第1問
座標平面において2つの放物線A：y=s(x-1)2とB：y=-x2+t2を考える。
ただしs、tは実数で、0＜s、0＜t＜1をみたすとする。放物線Aとx軸および
y軸で囲まれる領域の面積をP、放物線Bのx≧0の部分とx軸およびy軸で囲
まれた領域の面積をQとする。AとBがただ1点を共有するとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Q}{P}\end{align*}}$ の最大値
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A、B2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s\left(s-1\right)^2=-x^2+t^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s+1\right)x^2-2sx+s-t^2=0\end{align*}}$
AとBがただ1点を共有し、s+1≠0より、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=\sf s^2-\left(s+1\right)\left(s-t^2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{t^2}{1-t^2}\ \ \ \left(\because\ 1-t^2\ne 0\right)\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots (*)\end{align*}}$
放物線A、Bおよびx軸、y軸の位置関係は右図のようになるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P&=\sf \int_0^1s\left(x-1\right)^2dx\\ &=\sf \bigg[\frac{s}{3}\left(x-1\right)^3\bigg]_0^1\\ &=\sf \frac{s}{3}\\ &=\sf \frac{t^2}{3\left(1-t^2\right)}\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q&=\sf \int_0^t\left(-x^2+t^2\right)dx\\ &=\sf \bigg[-\frac{x^3}{3}+t^2x\bigg]_0^t\\ &=\sf \frac{2t^3}{3}\end{align*}}$
これらより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Q}{P}=\sf \frac{\frac{2t^3}{3}}{\frac{t^2}{3\left(1-t^2\right)}}=-2t^3+2t\end{align*}}$
ここで、関数ｆ(t)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)=-2t^3+2t\ \ \left(0\lt t<1\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f '(t)=-6t^2+2\end{align*}}$
となるので、f(t)の増減は次のようになる。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Q}{P}\end{align*}}$ の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{Q}{P}_{max}&=\sf f\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)\\ &=\sf -2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^3+2\cdot\frac{1}{\sqrt3}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{4\sqrt3}{9}}\end{align*}}$
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第２問
1辺の長さが1の正六角形ＡＢＣＤＥＦが与えられている。点Pが辺AB上を、
点Qが辺CD上をそれぞれ独立に動くとき、線分PQを2：1に内分する点Rが
通り得る範囲の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=~\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}=\overrightarrow{\sf AF}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}=2\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf f}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AD}=2\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf f}\end{align*}}$
P、Qはそれぞれ辺AB、CD上を動くので、0＜s＜1、0＜t＜1である
実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=s\overrightarrow{\sf AB}=s\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AQ}&=\sf \left(1-t\right)\overrightarrow{\sf AC}+t\overrightarrow{\sf AD}\\ &=\sf \left(1-t\right)\left(2\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf f}\right)+t\left(2\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf f}\right)\\ &=\sf 2\overrightarrow{\sf b}+\left(1+t\right)\overrightarrow{\sf f}\end{align*}}$
と表すことができる。
Rは線分PQを2：1に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AR}&=\sf \frac{\overrightarrow{\sf AP}+2\overrightarrow{\sf AQ}}{2+1}\\ &=\sf \frac{s\overrightarrow{\sf b}+2\left\{2\overrightarrow{\sf b}+\left(1+t\right)\overrightarrow{\sf f}\right\}}{3}\\ &=\sf \frac{4\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf f}}{3}+\frac{s\overrightarrow{\sf b}+2t\overrightarrow{\sf f}}{3}\\ &=\sf 2\cdot\frac{2\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf f}}{2+1}+\left(s\cdot\frac{\overrightarrow{\sf b}}{3}+t\cdot\frac{2\overrightarrow{\sf f}}{3}\right)\end{align*}}$
