第１問
次の問いに答えよ。
(１) 空間内の3点A(0，1，3)、B(-1，3，2)、C(1，2，-1)とする。
この3点を通る平面上にD(a，b，-1)があるとき、aとbの関係式
を求めよ。
(２) 数列{an}は
a１=a ＞0、 an+1=16an3 （n=1，2，・・・）
をみたすものとする。
(ⅰ) 数列{bn}をbn=log2anとするとき、{bn}の一般項をaとnを用い
て表せ。
(ⅱ) 数列{an}の一般項をaとnを用いて表せ。
(ⅲ) すべてのnについてan=aをみたすようなaの値を求めよ。
(３) 複素数平面上において、等式2|z-4|=3|z-3i|をみたす点zはどの
ような図形を表すか。ただし、iは虚数単位とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
点Dが平面ABC上にあるので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a,b-1,-4\right)=s\left(-1,2,-1\right)+t\left(1,1,-4\right)\end{align*}}$
両辺の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-s+t\end{align*}}$ ･･････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b-1=2s+t\end{align*}}$ ･･････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -4=-s-4t\end{align*}}$ ･･････③
①、②を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{-a+b-1}{3}\ ,\ t=\frac{2a+b-1}{3}\end{align*}}$
これらを③に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -4=-\frac{-a+b-1}{3}-4\cdot\frac{2a+b-1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 7a+5b=17}\end{align*}}$
(２)(ⅰ)
a1＞0よりa2＞0であり、以下も帰納的にan＞0である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=16a_n^{\ 3}\end{align*}}$ の両辺の対数（底2）をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_2a_{n+1}=\log_216a_{n}^{\ 3}=4+3\log_2a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=4+3b_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}+2=3\left(b_n+2\right)\end{align*}}$
数列{bn+2}は等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n+2&=\sf 3^{n-1}\left(b_1+2\right)\\ &=\sf 3^{n-1}\left(\log_2a+2\right)\\ &=\sf 3^{n-1}\log_24a\\ &=\sf \log_2\left(4a\right)^{3^{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\underline{\sf \log_2\left(4a\right)^{3^{n-1}}-2}\end{align*}}$
(２)(ⅱ)
(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=2^{b_n}=2^{\log_2\left(4a\right)^{3^{n-1}}-2}=\underline{\sf \frac{\left(4a\right)^{3^{n-1}}}{4}}\end{align*}}$
(２)(ⅲ)
すべてのnについてan=aをみたすので、与えられた漸化式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=16a^3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a\left(4a-1\right)\left(4a+1\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=0\ ,\ \pm\frac{1}{4} \end{align*}}$
a＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a=\frac{1}{4}}\end{align*}}$
(３)
与式の両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\left|z-4\right|^2=9\left|z-3i\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(z-4\right)\left(\overline{z}-4\right)=9\left(z-3i\right)\left(\overline{z}+3i\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4z\overline{z}-16z-16\overline{z}+64=9z\overline{z}+27iz-27i\overline{z}+81\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z\overline{z}+\frac{16+27i}{5}z+\frac{19-27i}{5}\overline{z}+\frac{17}{5}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(z+\frac{16-27i}{5}\right)\left(\overline{z}+\frac{16+27i}{5}\right)=36\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|z+\frac{16-27i}{5}\right|^2=6^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|z+\frac{16-27i}{5}\right|=6\end{align*}}$
となるので、zは点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{16-27i}{5}\end{align*}}$ を中心とする半径6の円を表す。
(３)は、いわゆるアポロニウスの円ってヤツですね。
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第２問
原点Oの座標平面上で点A(a，0)が与えられている。ただし0＜a＜1とする。
また、点Pは曲線x2+y2=1 （y＞0）上を以下の条件をみたしながら動くもの
とする。
(条件) 三角形OAPの外心Qはx2+y2≦1をみたす領域内にある。
点Qのy座標をqとする。このとき、以下の各問に答えよ。
(１) qの取りうる範囲をaを用いて表せ。
