青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2017

2017京都大　文系数学１

第１問

　　曲線y=x^３-4x+1をCとする。直線LはCの接線であり、点P(3，0)を通る
　　ものとする。また、Lの傾きは負であるとする。このとき、CとLで囲まれた
　　部分の面積Sを求めよ。

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2017/03/17(金) 23:57:00|

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2017京都大　文系数学２

第２問

　　次の問に答えよ。ただし、0.3010＜log_１02＜0.3011であることは用いてよい。

　(１) 100桁以下の自然数で、2以外の素因数を持たないものの個数を求めよ。

　(２) 100桁の自然数で、2と5以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　題意を満たす自然数をAとおくと、0以上の自然数mを用いて
　　　　　　　　　A=2^m
　　　と表すことができ、これが100桁以下なので、　
　　　　　　　　　　　2^m＜10¹⁰⁰
　　　両辺の常用対数をとると、
　　　　　　　　 $\rm \log_{10}2^m<\log_{10}10^{100}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ m\log_{10}2<100$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ m<\frac{100}{\log_{10}2}<\frac{100}{0.3010}=332.2\ldots$
　　　これを満たすmは333個あるので、題意を満たす自然数Aの個数は
　　　333個である。

　(２)
　　　題意を満たす自然数をBとおくと、0以上の自然数M、Nを用いて
　　　　　　　　　B=2^M・5^N
　　　と表すことができ、これが100桁なので、　
　　　　　　　　　　　100⁹⁹≦2^M・5^N＜10¹⁰⁰　　　・・・・・・・①

　　　(ⅰ) M≧Nのとき
　　　　　①の両辺を5^Nで割ると
　　　　　　　　　　　100^99-N≦2^M-N＜10^100-N　　・・・・・・・②
　　　　　となり、これは100-N桁の自然数で、2以外の素因数を持たないもの
　　　　　を表している。N=0，1，2，・・・，99なので、②を満たすような
　　　　　M、Nの組の個数は、100桁以下の自然数で、2以外の素因数を持たない
　　　　　ものの個数に等しく、(１)より333個である。

　　　(ⅱ) M≦Nのとき
　　　　　①の両辺を2^Mで割ると
　　　　　　　　　　　100^99-M≦5^N-M＜10^100-M　　・・・・・・・③
　　　　　となり、これは100-M桁の自然数で、5以外の素因数を持たないもの
　　　　　を表している。M=0，1，2，・・・，99なので、③を満たすような
　　　　　M、Nの組の個数は、100桁以下の自然数で、5以外の素因数を持たない
　　　　　ものの個数に等しい。
　　　　　nを0以上の自然数とすると、
　　　　　　　　　　　5ⁿ＜10¹⁰⁰
　　　　　両辺の常用対数をとると、
　　　　　　　　　　 $\rm \log_{10}5^n<\log_{10}10^{100}$
　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ n\log_{10}\frac{10}{2}<100$ 　
　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ n<\frac{100}{1-\log_{10}2}<\frac{100}{1-0.3011}=143.0\ldots$
　　　　　これを満たすnは144個あるので、③を満たすM、Nは144組ある。

　　　ここで、M=N=99、すなわち、B=2⁹⁹・5⁹⁹=10⁹⁹ は、(ⅰ)、(ⅱ)のいずれにも
　　　含まれるので、題意を満たすような自然数Bの総数は、
　　　　　　　　　　333+144-1=476個

