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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2005大阪大 理系数学1



第1問

  f(x)=2x3+x2-3とおく。直線y=mxが曲線y=f(x)と相異なる3点で
  交わるような実数mの範囲を求めよ。




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  1. 2012/02/03(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2005
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2005大阪大 理系数学2

今日は同志社・理系の全学部入試でした。
皆さんお疲れさまでした。
さっそく問題を解いてみたのですが、例年に比べて難しいかなぁという印象です。
発想自体は単純なのですが、計算量が多いですねぇ^^;;




第2問

  正の整数nに対して、
     
  とおく。等式 S(n)=T(n)  (n=1,2,3,・・・・) が成り立つことを、
  数学的帰納法を用いて示せ。



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  1. 2012/02/04(土) 23:57:00|
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2005大阪大 理系数学3

授業で使うので、阪大理系2005を全部アップしてしまいます。



第3問

  空間内の4点A、B、C、Dが
     AB=1 、AC=2 、 AD=3 、∠BAC=∠CAD=60°
     ∠DAB=90°
  を満たしている。この4点から等距離にある点をEとする。線分AEの
  長さを求めよ。




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  1. 2012/02/05(日) 23:57:00|
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2005大阪大 理系数学4

今日は奈良県の私立高校入試です。
みんなうまくいったでしょうかね??



第4問

  θを0≦θ<2πを満たす実数とする。時刻tにおける座標が
      x=tcosθ 、 y=1-t2+tsinθ
  で与えられるような動点P(x,y)を考える。tが実数全体を動くとき、
  点Pが描く曲線をCとする。Cがx軸のx≧0の部分と交わる点をQとする。
  以下の問いに答えよ。

 (1) θ のとき、Q のx座標を求めよ。

 (2) θが変化すると曲線Cも変化する。θが0≦θ<2πの範囲を変化する
    とき、Cが通過する範囲をxy平面上に図示せよ。

 (3) θが変化すると点Qも変化する。Qのx座標が最大となるようなθ
    (0≦θ<2π)について tanθの値を求めよ。




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  1. 2012/02/06(月) 00:03:00|
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2005大阪大 理系数学5(1)(2)



第5問

  nを正の整数aを正の実数とする。曲線y=xnと曲線y=alog xが、
  点Pで共通の接線をもつとする。ただし、対数は自然対数である。
  点Pのx座標をtとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) a、tをそれぞれnを用いて表せ。

 (2) 曲線y=xnとx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積をS1とする。
    また、曲線y=alog xとx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積を
    S2とする。このとき、 をnを用いて表せ。

 (3) x≧0のとき、不等式 が成り立つことを、
    次の(a)、(b)に分けて示せ。ただし、eは自然対数の底とする。
    (a) x≧0のとき、不等式 が成り立つことを示せ。
    (b) x≧0のとき、不等式 が成り立つことを示せ。

 (4) 極限値 を求めよ。



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  1. 2012/02/07(火) 00:06:00|
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2005大阪大 理系数学5(3)(4)



第5問

  nを正の整数aを正の実数とする。曲線y=xnと曲線y=alog xが、
  点Pで共通の接線をもつとする。ただし、対数は自然対数である。
  点Pのx座標をtとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) a、tをそれぞれnを用いて表せ。

 (2) 曲線y=xnとx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積をS1とする。
    また、曲線y=alog xとx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積を
    S2とする。このとき、 をnを用いて表せ。

 (3) x≧0のとき、不等式 が成り立つことを、
    次の(a)、(b)に分けて示せ。ただし、eは自然対数の底とする。
    (a) x≧0のとき、不等式 が成り立つことを示せ。
    (b) x≧0のとき、不等式 が成り立つことを示せ。

 (4) 極限値 を求めよ。



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  1. 2012/02/07(火) 00:09:00|
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