(２) qが最大となるときの点Pの座標をaを用いて表せ。
(３)点Pが条件をみたしながら動くとき、三角形OAPが通過する領域の面積を
aを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
△OAPの外心Qは線分OAの垂直二等分線上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(\frac{a}{2}\ ,\ q\right)\end{align*}}$ と表せ、これが領域x2+y2≦1内にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{a}{2}\right)^2+q^2\leqq 1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf q^2\leqq\frac{4-a^2}{4}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}\leqq q\leqq\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
一方、点Pは半円x2+y2=1 （y＞0）上の点なので、
変数$\scriptsize\sf{\theta}$ （0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ ）を用いて、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\cos\theta\ ,\ \sin\theta\right)\end{align*}}$ と表すことができる。
Qは△OAPの外心なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OQ=PQ&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(\frac{a}{2}\right)^2+q^2=\left(\frac{a}{2}-\cos\theta\right)^2+\left(q-\sin\theta\right)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0=a\cos\theta+\cos^2\theta-2q\sin\theta+\sin^2\theta\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf q=\frac{1-a\sin\theta}{2\sin\theta}\end{align*}}$
qを$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dq}{d\theta}&=\sf \frac{a\sin\theta\cdot\sin\theta-\left(1-a\cos\theta\right)\cos\theta}{2\sin^2\theta}\\ &=\sf \frac{a-\cos\theta}{2\sin^2\theta}\end{align*}}$
0＜a＜1より、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =aとなる$\scriptsize\sf{\theta}$ が0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ にただ1つ
存在するので、その値を$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、qの増減は次のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\alpha=a\ ,\ \sin\alpha=\sqrt{1-a^2}\ (>0)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q&\geqq\sf q_{min}\\ &=\sf \frac{1-a\cos\alpha}{2\sin\alpha}\\ &=\sf \frac{1-a^2}{2\sqrt{1-a^2}}\\ &=\sf \frac{\sqrt{1-a^2}}{2}\end{align*}}$
これと(ⅰ)より、qの取りうる値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{\sqrt{1-a^2}}{2}\leqq q\leqq\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}}\end{align*}}$
(２)
(１)よりqが最大になるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\frac{1-a\cos\theta}{2\sin\theta}=\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{4-a^2}\sin\theta+a\cos\theta=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\sqrt{4-a^2}}{2}\sin\theta+\frac{a}{2}\cos\theta=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\left(\theta-\beta\right)=\frac{1}{2}\ \ \ \left(\sin\beta=\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}\ ,\ \cos\beta=\frac{a}{2}\ ,\ 0<\beta <\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \theta-\beta=\pm\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \theta =\beta\pm\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
なので、この$\scriptsize\sf{\theta}$ に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\theta&=\sf \cos\left(\beta \pm\frac{\pi}{3}\right)\\ &=\sf \cos\beta\cos\frac{\pi}{3}\mp\sin\beta\sin\frac{\pi}{3}\\ &=\sf \frac{a}{2}\cdot\frac{1}{2}\mp\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=\sf \frac{a\mp\sqrt{3\left(4-a^2\right)}}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\theta&=\sf \sin\left(\beta \pm\frac{\pi}{3}\right)\\ &=\sf \sin\beta\cos\frac{\pi}{3}\pm\cos\beta\sin\frac{\pi}{3}\\ &=\sf \frac{\sqrt{4-a^2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\pm\frac{a}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=\sf \frac{\sqrt{4-a^2}\pm\sqrt{3}\ a}{4}\end{align*}}$
