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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008大阪府立大 経済学部 数学1



第1問

  大吉、吉、凶がそれぞれp、q、1-p-qの確率で出るおみくじがある。
  そのおみくじを、大吉を引きあてるまで引き続け、大吉を引きあてた
  時点で引くのをやめるとする。
  このとき、次の確率をp、q、nを用いて表せ。

 (1) n回目に初めて大吉を引いて終了する確率。ただし、n≧1とする。

 (2) 少なくとも1度は吉を連続して引くか凶を連続して引いた後、n回目に
    初めて大吉を引いて終了する確率。ただし、n≧3とし、n が偶数の
    場合と奇数の場合に分けて答えよ。

 (3) 吉と凶を引いた回数が同じで、n回目に初めて大吉を引いて終了する
    確率。ただし、nは奇数とする。




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  1. 2017/02/27(月) 23:57:00|
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2008大阪府立大 経済学部 数学2



第2問

  預金をすれば、1年後の満期時に預金した金額の5%の利息がつく定期預金
  がある。この定期預金にM円を預金し、その1年後、元利合計額にm円を追加
  して、再び同じ定期預金に預ける。以降、1年ごとに満期時の元利合計額に
  m円を追加して、再び同じ定期預金に預けることを繰り返すものとする。ただし、
  金額は実数の値をとるものとし、最初に預金をしたときからn年後に満期を迎
   えた直後の元利合計額をan円とする。

 (1) anを求めよ。

 (2) M=10000、m=500の場合、an≧19500となる最小の自然数nを求めよ。
    必要ならばlog10⁡2 =0.301・・・、log10⁡3 =0.477・・・、
    log10⁡1.05=0.0211・・・を用いてよい。




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  1. 2017/02/28(火) 23:57:00|
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2008大阪府立大 経済学部 数学3



第3問

  平面上に鋭角三角形OABが与えられていて、正の実数x、yに対し、直線OA上に
  点Qを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ =x$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ となるようにとり、直線OB上に点Rを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ =y$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ となるようにとる。
  また、平面上の点Pは
          $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf OQ}+\overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$
  を満たすとする。さらに、Pを通り、直線OA、OBに垂線を下ろしたときの交点を
  それぞれC、Dとする。

 (1) OA=a、OB=b、∠AOB=$\small\sf{\theta}$ とおくとき、CQ、DRを、a、b、$\small\sf{\theta}$ 、x、yを用いて表せ。

 (2) Pが△OABの外心であるとき、x、yをa、b、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (3) Pが△OABの垂心であるとき、x、yをa、b、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (4) △OABの外心と垂心が一致するとき、△OABは正三角形であることを示せ。




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  1. 2017/03/01(水) 23:57:00|
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2008大阪府立大 経済学部 数学4



第4問

  関数f(x)を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{8}\left|x^2-14x+40\right|+\frac{1}{2}\left|x-6\right|\end{align*}}$
  で定める。

 (1)  $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{4}x\end{align*}}$ とy=f(x)のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ。

 (2) kを0以上の数とするとき、xの方程式f(x)=kxの解の個数を求めよ。



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