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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2005大阪大 理系数学1



第1問

  $\small\sf{\sf f(x)=2x^3+x^2-3}$ とおく。直線y=mxが曲線y=f(x)と相異なる3点で
  交わるような実数mの範囲を求めよ。




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  1. 2012/02/03(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2005
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2005大阪大 理系数学2




第2問

  正の整数nに対して、
     $\small\sf{\begin{align*} \sf S\ (n)=\sum_{p=1}^{2n}\ \frac{(-1)^{p-1}}{p}\ \ ,\ \ T\ (n)=\sum_{q=1}^n\ \frac{1}{n+q}\end{align*}}$
  とおく。等式 S(n)=T(n)  (n=1,2,3,・・・・) が成り立つことを、
  数学的帰納法を用いて示せ。



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  1. 2012/02/04(土) 23:57:00|
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2005大阪大 理系数学3




第3問

  空間内の4点A、B、C、Dが
     AB=1 、AC=2 、 AD=3 、∠BAC=∠CAD=60°
     ∠DAB=90°
  を満たしている。この4点から等距離にある点をEとする。線分AEの
  長さを求めよ。




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  1. 2012/02/05(日) 23:57:00|
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2005大阪大 理系数学4



第4問

  $\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\sf 0\leqq \theta\lt 2\pi}$ を満たす実数とする。時刻tにおける座標が
      $\small\sf{\sf x=t\cos\theta\ \ ,\ \ y=1-t^2+t\sin\theta}$
  で与えられるような動点P(x,y)を考える。tが実数全体を動くとき、
  点Pが描く曲線をCとする。Cがx軸のx≧0の部分と交わる点をQとする。
  以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\theta}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、Q のx座標を求めよ。

 (2) $\small\sf{\theta}$ が変化すると曲線Cも変化する。$\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\sf 0\leqq \theta\lt 2\pi}$ の範囲を変化する
    とき、Cが通過する範囲をxy平面上に図示せよ。

 (3) $\small\sf{\theta}$ が変化すると点Qも変化する。Qのx座標が最大となるような
    $\small\sf{\sf \theta\ (0\leqq \theta\lt 2\pi)}$ について $\small\sf{\tan\theta}$ の値を求めよ。




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  1. 2012/02/06(月) 00:03:00|
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2005大阪大 理系数学5(1)(2)



第5問

  nを正の整数aを正の実数とする。曲線$\small\sf{\sf y=x^n}$ と曲線$\small\sf{\sf y=a\log x}$ が、
  点Pで共通の接線をもつとする。ただし、対数は自然対数である。
  点Pのx座標をtとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) a、tをそれぞれnを用いて表せ。

 (2) 曲線$\small\sf{\sf y=x^n}$ とx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積をS1とする。
    また、曲線$\small\sf{\sf y=a\log x}$ とx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積を
    S2とする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ をnを用いて表せ。

 (3) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを、
    次の(a)、(b)に分けて示せ。ただし、eは自然対数の底とする。
    (a) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
    (b) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (4) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2012/02/07(火) 00:06:00|
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2005大阪大 理系数学5(3)(4)



第5問

  nを正の整数aを正の実数とする。曲線$\small\sf{\sf y=x^n}$ と曲線$\small\sf{\sf y=a\log x}$ が、
  点Pで共通の接線をもつとする。ただし、対数は自然対数である。
  点Pのx座標をtとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) a、tをそれぞれnを用いて表せ。

 (2) 曲線$\small\sf{\sf y=x^n}$ とx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積をS1とする。
    また、曲線$\small\sf{\sf y=a\log x}$ とx軸および直線x=tで囲まれる部分の面積を
    S2とする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ をnを用いて表せ。

 (3) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを、
    次の(a)、(b)に分けて示せ。ただし、eは自然対数の底とする。
    (a) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf e^{-x}+x-1\leqq \frac{x^2}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
    (b) x≧0のとき、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (4) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2012/02/07(火) 00:09:00|
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