よって、qが最大になるときのPをP1、P2とすると、その座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf P_1\left(\frac{a-\sqrt{3\left(4-a^2\right)}}{4}\ ,\ \frac{\sqrt{4-a^2}+\sqrt{3}\ a}{4}\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf P_2\left(\frac{a+\sqrt{3\left(4-a^2\right)}}{4}\ ,\ \frac{\sqrt{4-a^2}-\sqrt{3}\ a}{4}\right)}\end{align*}}$ ．
(３)
(２)と同様に計算すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\frac{1-a\cos\theta}{2\sin\theta}\leqq\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\left(\theta-\beta\right)\geqq\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{\pi}{3}\leqq\theta-\beta\leqq\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \beta-\frac{\pi}{3}\leqq\theta\leqq\beta +\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
となるので、(条件)をみたすとき、
(ⅱ)より点Pは弧P1P2上を動く。
また、qが最大になるときのQをQ1とおくと、(２)の$\scriptsize\sf{\beta}$ を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_1\left(\frac{a}{2}\ ,\ \frac{\sqrt{4-a^2}}{2}\right)=\left(\cos\beta\ ,\ \sin\beta\right)\end{align*}}$
と表せるので、∠Q1OA=$\scriptsize\sf{\beta}$ である。
よって、(ⅱ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle P_1OQ_1=\angle P_2OQ_1=\frac{\pi}{3}\ \ ,\ \ \angle P_1OP_2=\frac{2\pi}{3}\end{align*}}$
であり、点Pが条件をみたしながら動くとき、三角形OAPが通過する
領域は、扇形P1OP2に△P2OAを加えた部分になる。
よって、その面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{\sqrt{4-a^2}-\sqrt{3}\ a}{4}=\underline{\ \frac{\pi}{3}+\frac{\left(\sqrt{4-a^2}-\sqrt{3}\ a\right)a}{8}}\end{align*}}$
となる。
(２) 三角関数の合成をcosでもできるようにしておきましょう！
±で処理できるのでsinでやるより楽なことが多いです。
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第３問
2種類の文字「A」、「B」を1つずつ左から右に書いていく。書かれる文字が
AかBかは確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で決まるものとする。しかし、次の2つのルールにより文字
が消去されることがある：
１．右端のAの右隣にBが書かれる場合、そのBは確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ で消去される
２．右端のBの左側にAが1つ以上存在する場合、それらのうちでもっとも右に
あるAをⒶと呼ぶ。この状況で、右端のBの右端にAが書かれる場合、確率
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ でそのAとⒶより右側のすべての文字が消去される（ただしⒶは消去され
ない）
上記2つのルールにあてはまらない場合は、消去される文字はないものとする。
n文字を書いたときに、実際に残っている文字数をanとする。
例えば、3文字をA、B、Aの順に書いた場合の結果は「ABA」、「AA」、「A」の
いずれかとなる。
(１) a3=2となる確率を求めよ。
(２) a4=1となる確率を求めよ。
(３) an=nとなる確率をnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
【Ⅰ】右端がAのとき
ア、次にAが書かれる（確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ）
イ、次にBが書かれて残る（確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ ）
ウ、次にBが書かれて消える（確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ ）
【Ⅱ】右端がBでⒶが存在するとき
エ、次にBが書かれる（確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ）
オ、次にAが書かれて残る（確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ ）
カ、次にAが書かれてⒶより右が消える（確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ ）
【Ⅲ】右端がBでⒶが存在しないとき（すべてBのとき）
キ、次にAが書かれる（確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ）
ク、次にBが書かれる（確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ）
以下、Aと書かれた状態から事象アが起こった結果、AAとなることを
A →ア→ AA
などと書くことにする。
(１)
a3=2となるのは、次の4つの場合がある。
・A →ア→ AA →ウ→ AA
・A →ウ→ A →ア→ AA
・A →ウ→ A →イ→ AB
・B →キ→ BA →ウ→ BA
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\underline{\sf \frac{5}{18}}\end{align*}}$
(2)
1文字目にBを書いたときは、それ以降かならず2文字以上が残る。
よって、a4=1となるのは、次の4つの場合がある。
・A →イ→ AB →カ→ A →ウ→ A
・A →ウ→ A →ウ→ A →ウ→ A
・A →ウ→ A →イ→ AB →カ→ A
・A →イ→ AB →ウ→ ABB →カ→ A
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}=\underline{\sf \frac{11}{216}}\end{align*}}$