　　(１) 2⁰＝1を忘れないように
　　(２) M=Nの場合が重なることに注意　　

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2017/03/18(土) 23:57:00|

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2017京都大　文系数学３

第３問

　　座標空間において原点Oと点A(0，-1，1)を通る直線をLとし、点B(0，2，1)
　　と点C(-2，2，-3)を通る直線をmとする。L上の2点P、Qと、m上の点Rを
　　△PQRが正三角形となるようにとる。このとき、△PQRの面積が最小となる
　　ようなP、Q、Rの座標を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　PQの中点をHとすると、Hも直線L上にあるので、実数ｈを用いて
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OH}=h\overrightarrow{\rm OA}=\ｌｅｆｔ(0,-h,h\ｒｉｇｈｔ)$
　　　と表せる。
　　　一方、Rは直線m上にあるので、実数rを用いて、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \overrightarrow{\rm OR}&=\rm \left(1-r\right)\overrightarrow{\rm OB}+r\overrightarrow{\rm OC}\\ &=\rm \left(1-r\right)\left(0,2,1\right)+r\left(-2,2,-3\right)\\ &=\rm \left(-2r,2,1-4r\right)\end{align*}$
　　　と表せるので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm RH}=\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OR}=\left(2r,-h-2,h+4r-1\right)$
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \left|\overrightarrow{\rm RH}\right|^2&=\rm \left(2r\right)^2+\left(-h-2\right)^2+\left(h+4r-1\right)^2\\ &=\rm 2h^2+\left(8r+2\right)h+20r^2-8r+5\\ &=\rm 2\left(h+\frac{4r+1}{2}\right)^2+12r^2-12r+\frac{9}{2}\\ &=\rm 2\left(h+\frac{4r+1}{2}\right)^2+12\left(r-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\end{align*}$
　　　これより、
　　　　　　　　 $\rm h+\frac{4r+1}{2}=r-\frac{1}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ h=-\frac{3}{2}$
　　　のとき、高さRHは最小になり、正三角形PQRの面積が最小になる。
　　　このとき、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OR}=\left(-1,2,-1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\rm OH}=\left(0,\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right)\ \ ,\ \ RH=\sqrt{\frac{3}{2}}$
　　　　　　　　 $\rm PH=\frac{RH}{\tan 60^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt2}$
　　　L上の点Pは、Hと同様に、実数pを用いて
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OP}=\left(0,-p,p\right)$
　　　と表せるので、
　　　　　　　　 $\rm PH^2=\left(\frac{3}{2}+p\right)^2+\left(-\frac{3}{2}-p\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2$
　　　これを解くと、
　　　　　　　　 $\rm p=-1\ ,\ -2$
　　　となるので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OP}=\left(0,1,-1\right)$ 　または　 $\rm \overrightarrow{\rm OP}=\left(0,2,-2\right)$
　　　Qについても同様なので、3点P、Q、Rの座標は
　　　　　　P(0，1，-1)、Q(0，2，-2)、R(-1，2，-1)　または
　　　　　　P(0，2，-2)、Q(0，1，-1)、R(-1，2，-1)　
　　　である。

　　RHが最短になるのは、RH⊥L かつRH⊥mのときです。　　

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2017/03/19(日) 23:57:00|

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2017京都大　文系数学４

第４問

　　p、qを自然数、α、βを
　　　　　　　　　 $\rm \tan\alpha=\frac{1}{p}\ \ ,\ \ \tan\beta=\frac{1}{q}$
　　を満たす実数とする。このとき、次の問に答えよ。

　(１) 次の条件
　　　　　(A)　tan(α+2β)=2
　　　を満たすp、qの組(p，q)のうち、q≦3であるものをすべて求めよ。

　(２) 条件(A)を満たすp、qの組で、q＞3であるものは存在しないことを
　　　示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　tanの倍角公式より　
　　　　　　　　 $\rm \tan 2\beta=\frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\frac{\frac{2}{q}}{1-\frac{1}{q^2}}=\frac{2q}{q^2-1}\ \ \ \left(q\ne \pm 1\right)$ 　　　・・・・・・・①
　　　tanの加法定理より
　　　　　　　　 $\rm \tan\left(\alpha+2\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan 2\beta}{1-\tan\alpha\tan 2\beta}=2$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\alpha+\tan 2\beta=2-2\tan\alpha\tan 2\beta$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}=2-\frac{2}{p}\cdot\frac{2q}{q^2-1}$ 　　　　← ①より
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ q^2-1+2pq=2p\left(q^2-1\right)-4q$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(q^2-q-1\right)p=q^2+4q-1$ 　　・・・・・・・②

　　　q=1のときはtan2βが定義できない
　　　q=2のとき、②より　　　　　
　　　　　　　　 $\rm 2p=11\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{11}{2}$
　　　q=3のとき、②より　　　　　
　　　　　　　　 $\rm 10p=20\ \ \Leftrightarrow\ \ p=2$

