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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017東京大 理系 数学1



第1問

  実数a、bに対して
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f \left(\theta\right)=\cos 3\theta+a\cos 2\theta+b\cos\theta\end{align*}}$
  とし、0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ で定義された関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf g\left(\theta\right)=\frac{f\left(\theta\right)-f\left(0\right)}{\cos\theta-1}\end{align*}}$
  を考える。

 (1) f($\small\sf{\theta}$ )と $\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$($\small\sf{\theta}$ )をx=cos$\small\sf{\theta}$ の整式で表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$($\small\sf{\theta}$ )が0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ の範囲で最小値0をとるためのa、bについての条件を求めよ。
    また、条件をみたす(a,b)が描く図形を座標平面上に図示せよ。



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  1. 2018/11/23(金) 02:01:00|
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2017東京大 理系 数学2



第2問

  座標平面上でx座標とy座標がいずれも整数である点を格子点という。
  格子点上を次の規則(a)、(b)に従って動く点Pを考える。
   (a) 最初に、点Pは原点Oにある。
   (b) ある時刻で点Pが格子点(m,n)にあるとき、その1秒後の点Pの
      位置は、隣接する格子点(m+1,n)、(m,n+1)、(m-1,n)、(m,n-1)
      のいずれかであり、また、これらの点に移動する確率は、それぞれ
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ である。

 (1) 点Pが、最初から6秒後に直線y=x上にある確率を求めよ。

 (2) 点Pが、最初から6秒後に原点Oにある確率を求めよ。





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2017東京大 理系 数学3



第3問

  複素数平面上の原点以外の点zに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{1}{z}\end{align*}}$ とする。

 (1) $\small\sf{\alpha}$ を0でない複素数とし、点$\small\sf{\alpha}$ と原点Oを結ぶ線分の垂直二等分線をLとする。
    点zが直線L上を動くとき、点wの軌跡は円から1点を除いたものになる。
    この円の中心と半径を求めよ。

 (2) 1の3乗根のうち、虚部が正であるものを$\small\sf{\beta}$ とする。点$\small\sf{\beta}$ と点$\small\sf{\beta}$ 2を結ぶ線分上を
    点zが動くときの点wの軌跡を求め、複素数平面上に図示せよ。



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2017東京大 理系 数学4



第4問

  p=2+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ とおき、自然数n=1,3,2,・・・に対して
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n\end{align*}}$
  と定める。以下の問いに答えよ。ただし、設問(1)は結論のみを書けばよい。

 (1) a1、a2の値を求めよ。

 (2) n≧2とする。積a1anを、an+1とan-1を用いて表せ。

 (3) anは自然数であることを示せ。

 (4) an+1とanの最大公約数を求めよ。
         



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2017東京大 理系 数学5



第5問

  kを実数とし、座標平面上で次の2つの放物線C、Dの共通接線について
  考える。
      C: y=x2+k
      D: x=y2+k

 (1) 直線y=ax+bが共通接線であるとき、aを用いてkとbを表せ。ただし
    a≠1とする。

 (2) 傾きが2の共通接線が存在するようにkの値を定める。このとき、
    共通接線が3本存在することを示し、それらの傾きとy切片を求めよ。




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2017東京大 理系 数学6



第6問

  点Oを原点とする座標空間内で、一辺の長さが1の正三角形OPQを動かす。
  また、点A(1,0,0)に対して、∠AOPを$\small\sf{\theta}$ とおく、ただし0°≦$\small\sf{\theta}$ ≦180°と
  する。

 (1) 点Qが (0,0,1)にあるとき、点Pのx座標がとりうる値の範囲と、$\small\sf{\theta}$ が
    とりうる値の範囲を求めよ。

 (2) 点Qが平面x=0上を動くとき、辺OPが通過しうる範囲をKとする。Kの体積
    を求めよ。



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