(３)
an=nとなるのは、1文字も消去されないときである。
書いたn文字がすべて残っていて
右端がAとなる確率をan、
すべてがBとなる確率をbn、
Ⓐが存在して右端がBとなる確率をcn
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=b_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ c_1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{6}c_n\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}=\frac{1}{6}a_n+\frac{1}{2}c_n\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅲ)
(ⅱ)より、数列{bn}は等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}}$
(ⅰ)と(ⅲ)を辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}+c_{n+1}&=\sf \frac{2}{3}a_n+\frac{1}{2}b_n+\frac{2}{3}c_n\\ &=\sf \frac{2}{3}\left(a_n+c_n\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\end{align*}}$
両辺に2n+1をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{n+1}\left(a_{n+1}+c_{n+1}\right)=\frac{4}{3}\cdot 2^n\left(a_n+c_n\right)+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2^{n+1}\left(a_{n+1}+c_{n+1}\right)+3=\frac{4}{3}\bigg\{2^n\left(a_n+c_n\right)+3\bigg\}\end{align*}}$
と変形でき、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \bigg\{2^n\left(a_n+c_n\right)+3\bigg\}\end{align*}}$ は等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2^n\left(a_n+c_n\right)+3&=\sf \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}\bigg\{2^1\left(a_1+c_1\right)+3\bigg\}\\ &=\sf 4\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}\\ &=\sf 3\left(\frac{4}{3}\right)^{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2^n\left(a_n+c_n\right)=3\left(\frac{4}{3}\right)^{n}-3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n+c_n=3\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\end{align*}}$
以上より、an=nとなる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+b_n+c_n=\underline{\sf 3\left(\frac{2}{3}\right)^{n}-2\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}\end{align*}}$
ルールが煩雑ですが、丁寧に書き出せば(２)までは得点できると思います。
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第４問
関数f(x)=x+2cosxを0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ の範囲で考える。
(１) 関数y=f(x)の極値と変曲点を求め、グラフの概形を描け。
(２) 関数y=f(x)の二つの変曲点を通る直線をLとする．曲線
y=f(x)と直線Lとで囲まれる図形をx軸の周りに1回転させて
できる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の第１次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=1-2\sin x\ \ ,\ \ f\ ''(x)=-2\cos x\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減およびy=f(x)の凹凸は次のようになる。
よって、グラフの概形は下図のようになり、
極大値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\underline{\sf \frac{\pi}{6}+\sqrt3}\end{align*}}$
極小値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{5}{6}\pi\right)=\underline{\sf \frac{5}{6}\pi-\sqrt3}\end{align*}}$
変曲点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(\frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{\pi}{2}\right)\ ,\ \left(\frac{3}{2}\pi\ ,\ \frac{3}{2}\pi\right)}\end{align*}}$
(２)
Lの方程式はy=xなので、求める回転体の体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_{\pi /2}^{3\pi /2}\bigg\{x^2-\left(x+2\cos x\right)^2\bigg\}dx\\ &=\sf -\pi\int_{\pi /2}^{3\pi /2}\left(4x\cos x+4\cos^2x\right)dx\\ &=\sf -4\pi\bigg\{\big[x\sin x\big]_{\pi /2}^{3\pi /2}-\int_{\pi /2}^{3\pi /2}\sin xdx\bigg\}-2\pi\int_{\pi /2}^{3\pi /2}\left(1+\cos 2x\right)dx\\ &=\sf -4\pi\bigg[x\sin x+\cos x\bigg]_{\pi /2}^{3\pi /2}-2\pi\bigg[x+\frac{1}{2}\sin 2x\bigg]_{\pi /2}^{3\pi /2}\\ &=\sf \underline{\sf 6\pi^2}\end{align*}}$
これは標準的な問題ですので、間違えると即浪人ですｗｗｗ
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