第1問
$\small\sf{\sf f(x)=2x^3+x^2-3}$ とおく。直線y=mxが曲線y=f(x)と相異なる3点で
交わるような実数mの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Yahoo知恵袋の方で、この問題に関する質問が上げられていましたので、
私なりの回答をここに記しておきます。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10101906920
グラフの概形を描く際に、凹凸まで調べる必要があるのかという内容の
質問ですが、結論から言うと、$\scriptsize\sf{\sf y=g(x)}$ とy=mの交点の個数さえ分かれば
いいわけですから、そこまで厳密に描く必要はないと思います。
私の場合、こんな形のグラフになるということを知識として知っていましたので、
描いたまでのことです。
あと、質問者様のおっしゃるとおり、グラフのx切片は確かに1ですね。
それっぽく見えるように描き直しておきましたm(_ _)m
y=f(x) と y=mxの共有点を求める。
$\scriptsize\sf{\sf 2x^3+x^2-3=mx}$
x=0はこの方程式の解とはならないので、両辺をxで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x^2+x-\frac{3}{x}=m\end{align*}}$
この左辺を$\scriptsize\sf{\sf g(x)}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=4x+1+\frac{3}{x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4x^3+x^2+3}{x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(x+1)(4x^2-3x+3)}{x^2}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4x^3-3x+3=4\left(x-\frac{3}{8}\right)^2+\frac{39}{16}\ >0\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\sf g(x)}$ の増減表および$\scriptsize\sf{\sf y=g(x)}$ のグラフは次の通り。
「y=f(x)と直線y=mxの共有点が3個」であるためには、
「$\scriptsize\sf{\sf y=g(x)}$ と直線y=mの共有点が3個」であればよいので、
グラフから考えると、mの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\sf \underline{m\gt 4}}$
文系と共通の問題です。
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-236.html
ここでは、理系っぽい別解を載せておくことにします。
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- 2012/02/03(金) 23:57:00|
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第2問
正の整数nに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf S\ (n)=\sum_{p=1}^{2n}\ \frac{(-1)^{p-1}}{p}\ \ ,\ \ T\ (n)=\sum_{q=1}^n\ \frac{1}{n+q}\end{align*}}$
とおく。等式 S(n)=T(n) (n=1，2，3，････) が成り立つことを、
数学的帰納法を用いて示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(ⅰ)n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (1)=\sum_{p=1}^{2}\ \frac{(-1)^{p-1}}{p}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\ (1)=\sum_{p=1}^{1}\ \frac{1}{1+q}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、S(n)=T(n)は成立する。
(ⅱ)n=kのとき、S(k)=T(k)が成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{p=1}^{2k}\ \frac{(-1)^{p-1}}{p}=\sum_{q=1}^k\ \frac{1}{k+q}\end{align*}}$ ･･････①
この仮定の下で、n=k+1のときも成立する、すなわち、
S(k+1)=T(k+1)
が成立することを示せばよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (k+1)=\sum_{p=1}^{2k+2}\ \frac{(-1)^{p-1}}{p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{p=1}^{2k}\ \frac{(-1)^{p-1}}{p}+\frac{(-1)^{2k}}{2k+1}+\frac{(-1)^{2k+1}}{2k+2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{p=1}^{2k}\ \frac{(-1)^{p-1}}{p}+\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{q=1}^k\ \frac{1}{k+q}+\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\frac{1}{k+1}}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\ldots\ldots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}\underline{-\frac{1}{2k+2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\ldots\ldots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}\end{align*}}$ ←下線部を計算
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{q=1}^{k+1}\ \frac{1}{k+1+q}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =T\ (k+1)\end{align*}}$
よって、n=k+1のときも成立するので、
任意の自然数nに対して S(n)=T(n) が成立する。
証明すべき目標の式をちゃんと把握しておく必要があります。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}T\ (k+1)=\sum_{q=1}^{k+1}\ \frac{1}{k+1+q}=\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\ldots\ldots+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}}\end{align*}}$
を先に計算しておけば、見通しが立ちやすいと思います。
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- 2012/02/04(土) 23:57:00|
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第3問
空間内の4点A、B、C、Dが
AB=1 、AC=2 、 AD=3 、∠BAC=∠CAD=60°
∠DAB=90°
を満たしている。この4点から等距離にある点をEとする。線分AEの
長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Aを始点として
