第1問
数字1が書かれたカードが2枚、数字2が書かれたカードが3枚、数字3が書かれた
カードが4枚ある。これらのカードをよくかきまぜて1枚ずつ順に取りだし、左から
順に並べてできる9桁の自然数をNとする。またNの数字の並びを逆にした自然数
をN’とする。たとえばN=112223333の場合N’=333322211となる。以下の問い
に答えよ。
(1) Nの値は何通りあるか。
(2) Nが偶数となる確率を求めよ。
(3) Nが4の倍数となる確率を求めよ。
(4) N=N’となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9!}{2!3!4!}=\underline{\sf 1260}\end{align*}}$ 通り
(2)
以下、並べた9つの数を左から順にa、b、c、d、e、f、g、h、iとおくと、
Nが偶数になるのは、i=2のときである。
2のカードは9枚のうち3枚あるので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{9}=\underline{\sf \frac{1}{3}}\end{align*}}$
(3)
Nが4の倍数になるのは、下2桁が4の倍数になるときであり、
(ア) h=1かつi=2 のとき
(イ) h=3かつi=2 のとき
の2つの場合がある。
(ア)の場合
1のカードは2枚、2のカードは3枚あるので、2×3=6通り
(イ)の場合
3のカードは4枚、2のカードは3枚あるので、4×3=12通り
また、hおよびiのカードの決め方は9P2=72通りあるので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6+12}{72}=\underline{\sf \frac{1}{4}}\end{align*}}$
(4)
N=N’となるのは、a=iかつb=hかつc=gかつd=fのときである。
まず、2のカードが3枚あるので、e=2である。
a、b、c、dには、1と2が1つずつ、3が2つ並ぶので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4!}{2!}=12\end{align*}}$ 通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{1260}=\underline{\sf \frac{1}{105}}\end{align*}}$
(4)はe=2に気づけば簡単です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/02/23(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2009（経済）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
五角形ABCDEにおいてAB= BC=DE= EA=1、∠A=135°、∠B=∠E=90°
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AE}\end{align*}}$ を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ =$\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ + $\small\sf{\beta}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AE}\end{align*}}$ となる実数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を求めよ。
(3) 実数s、tに対して、点Pを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ =s$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ +t$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AE}\end{align*}}$ により定める。点Pが2点C、Dを
通る直線上にあるためのs、tの条件を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△ABCはAB=BC=1の直角二等辺三角形なので、AC=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=1\cdot\sqrt2\cos 45^{\circ}=\underline{\sf 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AE}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=1\cdot 1\cos 135^{\circ}=\underline{\sf -\frac{\sqrt2}{2}}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}&=\sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\left(\alpha\overrightarrow{\sf AB}+\beta\overrightarrow{\sf AE}\right)\\ &=\sf \alpha\left|\overrightarrow{\sf AB}\right|^2+\beta\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AE}\\ &=\sf \alpha-\frac{\sqrt2}{2}\beta=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha=\frac{\sqrt2}{2}\beta +1\ \ \ \ldots\ldots(i)\end{align*}}$
一方、∠CAE=135-45=90°なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AE}\cdot\overrightarrow{\sf AC}&=\sf \overrightarrow{\sf AE}\cdot\left(\alpha\overrightarrow{\sf AB}+\beta\overrightarrow{\sf AE}\right)\\ &=\sf \alpha\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AE}+\beta\left|\overrightarrow{\sf AE}\right|^2\\ &=\sf -\frac{\sqrt2}{2}\alpha+\beta=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha=\sqrt2\ \beta\ \ \ \ldots\ldots(ii)\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)を連立させてとくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \alpha=2\ ,\ \beta=\sqrt2}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}=2\overrightarrow{\sf AB}+\sqrt2\ \overrightarrow{\sf AE}\end{align*}}$
図の対称性より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=\sqrt2\ \overrightarrow{\sf AB}+2\overrightarrow{\sf AE}\end{align*}}$
ここで、3点C、D、Pが同一直線上にあるので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=k\ \overrightarrow{\sf CD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AP}-\overrightarrow{\sf AC}=k\left(\overrightarrow{\sf AD}-\overrightarrow{\sf AC}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AE}\right)-\left(2\overrightarrow{\sf AB}+\sqrt2\ \overrightarrow{\sf AE}\right)=k\left(\sqrt2\ \overrightarrow{\sf AB}+2 \overrightarrow{\sf AE}\right)-k\left(2\overrightarrow{\sf AB}+\sqrt2\ \overrightarrow{\sf AE}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s-2\right)\overrightarrow{\sf AB}+\left(t-\sqrt2\right)\overrightarrow{\sf AE}=-k\left(2-\sqrt2\right)\overrightarrow{\sf AB}+k\left(2-\sqrt2\right)\overrightarrow{\sf AE}\end{align*}}$
と表すことができる。$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AE}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s-2=-k\left(2-\sqrt2\right)\ \ ,\ \ t-\sqrt2=k\left(2-\sqrt2\right)\end{align*}}$
これらよりkを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s-2=-\left(t-\sqrt2\right) \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf s+t=2+\sqrt2}\end{align*}}$
「図の対称性より」というのは便利な表現ですｗｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/02/24(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2009（経済）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
