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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016浜松医科大 数学1



第1問

  自然数nのすべての正の約数の和を表す関数をf(n)、正の約数の
  個数を表す関数をとおく。ただし、1およびnもnの正の約数で
  ありf(1)= =1とする。例えば、n=12のとき、nの正の約数は
  1,2,3,4,6,12なので
     f(12)=1+2+3+4+6+12=28、 = 6
  である。以下の問いに答えよ。

 (1) f(24)、 の値を求めよ。

 (2) の値が奇数となるnは、ある自然数の平方であることを証明
    せよ。

 以下の問題では、nは偶数とする。

 (3) mを正の整数とし、n=2m-1(2m-1)とおく。このとき,2m-1が素数
    ならばf(n)=2nとなることを証明せよ。

 (4) 平方数ではない偶数nがf(n)=2nを満たしているとする。このとき、
    nのすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを
    示し、その数を求めよ。



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  1. 2016/06/06(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .浜松医科大  2016
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2016浜松医科大 数学2



第2問

  rを1<r<3 を満たす実数、kを|r-2|<k<1を満たす実数とする。
  また、次の関数f(x)を考える。
           f(x)=rx(1-x)
  以下の問いに答えよ。

 (1) f(x)=xを満たすxを求めよ。

 以下の問題では、(1)で求めたxのうちで正のものをxrとする。

 (2) 次の条件
      |x-xr|<aを満たすすべてのxについて|f’(x)|<k
    が成り立つような正の実数aが存在することを証明せよ。

 (3) (2)のaに対して、数列{xn}を
      |x-xr|<a、 xn+1=f(xn)  (n=1,2,3,・・・)
    により定める。

  (a) すべての自然数nについて|xn-xr|<aであることを証明せよ。
  (b) を証明せよ。



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  1. 2016/06/07(火) 23:57:00|
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2016浜松医科大 数学3



第3問

  以下の問いに答えよ。なお、必要であれば以下の極限値をの公式を
  用いてもよい。
         

 (1) 方程式2x=x2 (x>0)の実数解の個数を求めよ。

 (2) aを正の実数とし、xについての方程式ax=xa (x>0)を考える。
   (a) 方程式 ax=xa (x>0)の実数解の個数を求めよ。
   (b) 方程式 ax=xa (x>0)でa、xがともに正の整数となるa、xの
      組(a,x)をすべて求めよ。ただしa≠xとする。




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  1. 2016/06/08(水) 23:57:00|
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2016浜松医科大 数学4



第4問

  2枚のコインがあり、1枚はそれぞれ確率 で表、裏が出る真のコイン、
  もう1枚は確率 で表、確率 で裏が出る偽のコインとする。
  以下の問いに答えよ。

 (1) 真のコインを7回投げたとき3回連続して表が出る確率を求めよ。

 (2) 偽のコインを25回投げたとき表が出る回数がk回である確率をp(k)
    とする。p(k)が最大となる整数kを求めよ。

 (3) 以下の実験を考える。
    [実験A]
     2枚のコインのうち1枚を無作為に選んだ後で、以下を繰り返す。
     今持っているコインを投げて表ならそのコインを引き続き持ち、
     裏ならもう1つのコインを持つ。

    nを自然数とする。実験Aにおいて、コインをn回投げたとき、n回目が
    表であるか、n回目に投げたコインが真のコインであるかのどちらか
    が生じる確率をnの式で表せ。
         



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  1. 2016/06/09(木) 23:57:00|
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