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf AB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf AC}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf AD}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf e}=\overrightarrow{\sf AE}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|=1\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf c}|=2\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf d}|=3\end{align*}}$ ･･････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=1\cdot2\cdot\cos 60^{\circ}=1\end{align*}}$ ･･････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf d}=2\cdot3\cdot\cos 60^{\circ}=3\end{align*}}$ ･･････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\cdot\overrightarrow{\sf b}=3\cdot1\cdot\cos 90^{\circ}=0\end{align*}}$ ･･････④
Eは4点A、B、C、Dから等距離にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AE}|=|\overrightarrow{\sf BE}|=|\overrightarrow{\sf CE}|=|\overrightarrow{\sf DE}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf e}|^2=|\overrightarrow{\sf e}-\overrightarrow{\sf b}|^2=|\overrightarrow{\sf e}-\overrightarrow{\sf c}|^2=|\overrightarrow{\sf e}-\overrightarrow{\sf d}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ 0=-2\overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf b}|^2=-2\overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf c}+|\overrightarrow{\sf c}|^2=-2\overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf d}+|\overrightarrow{\sf d}|^2\end{align*}}$
①を代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ 2\overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf b}=1\ \ ,\ \ 2\overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf c}=4\ \ ,\ \ 2\overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf d}=9\end{align*}}$ ･･････⑤
ここで、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ は一次独立なので、実数r、s、tを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}=r\overrightarrow{\sf b}+s\overrightarrow{\sf c}+t\overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$
と表せる。
これを⑤に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(r\overrightarrow{\sf b}+s\overrightarrow{\sf c}+t\overrightarrow{\sf d}\right)\cdot\overrightarrow{\sf b}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(r\overrightarrow{\sf b}+s\overrightarrow{\sf c}+t\overrightarrow{\sf d}\right)\cdot\overrightarrow{\sf c}=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(r\overrightarrow{\sf b}+s\overrightarrow{\sf c}+t\overrightarrow{\sf d}\right)\cdot\overrightarrow{\sf d}=9\end{align*}}$
これに、①～④を代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\sf 2r+2s=1}$
$\scriptsize\sf{\sf r+4s+3t=2}$
$\scriptsize\sf{\sf 2s+6t=3}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ s=0\ \ ,\ \ t=\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf e}|^2=\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf d}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\sf b}|^2+2\overrightarrow{\sf b}\overrightarrow{\sf d}+|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{10}{4}\end{align*}}$ ←①、④より
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AE}|=\underline{\ \frac{\sqrt{10}}{2}\ \ }\end{align*}}$
ひたすら内積の計算です。面倒ですが、考え方そのものは難しくないですよね。
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- 2012/02/05(日) 23:57:00|
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第4問
$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\sf 0\leqq \theta\lt 2\pi}$ を満たす実数とする。時刻tにおける座標が
$\small\sf{\sf x=t\cos\theta\ \ ,\ \ y=1-t^2+t\sin\theta}$
で与えられるような動点P(x，y)を考える。tが実数全体を動くとき、
点Pが描く曲線をCとする。Cがx軸のx≧0の部分と交わる点をQとする。
以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\theta}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、Q のx座標を求めよ。
(2) $\small\sf{\theta}$ が変化すると曲線Cも変化する。$\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\sf 0\leqq \theta\lt 2\pi}$ の範囲を変化する
とき、Cが通過する範囲をxy平面上に図示せよ。
(3) $\small\sf{\theta}$ が変化すると点Qも変化する。Qのx座標が最大となるような
