青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2017

2017京都大　理系数学１

第１問

　　wを0でない複素数、x、yを
　　　　　　　　 $\rm w+\frac{1}{w}=x+yi$
　　を満たす実数とする。

　(１) 実数RはR>1を満たす定数とする.wが絶対値Rの複素数全体を動くとき、
　　　 xy平面上の点(x，y)の軌跡を求めよ。

　(２) 実数αは0＜α＜ $\rm \frac{\pi}{2}$ を満たす定数とする。wが偏角αの複素数全体を動くとき、
　　　 xy平面上の点(x，y)の軌跡を求めよ。

　　　　　　　　　

解答はこちら↓

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2017/03/26(日) 15:51:03|

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2017京都大　理系数学２

第２問

　　四面体OABCを考える。点D、E、F、G、H、I は、それぞれ辺OA、AB、BC、
　　CO、OB、AC上にあり、頂点ではないとする。このとき、次の問に答えよ。

　(１)　 $\rm \overrightarrow{\rm DG}$ と $\rm \overrightarrow{\rm EF}$ が平行ならばAE：EB=CF：FBであることを示せ。

　(２) D、E、F、G、H、I が正八面体の頂点となっているとき、これらの点は
　　　 OABCの各辺の中点であり、OABCは正四面体であることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　DG//EFなので、EF//平面OACである。・・・・・・・①
　　　ここで、2直線ACとEFが平行でないと仮定すると、これら2直線は
　　　同一平面上にあるので、1点で交わる。よって、直線EFは平面OACと1点で
　　　交わることになるので、①に矛盾する。
　　　よって、AC//EFになるので、AE：EB=CF：FBが成り立つ。

　(２)
　　　D、E、F、G、H、I が正八面体の頂点となるとき、
　　　DG//EFなので、(１)よりAC//EFである。
　　　同様に、DH//IF、HG//EIよりIF//AB、EI//BCであり、
　　　△EFIは正三角形なので、3つの四角形AEFI、BFIE、CIEFは合同なひし形
　　　となる。よって、
　　　　　　AE=BE=BF=CF=CI=AI
　　　となるので、△ABCは正三角形であり、E、F、Iは各辺の中点となる。
　　　ほかの面についても同様に考えることができるので、OABCは正四面体であり、
　　　D、E、F、G、H、IはOABCの各辺の中点である。
　　　

　　本来ならばベクトル計算するところなんでしょうが、
　　中学生レベルの幾何でごまかしましたｗｗｗ　　

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2017/03/27(月) 15:11:31|

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2017京都大　理系数学３

第３問

　　p、qを自然数、α、βを
　　　　　　　　　 $\rm \tan\alpha=\frac{1}{p}\ \ ,\ \ \tan\beta=\frac{1}{q}$
　　を満たす実数とする。このとき
　　　　　　tan(α+2β)=2
　　　を満たすp、qの組(p，q)をすべて求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　tanの倍角公式より　
　　　　　　　　 $\rm \tan 2\beta=\frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\frac{\frac{2}{q}}{1-\frac{1}{q^2}}=\frac{2q}{q^2-1}\ \ \ \left(q\ne \pm 1\right)$ 　　　・・・・・・・①
　　　tanの加法定理より
　　　　　　　　 $\rm \tan\left(\alpha+2\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan 2\beta}{1-\tan\alpha\tan 2\beta}=2$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\alpha+\tan 2\beta=2-2\tan\alpha\tan 2\beta$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}=2-\frac{2}{p}\cdot\frac{2q}{q^2-1}$ 　　　　← ①より
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ q^2-1+2pq=2p\left(q^2-1\right)-4q$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(q^2-q-1\right)p=q^2+4q-1$ 　　・・・・・・・②

　　　q=1のときはtan2βが定義できない

　　　q≧2のとき、②において、
　　　　　　　　 $\rm q^2-q-1=\left(q-\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\left(q-\frac{1+\sqrt5}{2}\right)>0$
　　　であり、p≧1なので、
　　　　　　　　 $\rm 2\left(q^2-q-1\right)\leq q^2+4q-1$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ q^2-6q-1\leq 0$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ 3-\sqrt{10}\leq q\leq 3+\sqrt{10}$
　　　これを満たすq＞3の自然数は、q=2，3，4，5，6のみである。

　　　q=2のとき、②より　　　　　
　　　　　　　　 $\rm 2p=11\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{11}{2}$
　　　q=3のとき、②より　　　　　
　　　　　　　　 $\rm 10p=20\ \ \Leftrightarrow\ \ p=2$
　　　q=4のとき、②より　　　　　
　　　　　　　　 $\rm 22p=31\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{31}{22}$
　　　q=5のとき、②より　　　　　
　　　　　　　　 $\rm 38p=44\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{22}{19}$
　　　q=6のとき、②より　　　　　
　　　　　　　　 $\rm 58p=59\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{59}{58}$

