第1問
大吉、吉、凶がそれぞれp、q、1-p-qの確率で出るおみくじがある。
そのおみくじを、大吉を引きあてるまで引き続け、大吉を引きあてた
時点で引くのをやめるとする。
このとき、次の確率をp、q、nを用いて表せ。
(1) n回目に初めて大吉を引いて終了する確率。ただし、n≧1とする。
(2) 少なくとも1度は吉を連続して引くか凶を連続して引いた後、n回目に
初めて大吉を引いて終了する確率。ただし、n≧3とし、n が偶数の
場合と奇数の場合に分けて答えよ。
(3) 吉と凶を引いた回数が同じで、n回目に初めて大吉を引いて終了する
確率。ただし、nは奇数とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
1回目～n-1回目に大吉以外が出て、n回目に大吉が出ればよいので、
その確率をpnとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\sf p\left(1-p\right)^{n-1}}\end{align*}}$
(2)
【nが偶数のとき】
n回目に初めて大吉が出て、1回目～n-1回目に吉も凶も一度も連続しないのは、
次の2つの場合が考えられる
(ア) 吉→凶→吉→凶→･･･→吉→凶→吉→大吉
(吉が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{2}\end{align*}}$ 回、凶が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{2}-1\end{align*}}$ 回、大吉が1回)
(イ) 凶→吉→凶→吉→･･･→凶→吉→凶→大吉
(凶が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{2}\end{align*}}$ 回、吉が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{2}-1\end{align*}}$ 回、大吉が1回)
よって、求める確率は(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf p\left(1-p\right)^n-pq^{\frac{n}{2}}\left(1-p-q\right)^{\frac{n}{2}-1}-pq^{\frac{n}{2}-1}\left(1-p-q\right)^{\frac{n}{2}}}\end{align*}}$
【nが奇数のとき】
n回目に初めて大吉が出て、1回目～n-1回目に吉も凶も一度も連続しないのは、
次の2つの場合が考えられる
(ウ) 吉→凶→吉→凶→･･･→吉→凶→大吉
(エ) 凶→吉→凶→吉→･･･→凶→吉→大吉
(いずれも吉が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-1}{2}\end{align*}}$ 回、凶が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-1}{2}\end{align*}}$ 回、大吉が1回)
よって、求める確率は(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf p\left(1-p\right)^n-2pq^{\frac{n-1}{2}}\left(1-p-q\right)^{\frac{n-1}{2}}}\end{align*}}$
(3)
1回目～n-1回目に、吉と凶が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-1}{2}\end{align*}}$ 回ずつ出て、n回目に大吉が出ればよいので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{\left(n-1\right)!}{\left(\frac{n-1}{2}\right)!\ \left(\frac{n-1}{2}\right)!}\cdot pq^{\frac{n-1}{2}}\left(1-p-q\right)^{\frac{n-1}{2}}}\end{align*}}$
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第2問
預金をすれば、1年後の満期時に預金した金額の5%の利息がつく定期預金
がある。この定期預金にM円を預金し、その1年後、元利合計額にm円を追加
して、再び同じ定期預金に預ける。以降、1年ごとに満期時の元利合計額に
m円を追加して、再び同じ定期預金に預けることを繰り返すものとする。ただし、
金額は実数の値をとるものとし、最初に預金をしたときからn年後に満期を迎
えた直後の元利合計額をan円とする。
(1) anを求めよ。
(2) M=10000、m=500の場合、an≧19500となる最小の自然数nを求めよ。
必要ならばlog102 =0.301･･･、log103 =0.477･･･、
log101.05=0.0211･･･を用いてよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
n年後の満期時
初めのM円はn年間預けたことになるので1.05nM円
1年後に追加したm円は、n-1年間預けたことになるので1.05n-1m円
2年後に追加したm円は、n-2年間預けたことになるので1.05n-2m円
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
n-1年後に追加したm円は、1年間預けたことになるので1.05m円
これらの合計は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf 1.05^nM+\left(1.05m+1.05^2m+\ldots 1.05^{n-1}m\right)\\ &=\sf 1.05^nM+1.05m\cdot\frac{1.05^{n-1}-1}{1.05-1}\\ &=\sf \underline{\sf 1.05^n\left(M+20m\right)-21m}\end{align*}}$
(2)
M=10000、m=500のとき(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=1.05^n\cdot 20000-10500\geqq 19500\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1.05^n\geqq \frac{3}{2}\end{align*}}$
両辺の常用対数をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}1.05^n\geqq \log_{10}\frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n\log_{10}1.05\geqq \log_{10}3-\log_{10}2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n\geqq \frac{\log_{10}3-\log_{10}2}{\log_{10}1.05}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0.301<\log_{10}2<0.302\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0.477<\log_{10}3<0.478\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0.0211<\log_{10}1.05<0.0212\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n>\frac{0.477-0.302}{0.0212}=8.25\ldots\end{align*}}$