$\small\sf{\sf \theta\ (0\leqq \theta\lt 2\pi)}$ について $\small\sf{\tan\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{t}{\sqrt2}\ \ ,\ \ y=1-t^2+\frac{t}{\sqrt2}\end{align*}}$
x軸との交点を考えるので、y=0とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-t^2+\frac{t}{\sqrt2}=0\end{align*}}$ ．
これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt2\ ,\ -\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
となるので、xの値を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=1\ ,\ -\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
x＞0なので、Qのx座標は 1
(2)
(ア) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=0\ \ ,\ \ y=-t^2+t+1=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\end{align*}}$
(イ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=0\ \ ,\ \ y=-t^2-t+1=-\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\end{align*}}$
よって、これらのときは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=0\ \ ,\ \ y\leqq \frac{5}{4}\end{align*}}$
の部分を動く。
(ウ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta\ne\frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{x}{\cos\theta}\end{align*}}$ より、tを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=1-\frac{1}{\cos^2\theta}\ x^2+2+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\ x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(-1-\tan^2\theta)\ x^2+\tan\theta\ x+1\end{align*}}$ ･････①
ここで、T=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、Tはすべての実数値をとり得る。
①をTの方程式とみなすと、
x2T2－xT+y+x2－1=0 ･･････①’
となり、これが実数解をもつような範囲を求めればよい。
(ⅰ) x=0のとき、y=1
(ⅱ) x≠0のとき
①’の判別式をDとすると、
D=x2－4x2(y－x2－1)≧0
両辺をx2（＞0）で割って整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\leqq -x^2+\frac{5}{4}\end{align*}}$
(ア)～(ウ)より、Cの通過する領域は右図のようになる。
(境界上の点も含む)
(3)
(2)より、x座標が最大になるときのQの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\ (x\ ,\ y)=\left(\frac{\sqrt5}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
これを①’に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{4}T^2-\frac{\sqrt5}{2}T+\frac{5}{4}-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ 5T^2-2\sqrt5T+1=0\end{align*}}$
これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta=T=\underline{\ \frac{1}{\sqrt5}\ \ }\end{align*}}$
(3)で$\scriptsize\sf{\tan\theta}$ が登場することを先に見越しておくと、
(2)でも$\scriptsize\sf{\tan\theta}$ について考えるべきだと気づくでしょう。
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- 2012/02/06(月) 00:03:00|
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第5問
nを正の整数aを正の実数とする。曲線$\small\sf{\sf y=x^n}$ と曲線$\small\sf{\sf y=a\log x}$ が、
点Pで共通の接線をもつとする。ただし、対数は自然対数である。
点Pのx座標をtとするとき、以下の問いに答えよ。
(1) a、tをそれぞれnを用いて表せ。
(2) 曲線$\small\sf{\sf y=x^n}$ とx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積をS1とする。
また、曲線$\small\sf{\sf y=a\log x}$ とx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積を
S2とする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ をnを用いて表せ。
(3) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを、
次の(a)、(b)に分けて示せ。ただし、ｅは自然対数の底とする。
(a) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(b) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(4) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与えられた2曲線をそれぞれC1、C2とし、
$\scriptsize\sf{\sf f(x)=x^n\ \ ,\ \ g(x)=a\log x}$
とおく。ここで真数条件より、$\scriptsize\sf{\sf g(x)}$ の定義域はx＞0である。
それぞれの導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f'(x)=nx^{n-1\ \ ,\ \ g'(x)=}\frac{a}{x}\end{align*}}$
2曲線をそれぞれC1、C2が点Pにおいて、
共通の接線をもつので、
$\scriptsize\sf{\sf f(t)=g(t)}$ かつ $\scriptsize\sf{\sf f'(t)=g'(t)}$
すなわち、
$\scriptsize\sf{\sf t^n=a\log t}$ ･････① かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\ t^{n-1}=\frac{a}{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=n\ t^n \end{align*}}$ ･････②
②を①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\sf t^n=nt^n\log t}$
$\scriptsize\sf{\sf t^n\ne 0}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1=n\ \log t\ \ \Leftrightarrow\ \ \log t=\frac{1}{n}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=e^{\frac{1}{n}}\ \ }\end{align*}}$
