ア 5 イ 6 ウ 2 エ 2 オ 1
カ 2 キ 3 ク 2 ケ 2 コ 1
サ 2 シ 1 ス 2 セ 1 ソ 3
タ 1 チ 5 ツ 1 テ 2 ト 1
ナ 2 ニ 1 ヌ 4 ネ 1 ノ 4
ハ 5 ヒ 0 フ 7 ヘ 1 ホ 0
【解説】
第n群にn個の分数が含まれるように群に分ける。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\bigg| \frac{1}{3},\ \frac{2}{3}\bigg| \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4}\bigg| \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5}\bigg| \frac{1}{6},\cdots\end{align*}}$
アイ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1+2+3+4+5=15\end{align*}}$
より、a15は第5群の末項なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{15}=\underline{\frac{5}{6}}\end{align*}}$
ウエ
分母に初めて8が現れるのは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{8}\end{align*}}$ であり、これは第7群の初項である。
第6群の末項は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1+2+3+4+5+6=21\end{align*}}$ 番目の項なので、
分母に初めて8が現れるのはa22である。
オ~ケ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{k}\end{align*}}$ が初めて現れるのは、第$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k-1\end{align*}}$ 群の初項なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M_k&=\sf \left\{1+2+\cdots +(k-2)\right\}+1 \\ &=\sf \frac{1}{2}(k-1)(k-2)+1\\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}k^2-\frac{3}{2}k+2}\end{align*}}$
コ~ス
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{k-1}{k}\end{align*}}$ が初めて現れるのは、第$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k-1\end{align*}}$ 群の末項なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N_k&=\sf 1+2+\cdots +(k-1) \\ &=\sf \frac{1}{2}k(k-1)\\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}k^2-\frac{1}{2}k}\end{align*}}$
セ~チ
a104が第k群に属するとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N_{k-1}\lt 104\leqq N_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}(k-1)(k-2)\lt 104\leqq\frac{1}{2}k(k-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (k-1)(k-2)\lt 208\leqq k(k-1)\end{align*}}$
となり、これを満たす整数はk=15である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N_{15}=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 14=105\end{align*}}$
なので、a104は第15群の13番目の項である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{104}=\underline{\frac{13}{15}}\end{align*}}$
ツ~ナ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{k}+\frac{2}{k}+\cdots \frac{k-1}{k}&=\sf \frac{1}{k}\cdot \frac{1}{2}k(k-1) \\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
ニ~ノ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^k\left(\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}\right)&=\sf \frac{1}{4}k(k+1)-\frac{1}{2}k \\ &=\sf \underline{\frac{1}{4}k^2-\frac{1}{4}k}\end{align*}}$
ハ~ホ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{103}a_n&=\sf\sum_{n=1}^{105}a_n-a_{105}-a_{104} \\ &=\sf \frac{1}{4}\cdot 15^2-\frac{1}{4}\cdot 15-\frac{14}{15}-\frac{13}{15}\\ &=\sf \underline{\frac{507}{10}}\end{align*}}$