　　　よって、q≦3のとき、条件(A)を満たす自然数p、qの組は(p，q)=(2，3)である。

　(２)
　　　q＞3のとき、②において、
　　　　　　　　 $\rm q^2-q-1=\left(q-\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\left(q-\frac{1+\sqrt5}{2}\right)>0$
　　　であり、p≧1なので、
　　　　　　　　 $\rm 2\left(q^2-q-1\right)\leq q^2+4q-1$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ q^2-6q-1\leq 0$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ 3-\sqrt{10}\leq q\leq 3+\sqrt{10}$
　　　これを満たすq＞3の自然数は、q=4，5，6のみである。

　　　q=4のとき、②より　　　　　
　　　　　　　　 $\rm 22p=31\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{31}{22}$
　　　q=5のとき、②より　　　　　
　　　　　　　　 $\rm 38p=44\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{22}{19}$
　　　q=6のとき、②より　　　　　
　　　　　　　　 $\rm 58p=59\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{59}{58}$

　　　よって、q＞3のとき、条件(A)を満たす自然数の組(p，q)は存在しない。

　　理系で類題が出題されています。　　

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2017/03/20(月) 23:57:00|

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2017京都大　文系数学５

第５問

　　nを2以上の自然数とする。さいころをn回振り、出た目の最大値Mと
　　最小値Lの差M-LをXとする。

　(１) X=1である確率を求めよ。
　(２) X=5である確率を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　X=1となるようなM、Lの値の組は
　　　　　　　(M，L)=(2，1)、(3，2)、(4，3)、(5，4)、(6，5)
　　　の5通りある。
　　　(M，L)=(2，1)となる確率は、
　　　　　　n回すべてが2または1の目が出る確率は $\rm \left(\frac{2}{6}\right)^n$
　　　　　　n回すべて1の目が出る確率は $\rm \left(\frac{1}{6}\right)^n$
　　　　　　n回すべて2の目が出る確率は $\rm \left(\frac{1}{6}\right)^n$
　　　なので、
　　　　　　　　 $\rm \left(\frac{2}{6}\right)^n-\left\{\left(\frac{1}{6}\right)^n+\left(\frac{1}{6}\right)^n\right\}=\left(\frac{1}{3}\right)^n-2\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^n$

　　　ほかの場合も同様に考えることができるので、X=1となる確率は
　　　　　　　　 $\rm \underline{5\left\{\left(\frac{1}{3}\right)^n-2\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^n\right\}\rm }$

　(２)
　　　X=5となるのは、(M，L)=(6，1)のときであり、1と6の目がそれぞれ少なくとも
　　　1回ずつ出ればよい。
　　　　　　1の目が1回も出ない確率は $\rm \left(\frac{5}{6}\right)^n$
　　　　　　6の目が1回も出ない確率は $\rm \left(\frac{5}{6}\right)^n$
　　　　　　1の目、6の目とも1回も出ない確率は $\rm \left(\frac{4}{6}\right)^n$
　　　よって、X=5となる確率は　　　
　　　　　　　　 $\rm 1-\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^n+\left(\frac{5}{6}\right)^n-\left(\frac{4}{6}\right)^n\right\}=\underline{\rm 1-2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^n+\left(\frac{2}{3}\right)^n}$

　　(２)はベン図で考えるとわかりやすいと思います。　　

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2017/03/21(火) 23:57:00|

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