　　　以上より、条件を満たす自然数p、qの組は(p，q)=(2，3)である。

　　文系で類題が出題されています。　　

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2017/03/28(火) 15:11:32|

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2017京都大　理系数学４

第４問

　　△ABC は鋭角三角形であり、∠A= $\rm \frac{\pi}{3}$ であるとする。また△ABC の外接円の
　　半径は1であるとする。

　(１) △ABC の内心をPとするとき、∠BPCを求めよ。

　(２) △ABCの内接円の半径rの取りうる値の範囲を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　　　　　　 $\rm \angle ABC+\angle ACB=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2}{3}\pi$
　　　内心Pは角の二等分線の交点なので、△PBCにおいて、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \angle BPC&=\rm \pi-\left(\angle PBC+\angle PCB\right)\\ &=\rm \pi-\frac{1}{2}\left(\angle ABC+\angle ACB\right)\\ &=\rm \pi-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\pi\\ &=\rm \underline{\rm \frac{2}{3}\pi}\end{align*}$

　(２)
　　　正弦定理より
　　　　　　　　 $\rm \frac{BC}{\sin\frac{\pi}{3}}=2\ \ \Leftrightarrow\ \ BC=\sqrt3$

　　　△ABCが正三角形になるときの内心をP₁、内接円の半径をr₁とすると、
　　　　　　　　 $\rm \triangle ABC=\triangle P_1AB+\triangle P_1BC+\triangle P_1CA$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt3\right)^2\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}r_1\left(\sqrt3+\sqrt3+\sqrt3\right)$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ r_1=\frac{1}{2}$

　　　△ABCが直角三角形になるときの内心をP₂、
　　　内接円の半径をr₂とすると、他の2辺の長さは1、2なので
　　　　　　　　 $\rm \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=\frac{1}{2}r_2\left(1+2+\sqrt3\right) \ \ \Leftrightarrow\ \ r_2=\frac{\sqrt3-1}{2}$

　　　直線BCについてAと反対側に、△BCDが正三角形となるような点Dをとり、
　　　Dを中心とする半径 DBの円を考えると、(１)より∠BPC=120°(一定)なので、
　　　Pはこの円の周上の一部を動くことになる。(下図)
　　　図の対称性より、半径rが最大になるのは、Pが弧BCの中点になるときなので、
　　　rのとり得る値の範囲は
　　　　　　　　 $\rm r_2<r\leq r_1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\rm \frac{\sqrt3-1}{2}<r\leq\frac{1}{2}}$

　　　　

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2017/03/29(水) 15:11:36|

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2017京都大　理系数学５

第５問

　　a≧0とする。0≦x≦ $\rm \sqrt2$ の範囲で曲線y=xe^-x、直線y=ax、直線x= $\rm \sqrt2$ によって
　　囲まれた部分の面積をS(a)とする。このとき、S(a)の最小値を求めよ。
　　（ここで「囲まれた部分」とは、上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた
　　　部分を意味するものとする。）

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　 $\rm f(x)=ex^{-x}$
　　　とおくと、 $\rm f\ '(x)=\left(1-x\right)e^{-x}$ なので、
　　　f(x)はx≦1の範囲で単調に増加、1≦xの範囲で単調に減少する。

　　　曲線y=f(x)と直線y=axの共有点のx座標は
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm xe^{-x}=ax&\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm x\left(e^{-x}-a\right)=0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm x=0\ or\ e^{-x}=a\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm x=0\ ,\ -\log a\end{align*}$

　　(ⅰ) $\rm 0\leq a<e^{-\sqrt2}$ のとき
　　　　　 $\rm \sqrt2<-\log a$ なので、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm S(a)&=\rm \int_0^{\sqrt2}\left(xe^{-x}-ax\right)dx\\ &=\rm \left[-xe^{-x}-\frac{ax^2}{2}\right]_0^{\sqrt2}-\int_0^{\sqrt2}\left(-e^{-x}\right)dx\\ &=\rm \left[-\left(x+1\right)e^{-x}-\frac{ax^2}{2}\right]_0^{\sqrt2}\\ &=\rm -a-\left(\sqrt2+1\right)e^{-\sqrt2}+1\end{align*}$
　　　　　　　　 $\rm S\ '(a)=-1$

