第1問
コインをn回投げて、表が出た回数kに応じてポイント2kが与えられるゲームを
考える。ただし、コインを投げたとき、表が出る確率を $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。
(1) n=4として、このゲームを1ゲーム行ったとき、8ポイント以上を獲得する確率
を求めよ。
(2) n=4として、このゲームを3ゲーム行ったとき、少なくとも1ゲームは8ポイント
以上を獲得する確率を求めよ。
(3) n=4として、このゲームを3ゲーム行ったとき、獲得するポイントの合計が32
以上となる確率を求めよ。
(4) このゲームを1ゲーム行ったとき、獲得するポイントの期待値をnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
n=4のとき、1ゲームで8ポイント獲得するのはk=3のときであり
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _4C_3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot \frac{1}{2}=\frac{4}{16}\end{align*}}$
また、1ゲームで16ポイント獲得するのはk=4のときであり、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\end{align*}}$
以上より、8ポイント以上獲得する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\underline{\sf \frac{5}{16}}\end{align*}}$
(2)
n=4のとき、3ゲームとも8ポイント未満になる確率は、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-\frac{5}{16}\right)^3=\frac{1331}{4096}\end{align*}}$
余事象を考えると、3ゲームのうち少なくとも1ゲームは8ポイント以上に
なる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1331}{4096}=\underline{\sf \frac{2765}{4096}}\end{align*}}$
(3)
n=4のとき、3ゲームで32ポイント以上を獲得するのは、
次の3つの場合がある。
(ア) 3回とも16ポイント
(イ) 16ポイントが2回、8ポイント以下が1回
(ウ) 16ポイントが1回、8ポイントが2回
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{16}\right)^3+ _3C_2\cdot\left(\frac{1}{16}\right)^2\cdot\frac{15}{16}+ _3C_2\cdot\frac{1}{16}\cdot\left(\frac{4}{16}\right)^2=\underline{\sf \frac{47}{2048}}\end{align*}}$
(4)
表の回数k（0≦k≦n)に対して、ポイント2kが与えられ、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _nC_k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\end{align*}}$
よって、得られるポイントの期待値Eは、二項定理を用いると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf E&=\sf \sum_{k=0}^n\ 2^k\cdot _nC_k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\\ &=\sf \sum_{k=0}^n\ _nC_k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\\ &=\sf \sum_{k=0}^n\ _nC_k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\cdot 1^k\\ &=\sf \left(1+\frac{1}{2}\right)^n\\ &=\sf \underline{\sf \left(\frac{3}{2}\right)^n}\end{align*}}$
と求めることができる。
最後は二項定理を使いますが、思いつきますかね？
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- 2017/02/19(日) 23:57:00|
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第2問
空間の3点A、B、Cは同一直線上にはないものとし、原点をOとする。
空間の点Pの位置ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ が、x+y+z=1を満たす正の実数x、y、
zを用いて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=x\overrightarrow{\sf OA}+y\overrightarrow{\sf OB}+z\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
と表されているとする。
(1) 直線APと直線BCは交わり、その交点をDとすれば、DはBCをz:y
に内分し、PはADを(1-x):xに内分することを示せ。
(2) △PAB、△PBCの面積をそれぞれS1、S2とすれば、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{z}=\frac{S_2}{x}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=x\overrightarrow{\sf OA}+y\overrightarrow{\sf OB}+z\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ ･･････(#)
(1)
x+y+z=1 ･･････(*) およびx、y、z＞0より
0＜x＜1、 0＜y＜1、 0＜z＜1
(#)式の始点をAにすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}-\overrightarrow{\sf AO}=-x\overrightarrow{\sf AO}+y\left(\overrightarrow{\sf AB}-\overrightarrow{\sf AO}\right)+z\left(\overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf AO}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AP}&=\sf \left(1-x-y-z\right)\overrightarrow{\sf AO}+y\overrightarrow{\sf AB}+z\overrightarrow{\sf AC}\\ &=\sf y\overrightarrow{\sf AB}+z\overrightarrow{\sf AC}\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\sf \left(y+z\right)\cdot\frac{y\overrightarrow{\sf AB}+z\overrightarrow{\sf AC}}{y+z}\end{align*}}$
ここで、BCをz:yに内分する点をQとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=\frac{y\overrightarrow{\sf AB}+z\overrightarrow{\sf AC}}{y+z}\end{align*}}$
なので、上式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=\left(y+z\right)\overrightarrow{\sf AQ}=\left(1-x\right)\overrightarrow{\sf AQ}\ \ \ \left(\because\ (*)\right)\end{align*}}$
