　　　　　 $\rm C_1:\ x^2+z^2=t\ \ ,\ \ C_2:\ \left(x-1\right)^2+z^2=1$
　　　であり、これら2円の共有点（A、Bとする）のx座標は
　　　　　　　　 $\rm z^2=t-x^2=1-\left(x-1\right)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{t}{2}$
　　　A、Bの中点をMとすると、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \cos\angle APM&=\rm \frac{\frac{t}{2}}{\sqrt{t}}\\ &=\rm \frac{\sqrt{t}}{2}\\ &=\rm \frac{\sqrt{\left(2\cos\theta\right)^2}}{2}\\ &=\rm \cos\theta\ \ \ \ \left(\because\ \frac{\pi}{4}\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}$
　　　なので、
　　　　　　　　 $\rm \angle APM=\angle PAQ=\theta\ \ ,\ \ \angle AQM=\pi-2\theta\ \ ,\ \ AM=\sqrt{t}\ \sin\tehta$
　　　図の対称性より
　　　　　　　　S(t)=(扇形PAB+扇形QAB-△APQ)×2
　　　なので、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm S(t)&=\rm 2\bigg\{\left(\sqrt{t}\right)^2\cdot\frac{\theta}{2}+1^2\cdot\frac{\pi-2\theta}{2}-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\sqrt{t}\ \sin\theta\bigg\}\\ &=\rm \theta\left(t-2\right)-\sqrt{t}\sin\theta+\pi\\ &=\rm 2\theta\left(2\cos^2\theta-1\right)-2\sin\theta\cos\theta+\pi\\ &=\rm \underline{\rm 2\theta\cos 2\theta-\sin 2\theta+\pi}\end{align*}$

　　　　　　

　(２)
　　　 $\rm t=4\cos^2\theta$ より
　　　　　　　　 $\rm \frac{dt}{d\theta}=-8\sin\theta\cos\theta=-4\sin 2\theta$
　　　であり、
　　　　　　　　 $\rm t=0\ \ \Leftrightarrow\ \ cos\theta=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{2}$
　　　　　　　　 $\rm t=2\ \ \Leftrightarrow\ \ cos\theta=\frac{1}{\sqrt2}\ (>0)\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{4}$
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm V&=\rm \int_0^2S(t)\ dt\\ &=\rm \int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(2\theta\cos 2\theta-\sin2\theta+\pi\right)\cdot\left(-4\sin2\theta\right)d\theta\\ &=\rm 4\int_{\pi/2}^{\pi/4}\left(2\theta\sin2\theta\cos2\theta-\sin^2\theta+\pi\sin2\theta\right)d\theta\\ &=\rm 4\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\theta\sin4\theta-\frac{1-\cos4\theta}{2}+\pi\sin2\theta\right)d\theta\\ &=\rm 4\left[-\frac{\theta}{4}\cos4\theta-\frac{\theta}{2}+\frac{1}{8}\sin4\theta-\frac{\pi}{2}\cos2\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/2}+\frac{1}{4}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos4\theta\ d\theta\\ &=\rm 4\left[-\frac{\theta}{4}\cos4\theta-\frac{\theta}{2}+\frac{1}{8}\sin4\theta-\frac{\pi}{2}\cos2\theta+\frac{1}{16}\sin4\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/2}\\ &=\rm \underline{\rm \frac{3}{4}\pi} \end{align*}$

　　(１)さえできれば(２)は計算だけです。　　

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2017/04/08(土) 23:57:00|

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