第１問
xy平面において、放物線 y=-x2+6xとx軸で囲まれた図形に含まれ、
(a，0)と(a，-a2+6a)を結ぶ線分を一辺とする長方形を考える。ただし、
0＜a＜3とする。このような長方形の面積の最大値をS(a)とする。
(１) S(a)をaの式で表せ。
(２) S(a)の値が最大となるaを求め、関数S(a)のグラフをかけ。
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【解答】
(１)
与えられた放物線をCとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=-\left(x-3\right)^2+9\end{align*}}$
と変形できるので、Cは直線x=3について対称である。
よって、長方形の面積の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(a)&=\sf 2\left(3-a\right)\left(-a^2+6a\right)\\ &=\sf \underline{\sf 2a^3-18a^2+36a}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\ '(a)&=\sf 6a^2-36a+36\\ &=\sf 6\left(a^2-6a+6\right)\end{align*}}$
となるので、S(a)の増減は次のようになる。
よって、S(a)が最大となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a=3-\sqrt3}\end{align*}}$ のときであり、
S(a)のグラフは下図のようになる。
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第２問
aを定数とする。xy平面上の点の集合X(a)、Lを次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf X(a)=\left\{\left(x,y\right)\bigg|\ \left(x-a\right)^2+y^2\leqq\frac{\left(a+1\right)^2}{4}\right\}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf L=\left\{\left(x,y\right)\bigg|\ y=x-1\right\}\end{align*}}$
(１) X(a)∩L=$\small\sf{\varnothing}$ となるようなaの値の範囲を求めよ。
（ただし、$\small\sf{\varnothing}$ は空集合を表す。）
(２) いかなる実数aに対してもP∉X(a)となるような点Pの集合を求め、
xy平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
X(a)は、中心(a，0)、半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|a+1\right|}{2}\end{align*}}$ の円（Cとする）の内部および
周を表し、Lは直線y=x-1を表す。
よって、Lが円Cと共有点をもたなければよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|a-0-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}>\frac{\left|a+1\right|}{2}\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a^2-2a+1}{2}>\frac{a^2+2a+1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-6a+1>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf a<3-2\sqrt2\ ,\ 3+2\sqrt2\lt a}\end{align*}}$
(２)
P(X，Y)とおくと、点Pが円Cの外部にあればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(X-a\right)^2+Y^2>\frac{\left(a+1\right)^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3a^2-2\left(4X+1\right)a+4X^2+4Y^2-1>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3\left(X-\frac{4X+1}{3}\right)^2-\frac{4}{3}X^2+4Y^2-\frac{8}{3}X-\frac{4}{3}>0\end{align*}}$
これが任意のaに対して成り立てばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{4}{3}X^2+4Y^2-\frac{8}{3}X-\frac{4}{3}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+2X+1-3Y^2<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X+1\right)^2-3Y^2<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X-\sqrt3\ Y+1\right)\left(X+\sqrt3\ Y+1\right)<0\end{align*}}$
これを満たす点Pの存在範囲は下図のようになる。
（境界線上の点は含まない）
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第３問
kを実数とし、a1=0、a2=1、an+2=kan+1−an （n=1，2，3，…）で数列{an}を
定める。
(１) k=2のとき、一般項anを求めよ。
(２) すべてのnについてan+2−$\small\sf{\beta}$ an+1=$\small\sf{\alpha}$ (an+1−$\small\sf{\beta}$ an)を満たす$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ に対して、
$\small\sf{\alpha}$ +$\small\sf{\beta}$ =k、$\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\beta}$ =1が成り立つことを示せ。
(３) (２)において、異なる実数$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ が存在するためのkの条件を求め、そのときの
$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}=ka_{n+1}-a_n\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$ ……(*)
(１)
k=2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n\end{align*}}$
これがn=1，2，3，…に対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-a_n=a_{n}-a_{n-1}=\ldots\ldots =a_2-a_1=1\end{align*}}$
よって、数列{an}は、初項0、公差1の等差数列をなすので、一般項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a_n=n-1}\end{align*}}$
となる。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}-\beta\ a_{n+1}=\alpha\left(a_{n+1}-\beta\ a_{n}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+2}=\left(\alpha +\beta\right)a_{n+1}-\alpha\beta\ a_{n}\end{align*}}$
これと(*)を係数比較すると、 $\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =k、$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =1が成り立つ。
(３)
(２)のとき、解と係数の関係より、$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ は、tについての方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-kt+1=0\end{align*}}$ ……(#)
の2解となる。これが実数解をもてばよいので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=k^2-4> 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf k< -2\ ,\ 2< k}\end{align*}}$
このとき(#)を解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \alpha =\frac{k\pm\sqrt{k^2-4}}{2}\ \ ,\ \ \beta=\frac{k\mp\sqrt{k^2-4}}{2}}\end{align*}}$ (複号同順)
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第４問
1から6までの目が等しい確率で出るさいころを4回投げる試行を考える。
(１) 出る目の最小値が1である確率を求めよ。
(２) 出る目の最小値が1で、かつ最大値が6である確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
余事象は
「最小値が２以上である」すなわち、「4回とも2以上の目が出る」こと
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4=\underline{\sf \frac{671}{1296}}\end{align*}}$
(２)
余事象は
「最小値が2以上、または最大値が5以下である」
・最小値が2以上である確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{5}{6}\right)^4\end{align*}}$
・最大値が5以下である確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{5}{6}\right)^4\end{align*}}$
・最小値が2以上、かつ最大値が5以下である確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\right)^4\end{align*}}$
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^4+\left(\frac{5}{6}\right)^4-\left(\frac{4}{6}\right)^4\right\}=\underline{\sf \frac{151}{648}}\end{align*}}$
余事象を考えれば簡単です。
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