ここで、BFを1：2に内分する点をG、AGを1：1に外分する点をSとおき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf ST}=\frac{\overrightarrow{\sf b}}{3}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf SU}=\frac{2\overrightarrow{\sf f}}{3}\end{align*}}$
となる点T、Uを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}=\overrightarrow{\sf AS}+s\overrightarrow{\sf ST}+t\overrightarrow{\sf SU}\ \ \ \ \left(0\lt s<1\ ,\ 0\lt t<1\right)\end{align*}}$
と表すことができるので、点RはST、SUを隣り合う2辺とする平行四辺形の
周および内部を動くことになる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ST=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ SU=\frac{2}{3}AF=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ \angle TSU=120^{\circ}\end{align*}}$
なので、求める面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\sin 120^{\circ}=\underline{\sf \frac{\sqrt3}{9}}\end{align*}}$
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第3問
座標平面上でx座標とy座標がいずれも整数である点を格子点という。
格子点上を次の規則(a)、(b)に従って動く点Pを考える。
(a) 最初に、点Pは原点Oにある。
(b) ある時刻で点Pが格子点(m，n)にあるとき、その1秒後の点Pの
位置は、隣接する格子点(m+1，n)、(m，n+1)、(m-1，n)、(m，n-1)
のいずれかであり、また、これらの点に移動する確率は、それぞれ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ である。
(1) 最初から1秒後の点Pの位置を(s，t)とする。t-s=-1となる確率を求めよ。
(2) 点Pが、最初から6秒後に直線y=x上にある確率を求めよ。
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【解答】
n秒後のPの座標を(xn，yn)とおくと、(x0，y0)=(0，0)
(1)
y0-x0=0であり、
(b)の4つの移動方法
(ア) (m，n) → (m+1，n)
(イ) (m，n) → (m，n+1)
(ウ) (m，n) → (m-1，n)
(エ) (m，n) → (m，n-1)
のうち、y1-x1=-1となるのは、(ア)または(エ)の場合なので、
求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\underline{\sf \frac{1}{2}}\end{align*}}$
(2)
(1)と同様に
(ア)または(エ)の移動によって、yn+1-xn+1=yn-xn-1 となり、
(イ)または(ウ)の移動によって、yn+1-xn+1=yn-xn+1 となる。
6秒後に点Pが直線y=x上にあるのは、y6-x0=0のときなので、
6回の移動のうち、(ア)または(エ)が3回、(イ)または(ウ)が3回であればよい。
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _6C_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\sf \frac{5}{16}}\end{align*}}$
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第4問
p=2+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ とおき、自然数n=1，3，2，･･･に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n\end{align*}}$
と定める。以下の問いに答えよ。ただし、設問(1)は結論のみを書けばよい。
(1) a1、a2の値を求めよ。
(2) n≧2とする。積a1anを、an+1とan-1を用いて表せ。
(3) anは自然数であることを示せ。
(4) an+1とanの最大公約数を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{p}=-\frac{1}{2+\sqrt5}=-\frac{2-\sqrt5}{\left(2+\sqrt5\right)\left(2-\sqrt5\right)}=2-\sqrt5\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\left(2+\sqrt5\right)+\left(2-\sqrt5\right)=\underline{\sf 4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\left(2+\sqrt5\right)^2+\left(2-\sqrt5\right)^2=\left(9+4\sqrt5\right)+\left(9-4\sqrt5\right)=\underline{\sf 18}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1a_n&=\sf \left(p-\frac{1}{p}\right)\left\{p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n\right\}\\ &=\sf p^{n+1}+\left(-\frac{1}{p}\right)^{n+1}-p^{n-1}-\left(-\frac{1}{p}\right)^{n-1}\\ &=\sf \underline{\sf a_{n+1}-a_{n-1}}\end{align*}}$
(3)
すべての自然数nに対して、anが自然数となることw数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1，2のときは(1)より明らか
(ⅱ) 2以上の自然数kに対して、ak-1とakが自然数であると仮定すると、
(2)より
a1ak=ak+1-ak-1 ⇔ ak+1=4ak+ak-1
と変形できるので、ak+1も自然数となる。
以上より、すべての自然数nに対して、anは自然数である。
(4)
(2)より、an+1=4an+an+1 となるので、ユークリッドの互除法より、
an+1とanの最大公約数は、anとan-1の最大公約数と等しい。
このことを繰り返し用いると、an+1とanの最大公約数は、a2とa1の最大公約数
と等しいことになるので、求める最大公約数は2である。
理系との共通問題です。
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