これを満たす最小の自然数は、n=9である。
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第3問
平面上に鋭角三角形OABが与えられていて、正の実数x、yに対し、直線OA上に
点Qを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ =x$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ となるようにとり、直線OB上に点Rを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ =y$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ となるようにとる。
また、平面上の点Pは
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf OQ}+\overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$
を満たすとする。さらに、Pを通り、直線OA、OBに垂線を下ろしたときの交点を
それぞれC、Dとする。
(1) OA=a、OB=b、∠AOB=$\small\sf{\theta}$ とおくとき、CQ、DRを、a、b、$\small\sf{\theta}$ 、x、yを用いて表せ。
(2) Pが△OABの外心であるとき、x、yをa、b、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(3) Pが△OABの垂心であるとき、x、yをa、b、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(4) △OABの外心と垂心が一致するとき、△OABは正三角形であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
四角形OQPRは平行四辺形なので、
PR=OQ=xOA=ax
PQ=OR=yOB=by
∠PQC=∠PRD=∠AOB=$\scriptsize\sf{\theta}$
よって、
CQ=PQcos∠PQC=bycos$\scriptsize\sf{\theta}$
DR=PRcos∠PRD=axcos$\scriptsize\sf{\theta}$
(2)
三角形の外心は、各辺の垂直二等分線の交点なので、
C、DはそれぞれOA、OBの中点である。
よって、
OA=2OC=2(OQ+CQ)
⇔ a=2(ax+bycos$\scriptsize\sf{\theta}$ )
OB=2OD=2(OR+DR)
⇔ b=2(by+axcos$\scriptsize\sf{\theta}$ )
これら2式を連立させてx、yを求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x=\frac{a-b\cos\theta}{2a\sin^2\theta}\ \ ,\ \ y=\frac{b-a\cos\theta}{2b\sin^2\theta}}\end{align*}}$
(3)
Pが△OABの垂心であるとき、直線CPは点Bを通ることになるので、
OC=OBcos$\scriptsize\sf{\theta}$ 
⇔ ax+bycos$\scriptsize\sf{\theta}$ =bcos$\scriptsize\sf{\theta}$
同様に、直線PDは点Aを通るので、
by+axcos$\scriptsize\sf{\theta}$ =acos$\scriptsize\sf{\theta}$
これら2式を連立させてx、yを求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x=\frac{\left(b-a\cos\theta\right)\cos\theta}{a\sin^2\theta}\ \ ,\ \ y=\frac{\left(a-b\cos\theta\right)\cos\theta}{b\sin^2\theta}}\end{align*}}$
(4)
△OABの外心と垂心が一致するとき、BCはOAを垂直に二等分する
ことになるので、△BOC≡△BACである。
よって、OB=ABとなる。
同様に、△AOD≡△ABDより、AO=ABとなるので、
△OABは正三角形である。
ベクトルで計算して解けということなんでしょうが、無視して平面幾何で解きました。
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第4問
関数f(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{8}\left|x^2-14x+40\right|+\frac{1}{2}\left|x-6\right|\end{align*}}$
で定める。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{4}x\end{align*}}$ とy=f(x)のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ。
(2) kを0以上の数とするとき、xの方程式f(x)=kxの解の個数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{8}\left|\left(x-4\right)\left(x-10\right)\right|+\frac{1}{2}\left|x-6\right|\end{align*}}$
(1)
(ⅰ) x≦4のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf \frac{1}{8}\left(x^2-14x+40\right)-\frac{1}{2}\left(x-6\right)\\ &=\sf \frac{1}{8}x^2-\frac{9}{4}x+8\\ &=\sf \frac{1}{8}\left(x-9\right)^2-\frac{17}{8}\end{align*}}$
(ⅱ) 4≦x≦6のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf -\frac{1}{8}\left(x^2-14x+40\right)-\frac{1}{2}\left(x-6\right)\\ &=\sf -\frac{1}{8}x^2+\frac{5}{4}x-2\\ &=\sf -\frac{1}{8}\left(x-5\right)^2+\frac{9}{8}\end{align*}}$
(ⅲ) 6≦x≦10のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf -\frac{1}{8}\left(x^2-14x+40\right)+\frac{1}{2}\left(x-6\right)\\ &=\sf -\frac{1}{8}x^2+\frac{9}{4}x-8\\ &=\sf -\frac{1}{8}\left(x-9\right)^2+\frac{17}{8}\end{align*}}$
