第1問
以下の問に答えよ。
(1) 次の和を求めよ。
S=2+4x+6x2+8x3+・・・+2nxn-1
(2) 0＜a＜1のとき、log3aとloga3の大小を比較せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ⅰ) x=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf 2+4+6+\ldots +2n\\ &=\sf \frac{1}{2}n\left(2+2n\right)\\ &=\sf \underline{\sf n\left(n+1\right)}\end{align*}}$
(ⅱ) x≠1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2+4x+6x^2+\ldots +2nx^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf xS=2x+4x^2+6x^3+\ldots +2nx^{n}\end{align*}}$
これら2式の差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-x\right)S&=\sf 2+2x+2x^2+2x^3+\ldots +2x^{n-1}-2nx^n\\ &=\sf \frac{2\left(1-x^n\right)}{1-x}-2nx^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf S=\frac{2\left(1-x^n\right)}{\left(1-x\right)^2}-\frac{2nx^n}{1-x}}\end{align*}}$
(2)
(ⅰ) 0＜a＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_3a<-1\ \ ,\ \ -1<\frac{1}{\log_3a}<0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_3a<\frac{1}{\log_3a}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \log_3a<\log_a3}\end{align*}}$
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ ＜a＜1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1<\log_3a<0\ \ ,\ \ \frac{1}{\log_3a}<-1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_3a>\frac{1}{\log_3a}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \log_3a>\log_a3}\end{align*}}$
(ⅲ) a=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \log_3a=\log_a3\ (=-1)}\end{align*}}$
どちらも場合分けが必要です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/08/08(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良教育大 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
整数x、yに関する以下の問に答えよ。
(1) x2-y2-3=0 をみたす整数の組(x，y)をすべて求めよ。
(2) x2-y2-4x+6y-5を因数分解せよ。
(3) x2-4y2-4x+12y-8=0 をみたす整数の組(x，y)をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x2-y2-3=0
⇔ (x-y)(x+y)=3
と変形でき、x-y、x+yはともに整数なので、
(x-y，x+y)=(1，3)、(3，1)、(-1，-3)、(-3，-1)
⇔ (x，y)=(2，1)、(2，-1)、(-2，-1)、(-2，1)
(2)
x2-y2-4x+6y-5
=(x-2)2-4-{(y-3)2-9}-5
=(x-2)2-(y-3)2
={(x-2)-(y-3)}{(x-2)+(y-3)}
=(x-y+1)(x+y-5)
(3)
Y=2yとおくと、
x2-4y2-4x+12y-8=0
⇔ x2-Y2-4x+6Y-5-3=0
⇔ (x-2)2-(Y-3)2-3=0 ←(2)より
(1)より
(x-2，Y-3)=(2，1)、(2，-1)、(-2，-1)、(-2，1)
⇔ (x，Y)=(4，4)、(4，2)、(0，2)、(0，4)
⇔ (x，2y)=(4，2)、(4，1)、(0，1)、(0，2)
(3)は(1)、(2)を上手く使いましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/08/09(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良教育大 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
次の表は、あるクラスの生徒10人があるゲームをしたときの得点をまとめた
ものである。ただし、ゲームの得点は整数値をとり、表の数値はすべて四捨
五入されていない正確な値である。
| 生徒名 | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | 平均値 |
| 得点 | 10 | 14 | 20 | 22 | 28 | 30 | 33 | 35 | 38 | 40 | 27 |
その後、得点を集計した際にデータの入力ミスがあったことが判明した。
この誤りを修正したところ、2人の生徒の得点がともに10点上がり、残りの
8人の生徒の得点は変わらなかった。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 修正した後での、10人の得点の平均値を求めよ。
(2) 修正する前と後で、10人の得点の第1四分位数と第3四分位数の値はともに
変わらなかった。このとき、修正の前後で得点が変わった可能性がある生徒
は誰と誰か、すべての場合を答えよ。
(3) (2)で求めた場合のうち、修正後での10人の得点の標準偏差が一番小さく
なるものを答えよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
修正前の得点の合計は
27×10=270
修正後の得点の合計は
270+10×2=290
よって、修正後の得点の平均値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{290}{10}=\underline{\sf 29}\end{align*}}$
(2)
修正前の第1四分位数Q1は20、第3四分位数Q3は35である。
Aの得点が20点に変わったとき、Q1=20、Q3=35
Bの得点が24点に変わったとき、Q1=22、Q3=35
Cの得点が30点に変わったとき、Q1=22、Q3=35
Dの得点が32点に変わったとき、Q1=20、Q3=35
Eの得点が38点に変わったとき、Q1=20、Q3=38
Fの得点が40点に変わったとき、Q1=20、Q3=38
Gの得点が43点に変わったとき、Q1=20、Q3=38
Hの得点が45点に変わったとき、Q1=20、Q3=38
Iの得点が48点に変わったとき、Q1=20、Q3=35
Jの得点が50点に変わったとき、Q1=20、Q3=35
よって、A、D、I、Jの得点が変わってもQ1、Q3の値はともに変化しないので、
題意を満たすような2人の生徒の組み合わせは、
AとD、 AとI、 AとJ、 DとI、 DとJ、 IとJ
の6通りの場合が考えられる。
(3)
修正後の(偏差)2を計算すると、
A・・・ (20-29)2=92
D・・・ (32-29)2=32
I・・・ (48-29)2=192
J・・・ (50-29)2=212
なので、標準偏差が最小になる組み合わせは、AとDである。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/08/10(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良教育大 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
次の関数f(x)、G(x)、H(x)の導関数を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf (1)\ F(x)=\int_0^{x}e^{t^2}dt\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (2)\ G(x)=\int_x^{x^2}e^{t^2}dt\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (3)\ H(x)=\int_x^{x^2}e^{\left(t-x\right)^2}dt\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=e^{t^2}\end{align*}}$ とおく。
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F(x)&=\sf \int_0^xf\ '(t)dt\\ &=\sf \bigg[\ f(t)\ \bigg]_0^x\\ &=\sf f(x)-f(0)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F\ '(x)&=\sf f\ '(x)-0\\ &=\sf \underline{\sf e^{x^2}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf G(x)&=\sf \int_x^{x^2}f\ '(t)dt\\ &=\sf \bigg[\ f(t)\ \bigg]_x^{x^2}\\ &=\sf f\left(x^2\right)-f(x)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf G\ '(x)&=\sf f\ '\left(x^2\right)\cdot\left(x^2\right)'-f\ '(x)\\ &=\sf \underline{\sf 2xe^{x^4}-e^{x^2}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=t-x\ \ ,\ \ \frac{ds}{dt}=1\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf H(x)&=\sf \int_0^{x^2-x}f\ '(s)ds\\ &=\sf \bigg[\ f(s)\ \bigg]_0^{x^2-x}\\ &=\sf f\left(x^2-x\right)-f(0)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf H\ '(x)&=\sf f\ '\left(x^2-x\right)\cdot\left(x^2-x\right)'-0\\ &=\sf \underline{\sf \left(2x-1\right)e^{\left(x^2-x\right)^2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/08/11(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良教育大 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
