第1問
実数a、bに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf f \left(\theta\right)=\cos 3\theta+a\cos 2\theta+b\cos\theta\end{align*}}$
とし、0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ で定義された関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf g\left(\theta\right)=\frac{f\left(\theta\right)-f\left(0\right)}{\cos\theta-1}\end{align*}}$
を考える。
(1) f($\small\sf{\theta}$ )と $\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$($\small\sf{\theta}$ )をx=cos$\small\sf{\theta}$ の整式で表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$($\small\sf{\theta}$ )が0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ の範囲で最小値0をとるためのa、bについての条件を求めよ。
また、条件をみたす(a，b)が描く図形を座標平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
倍角および3倍角の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(\theta\right)&=\sf \left(4\cos^3\theta-3\cos\theta\right)+a\left(2\cos^2\theta-1\right)+b\cos\theta\\ &=\sf \left(4x^3-3x\right)+a\left(2x^2-1\right)+bx\\ &=\sf \underline{\sf 4x^3+2ax^2+\left(b-3\right)x-a}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(0\right)=1+a+b\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\left(\theta\right)&=\sf \frac{4x^3+2ax^2+\left(b-3\right)x-a-\left(1+a+b\right)}{x-1}\\ &=\sf \frac{4x^3+2ax^2+\left(b-3\right)x-2a-b-1}{x-1}\\ &=\sf \underline{\sf 4x^2+\left(2a+4\right)x+2a+b+1}\end{align*}}$
(2)
0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、-1＜x＜1
(1)で求めた $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$($\scriptsize\sf{\theta}$ )の式をxの関数とみなして
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf G\left(x\right)&=\sf 4x^2+\left(2a+4\right)x+2a+b+1\\ &=\sf 4\left(x+\frac{a+2}{4}\right)^2+\frac{-a^2+4a+4b}{4} \end{align*}}$
とおくと、G(x)が-1＜x＜1の範囲で最小値0をとればよいので、
a、bの満たす条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1<\frac{a+2}{4}<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf -6\lt a<2}\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-a^2+4a+4b}{4}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf b=\frac{1}{4}a^2-a}\end{align*}}$
である。
これらを満たす点(a，b)が描く図形を図示すると下図のようになる。
(1)でg($\scriptsize\sf{\theta}$ )の最後の約分に気づきましょう。
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第2問
座標平面上でx座標とy座標がいずれも整数である点を格子点という。
格子点上を次の規則(a)、(b)に従って動く点Pを考える。
(a) 最初に、点Pは原点Oにある。
(b) ある時刻で点Pが格子点(m，n)にあるとき、その1秒後の点Pの
位置は、隣接する格子点(m+1，n)、(m，n+1)、(m-1，n)、(m，n-1)
のいずれかであり、また、これらの点に移動する確率は、それぞれ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ である。
(1) 点Pが、最初から6秒後に直線y=x上にある確率を求めよ。
(2) 点Pが、最初から6秒後に原点Oにある確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(b)の4つの移動方法
(ア) (m，n) → (m+1，n)
(イ) (m，n) → (m，n+1)
(ウ) (m，n) → (m-1，n)
(エ) (m，n) → (m，n-1)
が6回のうち、それぞれa回、b回、c回、d回起こったとすると、
a+b+c+d=6 ・・・・・・・①
であり、6秒後の点Pの座標は(a-c，b-d)となる。
(1)
点(a-c，b-d)が直線y=x上にあるので、①より
b-d=a-c ⇔ a+d=b+c=3
となる。よって、(ア)または(エ)の移動が3回、(イ)または(ウ)の移動が3回
起こればよいので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _6C_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\sf \frac{5}{16}}\end{align*}}$
(2)
点(a-c，b-d)が原点と一致すればよいので、
a=c かつ b=d
これと①を同時に満たすようなa、b、c、dの値の組(a，b，c，d)は、
次の4通りの場合が考えられる。
(3，0，3，0)、 (0，3，0，3)、 (2，1，2，1)、 (1，2，1，2)
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _6C_3\left(\frac{1}{4}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^3\times 2+\frac{4!}{2!2!}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\times 2=\underline{\sf \frac{25}{256}}\end{align*}}$
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第3問
複素数平面上の原点以外の点zに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{1}{z}\end{align*}}$ とする。
(1) $\small\sf{\alpha}$ を0でない複素数とし、点$\small\sf{\alpha}$ と原点Oを結ぶ線分の垂直二等分線をLとする。
点zが直線L上を動くとき、点wの軌跡は円から1点を除いたものになる。
この円の中心と半径を求めよ。
(2) 1の3乗根のうち、虚部が正であるものを$\small\sf{\beta}$ とする。点$\small\sf{\beta}$ と点$\small\sf{\beta}$ 2を結ぶ線分上を
点zが動くときの点wの軌跡を求め、複素数平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
zは2点0、$\scriptsize\sf{\alpha}$ から等距離にあるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z-\alpha\right|=\left|z\right|\end{align*}}$
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{1}{z}\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\frac{1}{w}\ \ \ \left(w\ne 0\right)\end{align*}}$ ・・・・・・・(*)