　　(ⅱ) $\rm e^{-\sqrt2}\leq a\leq 1$ のとき
　　　　　 $\rm 0\leq -\log a\leq \sqrt2$ なので、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm S(a)&=\rm \int_0^{-\log a}\left(xe^{-x}-ax\right)dx+\int_{-\log a}^{\sqrt2}\left(-xe^{-x}+ax\right)dx\\ &=\rm \left[-\left(x+1\right)e^{-x}-\frac{ax^2}{2}\right]_0^{-\log a}+\left[-\left(x+1\right)e^{-x}+\frac{ax^2}{2}\right]_{-\log a}^{\sqrt2}\\ &=\rm -a\left(\log a\right)^2+2a\log a-a+\left(\sqrt2+1\right)e^{-\sqrt2}+1\end{align*}$
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm S\ '(a)&=\rm -\left(\log a\right)^2-a\cdot 2\log a\cdot\frac{1}{a}+2\log a+2a\cdot\frac{1}{a}-1\\ &=\rm -\left(\log a\right)^2+1\\ &=\rm -\left(\log a-1\right)\left(\log a+1\right)\end{align*}$

　　(ⅲ) $\rm 1< a$ のとき
　　　　　 $\rm -\log a<0$ なので、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm S(a)&=\rm \int_0^{\sqrt2}\left(-xe^{-x}+ax\right)dx\\ &=\rm a+\left(\sqrt2+1\right)e^{-\sqrt2}-1\end{align*}$
　　　　　　　　 $\rm S\ '(a)=1$

　　　　　　

　　　これらより、S(a)の増減は次のようになる。

　　　

　　　よって、S(a)の最小値は
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm S(a)_{min}&=\rm S\left(e^{-1}\right)\\ &=\rm -e^{-1}-2e^{-1}-e^{-1}+\left(\sqrt2+1\right)e^{-\sqrt2}+1\\ &=\rm \underline{\rm \left(\sqrt2+1\right)e^{-\sqrt2}+1-4e^{-1}}\end{align*}$

　　場合分けが必要です。　　

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2017/03/30(木) 15:11:38|

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2017京都大　理系数学６

第６問

　　nを自然数とする。n個の箱すべてに、1、2、3、4、5の5種類のカードが
　　それぞれ1枚ずつ計5枚入っている。各々の箱から1枚ずつカードを取り
　　出し、取り出した順に左から並べてn桁の数Xを作る。このとき、Xが3で
　　割り切れる確率を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　カードに書かれた数を取り出した順にx₁、x₂、・・・、x_nとし、
　　　　　　　　S_n=x₁+x₂+・・・+x_n
　　　とおくと、Xが3で割り切れるのは、S_nが3で割り切れるときである。
　　　S_nを3で割った余りが0、1、2である確率をそれぞれp_n、q_n、r_nとすると、
　　　p_n+q_n+r_n=1、　p₁= $\rm \frac{1}{5}$ である。

　　　S_n-1が3の倍数のとき
　　　　　　　　x_n=3であれば、S_nは3の倍数となる。
　　　S_n-1を3で割った余りが1のとき
　　　　　　　　x_n=2またはx_n=5であれば、S_nは3の倍数となる。
　　　S_n-1を3で割った余りが2のとき
　　　　　　　　x_n=1またはx_n=4であれば、S_nは3の倍数となる。

　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm p_n&=\rm \frac{1}{5}p_{n-1}+\frac{2}{5}q_{n-1}+\frac{2}{5}r_{n-1}\\ &=\rm \frac{1}{5}p_{n-1}+\frac{2}{5}\left(1-p_{n-1}\right)\\ &=\rm -\frac{1}{5}p_{n-1}+\frac{2}{5}\end{align*}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n-\frac{1}{3}=-\frac{1}{5}\left(p_{n-1}-\frac{1}{3}\right)$
　　　となるので、数列 $\rm \left\{p_{n}-\frac{1}{3}\right\}$ は等比数列をなす。
　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm p_{n}-\frac{1}{3}&=\rm \left(p_{1}-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}\\ &=\rm -\frac{2}{15}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}\end{align*}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=\underline{\rm -\frac{2}{15}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}+\frac{1}{3}}$

　　よくある漸化式を作るパターンです。　　

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2017/03/31(金) 15:11:39|

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