第1問
次の問いに答えよ。
(1) 不等式102x≦106-xを満たす実数 x の範囲を求めよ。
(2) 102x≦y≦105xとy≦106-xを同時に満たす整数の組(x，y)の個数を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
底10＞1より
$\scriptsize\sf{\sf 2x\leqq 6-x\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{x\leqq 2}}$
(2)
与えられた不等式の両辺に対して、底10の対数をとると、
$\scriptsize\sf{\sf 2x\leqq \log_{10}y\leqq 5x\ \ ,\ \ \log_{10}y\leqq 6-x}$
$\scriptsize\sf{\sf Y=\log_{10}y}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\sf 2x\leqq Y\leqq 5x\ \ ,\ \ Y\leqq 6-x}$
となり、これらを満たす点(x，Y)の存在範囲を図示すると、
右図のようになる。
xは整数なので、x=0、1、2
(ⅰ)x=0のとき
条件を満たすYおよびyの値は、
Y=0 ⇔ y=1
よって、整数(x，y)の組は1個
(ⅱ)x=1のとき
条件を満たすYおよびyの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\sf 2\leqq Y\leqq 5\ \ \Leftrightarrow\ \ 10^2\leqq y\leqq 10^5}$
よって、整数(x，y)の組は、
$\scriptsize\sf{\sf 10^5-10^2+1=99901}$
(ⅲ)x=2のとき
条件を満たすYおよびyの値は、
$\scriptsize\sf{\sf Y=4\ \ \Leftrightarrow\ \ y=10^4}$
よって、整数(x，y)の組は1個
以上より、条件を満たす整数(x，y)の組は、
$\scriptsize\sf{\sf 1+99901+1=\underline{99903}}$ 個
比較的に易しめですね。
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- 2012/01/31(火) 23:57:00|
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第2問
$\small\sf{\sf f(x)=2x^3+x^2-3}$ とおく。
(1) 関数f(x)の増減表を作り、y=f(x)のグラフの概形を描け。
(2) 直線y=mxが曲線y=f(x)と相異なる3点で交わるような実数mの
範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=6x^2+2x=2x(3x+1)}$
増減表を書くと、下の通り。
これより、グラフは右図1のようになる。
(2)
曲線y=f(x)の接線のうち、原点Oを通るものをLとする。
点(t，f(t))における接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\sf y-(2t^3+t^2-3)=(6t^2+2t)(x-t)}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=(6t^2+2t)x-4t^3-t^2-3}$
これが原点を通るので、
$\scriptsize\sf{\sf -4t^3-t^2-3=0}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (t+1)(4t^2-3t+3)=0}$ ･････①
ここで、$\scriptsize\sf{\sf 4t^2-3t+3=0}$ の判別式Dは
$\scriptsize\sf{\sf D=9-12\lt 0}$
となるので、①の実数解は、$\scriptsize\sf{\sf t=-1}$ のみである。
よって、Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\sf y=4x}$
図2より、直線y=mxと曲線y=f(x)が異なる3点で
交わるのは、y=mxの傾きがLよりも急なときである。
よって、求める条件は
$\scriptsize\sf{\sf \underline{m\gt 4}}$
グラフから考えていくと楽です。
下手に交点を求めようとして、
$\scriptsize\sf{\sf 2x^3+x^2-3=mx}$
の方程式で議論しようとすると、泥沼にはまってしまいます。
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- 2012/02/01(水) 23:57:00|
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第3問
数列{an}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=1\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
で定め、数列{bn}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf b_1=a_1 a_2\ \ ,\ \ b_{n+1}-b_{n}=a_{n+1\ } a_{n+2}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
で定める。
(1) 一般項anをnを用いて表せ。
(2) 一般項bnをnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
数列{cn}を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\frac{1}{a_n}\end{align*}}$ ･･････①
と定義すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_1=\frac{1}{a_1}=3\ \ ,\ \ c_{n+1}-c_n=1\end{align*}}$
となるので、{cn}は初項3、公差1の等差数列になる。
その一般項は、
cn=3+1･(n－1)
=n+2
よって、①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{c_n}=\underline{\ \frac{1}{n+2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{1}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=a_1\ a_2=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}-b_{n}=a_{n+1\ } a_{n+2}=\frac{1}{n+3}\cdot \frac{1}{n+4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}+\frac{1}{n+4}=b_{n}+\frac{1}{n+3}\end{align*}}$
ここで、{ｄn}を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_{n}=b_{n}+\frac{1}{n+3}\end{align*}}$ ･････②
と定義すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_{1}=b_{1}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ d_{n+1}=d_n\end{align*}}$
となるので、{ｄn}は一定値となる数列である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_{n}=\frac{1}{3}\ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
よって、②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n}=d_{n}-\frac{1}{n+3}=\underline{\ \frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}\ \ }\end{align*}}$
少し丁寧に書きすぎた感もありますが、まぁこれも難しくないと思います。
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- 2012/02/02(木) 23:57:00|
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