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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016旭川医科大 数学1



第1問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^{\pi/4}\tan^nxdx\ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$ とおく。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \tan x\leqq x+1-\frac{\pi}{4}\ \ \left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\rm I_{\sf n}\sf\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) In+In+2の値をnを用いて表せ。

 (4) (3)までの結果を用いて、無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2n}\end{align*}}$ の和を求めよ。



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  1. 2018/10/11(木) 01:05:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大  2016
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2016旭川医科大 数学2



第2問

  原点Oを中心とする単位円周上にA(-1,0)、B(1,0)、およびy>0を
  満たす動点C(x,y) がある。∠BAC=$\small\sf{\theta}$ とするとき、次の問いに答えよ。
  ただし、0<$\small\sf{\theta}$ < $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。

 (1) △ABCの面積を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) △ABCの内接円O1の半径r1を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (3) x軸、辺ACの延長線、および辺BCとそれぞれ接する円O2を考える。
    x軸上の接点をD、辺ACのC側の延長上の接点をE、そして辺BC上
    の接点をFとする。
  (ⅰ) ADの長さを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
  (ⅱ) 円O2の半径r2を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
  (ⅲ) 円O1の中心をI、円O2の中心をJとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{r_2}{r_1}=2\end{align*}}$ となるとき、△OIJの
     面積を求めよ。




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2016旭川医科大 数学3



第3問

  aを正の実数とする。点Pは曲線Ca: y=eax上を、点Qは直線y=xを
  それぞれ動く。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 曲線Caと直線y=xが共有点をもたないようなaの値の範囲を求めよ。

 (2) (1)で求めた範囲にあるaに対して、線分PQの長さの最小値をd(a)
    とする。PQの長さがd(a)となる曲線Ca上の点をPaとする。
   (ⅰ) d(a) を求めよ。
   (ⅱ) 点Paにおける曲線Caの接線の傾きを求めよ。
   (ⅲ) aが(1)で求めた範囲を動くときの点 Paの軌跡を求め、その
      概形を図示せよ。

 (3) d(a)の最大値と、そのときのaの値を求めよ。




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2016旭川医科大 数学4



第4問

  Aの袋には赤玉5個、白玉1個が入っている。Bの袋には赤玉2個、
  白玉2個が入っている。この2つの袋は見た目では区別できない
  ものとする。このとき、次の確率を求めよ。

 (1) 2つの袋からそれぞれ2個ずつ、合計4個の玉を取り出すとき、
    赤玉が3個以上である確率

 (2) どちらか一方の袋を選んで1個の玉を取り出すとき、それが赤玉
    である確率

 (3) どちらか一方の袋を選んで2個の玉を取り出すとき、1個でも白玉
    があれば「袋Bを選んだ」と判断する。袋Aを選んで取り出したとき
    に「袋Bを選んだ」と判断してしまう確率




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