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{1}{w}-\alpha\right|=\left|\frac{1}{w}\right|\end{align*}}$
両辺×|w|
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|1-\alpha w\right|=1\end{align*}}$
両辺÷|$\scriptsize\sf{\alpha}$ | (≠0)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|w-\frac{1}{\alpha}\right|=\frac{1}{\left|\alpha\right|}\end{align*}}$
よって、wの軌跡は中心 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\alpha}\end{align*}}$ 、半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\left|\alpha\right|}\end{align*}}$ の円から原点を除いたものとなる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^3=1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=1\ ,\ \frac{-1\pm\sqrt3\ i}{2} \end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta=\frac{-1+\sqrt3\ i}{2}\ \ ,\ \ \beta^2=\left(\frac{-1+\sqrt3\ i}{2}\right)^2=\frac{-1-\sqrt3\ i}{2}\end{align*}}$
よって、zがを動く線分は、右図の青線になる。
これは2点0、-1を結ぶ線分の垂直二等分線
になっているので、
(1)において$\scriptsize\sf{\alpha}$ =-1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|w-\frac{1}{-1}\right|=\frac{1}{\left|-1\right|}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left|w+1\right|=1\end{align*}}$
となり、wは中心-1、半径1の円周上に
あることになる。
一方、zは、原点中心半径1の円(Cとする）の内部にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z\right|\leqq 1\end{align*}}$ であり、これと(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{1}{w}\right|\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq \left|w\right|\end{align*}}$
となるので、wは円Cの外部にある。
以上より、ｗの軌跡は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left|w+1\right|=1\ \ ,\ \ \left|w\right|\geqq 1}\end{align*}}$
で表され、これを図示すると、下図の赤実線のようになる。
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第4問
p=2+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ とおき、自然数n=1，3，2，･･･に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n\end{align*}}$
と定める。以下の問いに答えよ。ただし、設問(1)は結論のみを書けばよい。
(1) a1、a2の値を求めよ。
(2) n≧2とする。積a1anを、an+1とan-1を用いて表せ。
(3) anは自然数であることを示せ。
(4) an+1とanの最大公約数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{p}=-\frac{1}{2+\sqrt5}=-\frac{2-\sqrt5}{\left(2+\sqrt5\right)\left(2-\sqrt5\right)}=2-\sqrt5\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\left(2+\sqrt5\right)+\left(2-\sqrt5\right)=\underline{\sf 4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\left(2+\sqrt5\right)^2+\left(2-\sqrt5\right)^2=\left(9+4\sqrt5\right)+\left(9-4\sqrt5\right)=\underline{\sf 18}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1a_n&=\sf \left(p-\frac{1}{p}\right)\left\{p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n\right\}\\ &=\sf p^{n+1}+\left(-\frac{1}{p}\right)^{n+1}-p^{n-1}-\left(-\frac{1}{p}\right)^{n-1}\\ &=\sf \underline{\sf a_{n+1}-a_{n-1}}\end{align*}}$
(3)
すべての自然数nに対して、anが自然数となることw数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1，2のときは(1)より明らか
(ⅱ) 2以上の自然数kに対して、ak-1とakが自然数であると仮定すると、
(2)より
a1ak=ak+1-ak-1 ⇔ ak+1=4ak+ak-1
と変形できるので、ak+1も自然数となる。
以上より、すべての自然数nに対して、anは自然数である。
(4)
(2)より、an+1=4an+an+1 となるので、ユークリッドの互除法より、
an+1とanの最大公約数は、anとan-1の最大公約数と等しい。
このことを繰り返し用いると、an+1とanの最大公約数は、a2とa1の最大公約数
と等しいことになるので、求める最大公約数は2である。
文系との共通問題です。
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第5問
kを実数とし、座標平面上で次の2つの放物線C、Dの共通接線について
考える。
C： y=x2+k
D： x=y2+k
(1) 直線y=ax+bが共通接線であるとき、aを用いてkとbを表せ。ただし
a≠1とする。
(2) 傾きが2の共通接線が存在するようにkの値を定める。このとき、
共通接線が3本存在することを示し、それらの傾きとy切片を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Cと直線y=ax+bが接するので、2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+k=ax+b\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-ax+k-b=0\end{align*}}$
この二次方程式が重解を持てばよいので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D_1=a^2-4\left(k-b\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{4k-a^2}{4}\end{align*}}$ ・・・・・・・①
Dと直線y=ax+bが接するので、2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\left(ax+b\right)^2+k\ \ \Leftrightarrow\ \ a^2x^2+\left(2ab-1\right)x+b^2+k=0\end{align*}}$
（x軸と平行な直線がDと接することはないので、a≠0）
