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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008北海道大 理系数学1



第1問

  $\small\sf{\alpha,\ \beta}$ を$\small\sf{0\lt\alpha\lt\beta\lt 2}$ を満たす実数とし、0≦x≦2の範囲で定義された関数f(x)を
         $\small\sf{f(x)=\left|(x-\alpha)(x-\beta)\right|}$
  とする。

 (1) f(x)の最大値をMとする。f(x)=Mとなるxがちょうど3つあるとき、実数$\small\sf{\alpha,\ \beta}$ と
    Mの値を求めよ。

 (2) (1)で求めた$\small\sf{\alpha,\ \beta}$ について、f(x)−mx=0が異なる3つの解をもつような実数m
    の値の範囲を求めよ。




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  1. 2018/09/18(火) 23:57:00|
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2008北海道大 理系数学2



第2問

  nを自然数とし、2次正方行列$\small\sf{A=\begin{pmatrix} \sf 2 &\sf 1 \\ \sf 1 &\sf 2 \end{pmatrix}}$ に対して、Aのn乗を $\small\sf{A^n=\begin{pmatrix} \sf a_n &\sf b_n \\ \sf c_n &\sf d_n \end{pmatrix}}$ と表す。

 (1) an=dnとbn=cnを示せ。

 (2) nが奇数ならばanは偶数であること、および、nが偶数ならばanは奇数であることを示せ。





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  1. 2018/09/19(水) 23:57:00|
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2008北海道大 理系数学3



第3問

  関数f(x)を
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f(X)=\frac{3x^2}{2x^2+1}\end{align*}}$
  とする。

 (1) 0<x<1ならば、0<f(x)<1となることを示せ。

 (2) f(x)−x=0 となるxをすべて求めよ。

 (3) 0<$\small\sf{\alpha}$ <1とし、数列{an} を
      $\small\sf{a_1=\alpha\ ,\ \ a_{n+1}=f(a_n)\ \ \ (n=1,2,\cdots)}$
    とする。$\small\sf{\alpha}$ の値に応じて、$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\end{align*}}$ を求めよ。






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  1. 2018/09/20(木) 23:57:00|
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2008北海道大 理系数学4



第4問

  xyz空間の原点Oと、Oを中心とし半径1の球面上の異なる4点A、B、C、Dを考える。
  点$\small\sf{\begin{align*}\sf A\left(\cos\frac{\alpha}{2},\sin\frac{\alpha}{2},0\right)\ ,\ B\left(\cos\left(-\frac{\alpha}{2}\right),\sin\left(-\frac{\alpha}{2}\right),0\right)\ \ \ \left(0\lt\alpha\lt \pi\right)\end{align*}}$ とする。点C、Dは
  ∠COA=∠COB=∠DOA=∠DOBを満たし、点Cのz座標は正、点Dのz座標は負と
  する。

 (1) 点Cの座標を$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\theta=\angle COA\ \ (0\lt\theta\lt\pi)}$ で表せ。

 (2) ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA},\overrightarrow{\sf OB},\overrightarrow{\sf OC},\overrightarrow{\sf OD}}$ の相異なる2つのベクトルのなす角がすべて等しいとき、
    点Cの座標を求めよ。





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  1. 2018/09/21(金) 23:57:00|
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2008北海道大 理系数学5



第5問

  関数f(x)と$\small\sf{g(x)}$ を0≦x≦1の範囲で定義された連続関数とする。

 (1) 
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\int_0^1e^{x+t}f(t)\ dt\end{align*}}$
    を満たすf(x)は定数関数f(x)=0のみであることを示せ。

 (2) 
        $\small\sf{\begin{align*}\sf g(x)=\int_0^1e^{x+t}g(t)\ dt+x\end{align*}}$
    を満たす$\small\sf{g(x)}$ を求めよ。



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  1. 2018/09/22(土) 23:57:00|
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