これを②に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=n\cdot\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=n\ e\ \ }\end{align*}}$
(2)
C1およびC2のグラフは右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_0^t\ x^n\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t^{n+1}}{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_1^t\ a\log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\left[x\log x-x\right]_1^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\left(t\log t-t+1\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}=\frac{a(n+1)\left(t\log t-t+1\right)}{t^{n+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n(n+1)\left(t\log t-t+1\right)}{t}\end{align*}}$ ←②を代入して約分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n(n+1)\left(\log t-1+t^{-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ n(n+1)\left(e^{-\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}-1\right)\ \ }\end{align*}}$
まぁそんなに難しくないでしょう。
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- 2012/02/07(火) 00:06:00|
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第5問
nを正の整数aを正の実数とする。曲線$\small\sf{\sf y=x^n}$ と曲線$\small\sf{\sf y=a\log x}$ が、
点Pで共通の接線をもつとする。ただし、対数は自然対数である。
点Pのx座標をtとするとき、以下の問いに答えよ。
(1) a、tをそれぞれnを用いて表せ。
(2) 曲線$\small\sf{\sf y=x^n}$ とx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積をS1とする。
また、曲線$\small\sf{\sf y=a\log x}$ とx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積を
S2とする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ をnを用いて表せ。
(3) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを、
次の(a)、(b)に分けて示せ。ただし、ｅは自然対数の底とする。
(a) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(b) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(4) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}=n(n+1)\left(e^{-\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}-1\right)\end{align*}}$
(3)(a)
x≧0を定義域とする関数F(x)を次のように定める。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=\frac{x^2}{2}-e^{-x}-x+1\end{align*}}$
第1次導関数および第2次導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\sf F'(x)=x+ｅ^{-x}-1}$ 
$\scriptsize\sf{\sf F''(x)=1-ｅ^{-x}}$
x≧0より、$\scriptsize\sf{\sf ｅ^{-x}\leqq 1}$ なので、$\scriptsize\sf{\sf F''(x)\geqq 0}$
よって、F’(x)は単調増加で、F’(0)=0なので、
x≧0で常にF’(x)≧0である。
これより、F(x)は単調増加で、F(0)=0なので、
x≧0で常にF(x)≧0となる。
(右の増減表を参照してください)
よって、x≧0で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}\end{align*}}$
が成り立つ。
(3)(b)
x≧0を定義域とする関数G(x)を次のように定める。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf G\ (x)=e^{-x}+x-1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\end{align*}}$
第1次導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf G\ '(x)=\frac{x^2}{2}-e^{-x}-x+1=F\ (x)\geqq 0\end{align*}}$
x≧0で常にG’(x)≧0なので、G(x)は単調増加。
また、G(0)=0なので、x≧0で常にG(x)≧0となる。
よって、x≧0で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\end{align*}}$
が成り立つ。
(4)
nは自然数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}>0\end{align*}}$
(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2n^2}-\frac{1}{6n^3}\ \leqq \ e^{-\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}-1\ \leqq \ \frac{1}{2n^2}\end{align*}}$
両辺×n(n+1) （＞0）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n+1}{2n}-\frac{n+1}{6n^2}\ \leqq \ n(n+1)\left(e^{-\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}-1\right)\ \leqq \ \frac{n+1}{2n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{n+1}{2n}-\frac{n+1}{6n^2}\ \leqq \ \frac{S_2}{S_1}\ \leqq \ \frac{n+1}{2n}\end{align*}}$ ←(2)より
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{6n^2}=0\end{align*}}$
となるので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_2}{S_1}=\underline{\ \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
うまく誘導に乗っていけば、キレイにかけると思います。
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- 2012/02/07(火) 00:09:00|
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