この二次方程式が重解を持てばよいので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D_2=\left(2ab-1\right)^2-4a^2\left(b^2+k\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{1-4a^2k}{4a}\end{align*}}$ ・・・・・・・②
①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4k-a^2}{4}=\frac{1-4a^2k}{4a}\ \ \Leftrightarrow\ \ 4a\left(a+1\right)k=a^3+1\end{align*}}$ ・・・・・・・③
a≠0，-1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{a^3+1}{4a\left(a+1\right)}=\underline{\sf \frac{a^2-a+1}{4a}}\end{align*}}$ ・・・・・・・④
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{4\cdot\frac{a^2-a+1}{4a}-a^2}{4}=\underline{\sf \frac{-a^3+a^2-a+1}{4a}}\end{align*}}$
(2)
a=2を④に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{2^2-2+1}{4\cdot 2}=\frac{3}{8}\end{align*}}$
このとき、③は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4a\left(a+1\right)\cdot\frac{3}{8}=a^3+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2a^3-3a^2-3a+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a-2\right)\left(2a-1\right)\left(a+1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=2\ ,\ \frac{1}{2}\ ,\ -1\end{align*}}$ ・・・・・・・⑤
また、①は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{4\cdot\frac{3}{8}-a^2}{4}=\frac{3-2a^2}{8}\end{align*}}$
となるので、⑤のそれぞれのaの値に対応するbの値を計算すると、
接線の傾きaと切片bの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(a\ ,\ b\right)=\left(2,-\frac{5}{8}\right)\ ,\ \left(\frac{1}{2},\frac{5}{16}\right)\ ,\ \left(-1,\frac{1}{8}\right)}\end{align*}}$
の3組存在するので、CとD共通接線は3本存在する。
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第6問
点Oを原点とする座標空間内で、一辺の長さが1の正三角形OPQを動かす。
また、点A(1，0，0)に対して、∠AOPを$\small\sf{\theta}$ とおく、ただし0°≦$\small\sf{\theta}$ ≦180°と
する。
(1) 点Qが (0，0，1)にあるとき、点Pのx座標がとりうる値の範囲と、$\small\sf{\theta}$ が
とりうる値の範囲を求めよ。
(2) 点Qが平面x=0上を動くとき、辺OPが通過しうる範囲をKとする。Kの体積
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
OQの中点をM(0，0，$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ) とすると、正三角形OPQにおいてPMは
OQを底辺としたときの高さとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PM=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
∠OMP=90°なので、PはMを中心とし、半径が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ で、xy平面と平行な
円（Cとする）の周上を動く。
Cとzx平面の共有点のうちx座標が正のものをP1、負のものをP2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(\frac{\sqrt3}{2},0,0\right)\ \ ,\ \ P_2\left(-\frac{\sqrt3}{2},0,0\right)\end{align*}}$
なので、点Pのx座標のとり得る値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf -\frac{\sqrt3}{2}\leqq x\leqq \frac{\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
である。
また、$\scriptsize\sf{\theta}$ =∠AOPは、PがP1と一致するとき最小となり、
PがP2と一致するとき最大となるので、$\scriptsize\sf{\theta}$ のとり得る
値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{\pi}{6}\leqq \theta\leqq \frac{5\pi}{6}}\end{align*}}$
(2)
(1)の場合、辺OPは、Oを頂点と、円Cを底面とする円錐の側面全体を
通過することになる（この曲面をSとおく）。
x軸上の点(t，0，0) （0≦t≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ）をTとし、Tを通りx軸に垂直な平面を
$\scriptsize\sf{\alpha}$ とする。平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ と曲面Sとの交線は、双曲線の一部となり（これをHとする）、
Hとzx平面との交点をE、Hと円Cとの交点をF、G、線分FGの中点をDとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf TE=OT\tan\angle AOP_1=\frac{t}{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf DF=DG&=\sf \sqrt{FM^2-DM^2}\\ &=\sf \sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2-t^2}\\ &=\sf \sqrt{\frac{3}{4}-t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf TF=TG&=\sf \sqrt{DF^2+DT^2}\\ &=\sf \sqrt{\left(\frac{3}{4}-t^2\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2}\\ &=\sf \sqrt{1-t^2}\end{align*}}$
立体Kを平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ で切った断面は、双曲線Hをx軸の回りに1回転してできる
図形と等しいので、その面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt{1-t^2}\right)^2\pi-\left(\frac{t}{\sqrt3}\right)^2\pi=\left(1-\frac{4}{3}t^2\right)\pi\end{align*}}$
立体Kはyz平面について対称なので、体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\pi\int_0^{\sqrt3/2}\left(1-\frac{4}{3}t^2\right)dt&=\sf 2\pi\left[t-\frac{4}{9}t^3\right]_0^{\sqrt3/2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{2\sqrt3}{3}\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
図はまた気が向いたときにでもUPしますｗｗｗ
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