n=1，2，3，･･･に対して、座標平面上の点Pn(xn，yn)を以下のように
定める。
x1=1
y1=1
xn+1=xn+yn
yn+1=-xn+yn
以下の問いに答えよ．
(1) 点P2、P3、P4の座標を求めよ。
(2) 線分OPnの長さを求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_{n+2}}\end{align*}}$ は直交することを示せ。
(4) 線分 PnPn+2の長さをanとおく。$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_k\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
順次計算していくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_2=x_1+y_1=2\ \ \ \ \ \ y_2=-x_1+y_1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_3=x_2+y_2=2\ \ \ \ \ \ y_3=-x_2+y_2=-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_4=x_3+y_3=0\ \ \ \ \ \ y_4=-x_3+y_3=-4\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf P_2\left(2\ ,\ 0\right)\ \ \ P_3\left(2\ ,\ -2\right)\ \ \ P_4\left(0\ ,\ -4\right)} \end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{1}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP_{n+1}&=\sf \sqrt{\left(x_n+y_n\right)^2+\left(-x_n+y_n\right)^2} \\ &=\sf \sqrt{x_n^{\ 2}+2x_ny_n+y_n^{\ 2}+x_n^{\ 2}-2x_ny_n+y_n^{\ 2}}\\ &=\sf \sqrt{2\left(x_n^{\ 2}+y_n^{\ 2}\right)}\\ &=\sf \sqrt2\ OP_n\end{align*}}$
となるので、OPnは初項$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ 、公比$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ の等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_n=\sqrt2\cdot\left(\sqrt2\right)^{n-1}=\underline{\sf \left(\sqrt2\right)}^n\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{n+2}&=\sf x_{n+1}+y_{n+1}\\ &=\sf \left(x_n+y_n\right)+\left(-x_n+y_n\right)\\ &=\sf 2y_n\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_{n+2}&=\sf -x_{n+1}+y_{n+1}\\ &=\sf -\left(x_n+y_n\right)+\left(-x_n+y_n\right)\\ &=\sf -2x_n\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_{n+2}}=\left(2y_n\ ,\ -2x_n\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}\cdot\overrightarrow{\sf OP_{n+2}}=2x_ny_n-2x_ny_n=0\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_{n+2}}\end{align*}}$ は直交する。
(4)
(3)より△OPnPn+2は直角三角形になるので、三平方の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf P_nP_{n+2}\\ &=\sf \sqrt{OP_n^{\ 2}+OP_{n+2}^{\ 2}}\\ &=\sf \sqrt{\bigg\{\left(\sqrt2\right)^n\bigg\}^2+\bigg\{\left(\sqrt2\right)^{n+2}\bigg\}^2}\ \ \ \ \left(\because\ (2)\right)\\ &=\sf \sqrt{2^n+2^{n+2}}\\ &=\sf \sqrt{5}\cdot\left(\sqrt2\right)^n\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^na_k=&=\sf \sqrt5\sum_{k=1}^n\left(\sqrt2\right)^k\\ &=\sf \sqrt5\cdot\frac{\sqrt2\bigg\{\left(\sqrt2\right)^n-1\bigg\}}{\sqrt2-1}\\ &=\sf \underline{\sf \left(2\sqrt5+\sqrt{10}\right)\bigg\{\left(\sqrt2\right)^n-1\bigg\}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/02/25(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2009（経済）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
kを定数とし、
f(x)=x3+x2-4kx+6k2
$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$(x)=x3+2x-3k
とおく。2つの曲線y=f(x)とy=$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$(x)が相異なる2点で交わっているとき、
これらの曲線で囲まれた部分の面積をS(k)とする。以下の問いに答えよ。
(1) 2つの曲線y=f(x)とy=$\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$(x)が相異なる2点で交わるためのkの条件を
求めよ。
(2) S(k)を求めよ。
(3) S(k)が最大となるkの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3+x^2-4kx+6k^2=x^3+2x-3k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2\left(2k+1\right)x+6k^2+3k=0\end{align*}}$ ･･････(#)
となり、これが異なる2つの実数解を持てばよいので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4= \left(2k+1\right)^2-\left(6k^2+3k\right)= -2k^2+k+1>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2k^2-k-1=\left(2k+1\right)\left(k-1\right)<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf -\frac{1}{2}\lt k<1}\end{align*}}$
(2)
(#)の2解をp、q(p＜q)とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=4k+2\ \ ,\ \ pq=6k^2+3k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q-p&=\sf \sqrt{\left(p+q\right)^2-4pq}\ \ (>0)\\ &=\sf \sqrt{\left(4k+2\right)^2-4\left(6k^2+3k\right)}\\ &=\sf \sqrt{-8k^2+4k+k}\\ &=\sf 2\sqrt{-2k^2+k+1}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(k)&=\sf \bigg|\int_p^q\bigg\{\left(x^3+x^2-4kx+6k^2\right)-\left(x^3+2x-3k\right)\bigg\}dx\bigg|\\ &=\sf \bigg|\int_p^q\bigg\{x^2-2\left(2k+1\right)x+6k^2+3k\bigg\}dx\bigg|\\ &=\sf \bigg|\int_p^q\left(x-p\right)\left(x-q\right)dx\bigg|\\ &=\sf \bigg|-\frac{1}{6}\left(q-p\right)^3\bigg|\\ &=\sf \bigg|-\frac{1}{6}\left(2\sqrt{-2k^2+k+1}\right)^3\bigg|\\ &=\sf \underline{\sf }\frac{4}{3}\left(\sqrt{-2k^2+k+1}\right)^3\end{align*}}$
(4)
(3)のS(k)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(k)=\frac{4}{3}\left(\sqrt{-2\left(k-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{9}{8}}\right)^3\end{align*}}$
と変形できるので、これが最大になるのは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf k=\frac{1}{4}}\end{align*}}$ のときである。
(3) 2曲線の位置関係を調べるのが面倒なので、絶対値を付けて誤魔化しましたｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/02/26(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2009（経済）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