(ⅳ) 10≦xのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf \frac{1}{8}\left(x^2-14x+40\right)+\frac{1}{2}\left(x-6\right)\\ &=\sf \frac{1}{8}x^2-\frac{5}{4}x+2\\ &=\sf \frac{1}{8}\left(x-5\right)^2-\frac{9}{8}\end{align*}}$
y=f(x)と直線y= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}x\end{align*}}$ （Lとする）との共有点のx座標を求める。
(ⅰ)の範囲
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}x^2-\frac{9}{4}x+8=\frac{1}{4}x\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-4\right)\left(x-16\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\end{align*}}$
(ⅱ)の範囲
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{8}x^2+\frac{5}{4}x-2=\frac{1}{4}x\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-4\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\end{align*}}$
(ⅲ)の範囲
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{8}x^2+\frac{9}{4}x-8=\frac{1}{4}x\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-8\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\end{align*}}$
(ⅳ)の範囲
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}x^2-\frac{5}{4}x+2=\frac{1}{4}x\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-12x+16=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=6+2\sqrt5\end{align*}}$
これらより、y=f(x)と直線Lの位置関係は下図のようになる。
よって、囲まれた部分の面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_4^6\bigg\{\frac{1}{4}x-\left(-\frac{1}{8}x^2+\frac{5}{4}x-2\right)\bigg\}dx+\int_6^{10}\bigg\{\frac{1}{4}x-\left(-\frac{1}{8}x^2+\frac{9}{4}x-8\right)\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\int_{10}^{6+2\sqrt5}\bigg\{\frac{1}{4}x-\left(\frac{1}{8}x^2-\frac{5}{4}x+2\right)\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\int_4^6\left(x-4\right)^2dx+\frac{1}{8}\int_6^{10}\left(x-8\right)^2dx-\frac{1}{8}\int_{10}^{6+2\sqrt5}\left(x^2-12x+16\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\left[\frac{1}{3}\left(x-4\right)^3\right]_4^6+\frac{1}{8}\left[\frac{1}{3}\left(x-8\right)^3\right]_6^{10}-\frac{1}{8}\left[\frac{1}{3}x^3-6x^2+16x\right]_{10}^{6+2\sqrt5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\sf \frac{10\sqrt5-19}{3}}\end{align*}}$
(2)
直線y=kxが点(6，f(6))を通るとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6k=-\frac{1}{8}\cdot 6^2+\frac{5}{4}\cdot 6-2\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{1}{6}\end{align*}}$
直線y=kxが点(10，f(10))を通るとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6k=-\frac{1}{8}\cdot 10^2+\frac{9}{4}\cdot 10-8\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{1}{5}\end{align*}}$
また、(1)より、k= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ のとき、直線y=kxはy=f(x)と2点(4，1)、(8，2)で
接する。
よって、方程式f(x)=kxの実数解の個数は
0≦k＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ のとき0個
k=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ のとき1個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ ＜k＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ のとき2個
k=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ のとき3個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ ＜k＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ のとき4個
k=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ のとき3個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ ＜kのとき2個
図を正確に書きましょう。
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- 2017/03/02(木) 23:57:00|
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