と変形でき、PはAQを1-x:xに内分する点を表す。
以上より、2直線APはBCはQで交わるので、QとDは一致する。
よって、題意は示された。
(2)
△ABCの面積をSとおくと、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1&=\sf \left(1-x\right)\triangle ABQ\\ &=\sf \left(1-x\right)\cdot\frac{z}{y+z}\triangle ABC\\ &=\sf \frac{\left(1-x\right)z}{y+z}\ S\\ &=\sf zS\ \ \ \left(\because\ x+y+z=1\right)\end{align*}}$
一方、AQ:PQ=1:xなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=x\triangle ABC=xS\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{z}=\frac{S_2}{x}\ \left(=S\right)\end{align*}}$
が成り立つ。
難しくありません。
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- 2017/02/20(月) 23:57:00|
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第3問
数列{an}の初項から第n項までの和をSnで表す。
(1) すべての自然数nに対して、Sn=2an-1を満たす数列{an}の一般項anを
求めよ。
(2) すべての自然数nに対して、Sn=an+n2-1を満たす数列{an}の一般項anを
求めよ。
(3) a1=1、a2=1とし、すべての自然数nに対して、an+2=an+1+anを満たす数列
を{an}とする。このとき、すべての自然数nに対して、Sn=an+2-1および、
Sn＜3anが成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=S_1=2a_1-1\ \ \Leftrightarrow\ \ a_1=1\end{align*}}$
また、自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}&=\sf S_{n+1}-S_n\\ &=\sf \left(2a_{n+1}-1\right)-\left(2a_n-1\right)\\ &=\sf 2a_{n+1}-2a_n \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}=2a_n\end{align*}}$
が成り立つので、数列{an}は、初項a1=1、公比2の等比数列をなす。
よって、一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=1\cdot 2^{n-1}=\underline{\sf 2^{n-1}}\end{align*}}$
(2)
自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}&=\sf S_{n+1}-S_n\\ &=\sf \big\{a_{n+1}+\left(n+1\right)^2-1\big\}-\left(a_n+n^2-1\right)\\ &=\sf a_{n+1}-a_n+2n+1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n}=\underline{\sf 2n+1}\end{align*}}$
(3)【前半】
漸化式an+2=an+1+an･･････(i) はan=an+2-an+1と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf \sum_{k=1}^na_n\\ &=\sf \sum_{k=1}^n\left(a_{k+2}-a_{k+1}\right)\\ &=\sf \left(a_{3}-a_{2}\right)+\left(a_{4}-a_{3}\right)+\left(a_{5}-a_{4}\right)+\ldots \ldots +\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)\\ &=\sf -a_2+a_{n+2}\\ &=\sf \underline{\sf a_{n+2}-1}\end{align*}}$ ･･････(ii)
(3)【後半】
a1=a2=1および(ⅰ)より、任意の自然数nに対してan＞0が成り立つ。
n=1、2のとき、
S1=1＜3=3a1
S2=1+1＜3=3a2
となるので、不等式Sn＜3anが成り立つ。
一方、n≧3のとき、前半の等式と(ⅰ)より
3an-Sn=3an-(an+2-1)
=3an-(an+1+an-1)
=2an-an+1+1
=2an-(an+an-1)+1
=an-an-1+1
=(an-1+an-2)-an-1+1
=an-2+1
＞0
となるので、不等式Sn＜3anが成り立つ。
(3)はいわゆるフィボナッチ数列ってヤツです。
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- 2017/02/21(火) 23:57:00|
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第4問
xy平面上に2直線
L：y=-x+5 m：y=3x-3
が与えられている。曲線Cは、y=x2を平行移動した放物線であり、Lと点Pで
接し、mと点Qで接しているとする。
(1) Cの方程式を求めよ。
(2) PとQの座標を求めよ。
(3) CとL、mで囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C：y=x2+ax+bとおく。
CとLを連立させると、
x2+ax+b=-x+5 ⇔ x2+(a+1)x+b-5=0 ･･････(ⅰ)
これが重解を持てばよいので、判別式を考えると、
D1=(a+1)2-4(b-5)=0
⇔ 4b=a2+2a+21 ･･････(ⅱ)
一方、Cとmを連立させると、
x2+ax+b=3x-3 ⇔ x2+(a-3)x+b+3=0 ･･････(ⅲ)
これが重解を持てばよいので、判別式を考えると、
D2=(a-3)2-4(b+3)=0
⇔ 4b=a2-6a-3 ･･････(ⅳ)
(ⅱ)、(ⅳ)より、
a2+2a+21=a2-6a-3 ⇔ a=-3、b=6
となるので、Cの方程式は、
y=x2-3x+6
となる。
(2)
(1)より
(ⅰ) ⇔ x2-2x+1=(x-1)2=0 ⇔ x=1
(ⅱ) ⇔ x2-6x+9=(x-3)2=0 ⇔ x=3
なので、接点P、Qの座標は、
P(1，4)、 Q(3，6)
(3)
Lとmの交点のx座標は
-x+5=3x-3 ⇔ x=2
よって、求める面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_1^2\big\{\left(x^2-3x+6\right)-\left(-x+5\right)\big\}dx+\int_2^3\big\{\left(x^2-3x+6\right)-\left(3x-3\right)\big\}dx\\ &=\sf \int_1^2\left(x-1\right)^2dx+\int_2^3\left(x-3\right)^2dx\\ &=\sf \left[\frac{1}{3}\left(x-1\right)^3\right]_1^2+\left[\frac{1}{3}\left(x-3\right)^3\right]_2^3\\ &=\sf \underline{\sf \frac{2}{3}}\end{align*}}$
これも難しくないです。
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- 2017/02/22(水) 23:57:00|
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