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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016九州大 文系数学1



第1問

  座標平面において、x軸上に3点(0,0)、($\small\sf{\alpha}$ ,0)、($\small\sf{\beta}$ ,0)(0<$\small\sf{\alpha}$ <$\small\sf{\beta}$ )があり、
  曲線C:y=x3+ax2+bxがx軸とこの3点で交わっているものとする。ただし、a、b
  は実数である。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 曲線Cとx軸で囲まれた2つの部分の面積の和をSとする。Sを$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ の式で
    表せ。

 (2) $\small\sf{\beta}$ の値を固定して、0<$\small\sf{\alpha}$ <$\small\sf{\beta}$ の範囲で$\small\sf{\alpha}$ を動かすとき、Sを最小とする$\small\sf{\alpha}$ を
    $\small\sf{\beta}$ の式で表せ。




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  1. 2018/10/20(土) 01:06:00|
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2016九州大 文系数学2



第2問

  tを0<t<1を満たす実数とする。面積が1である三角形ABCにおいて、
  辺AB、BC、CAをそれぞれ2:1、t:1-t、1:3に内分する点をD、E、F
  とする。また、AEとBF、BFとCD、CDとAEの交点をそれぞれP、Q、R
  とする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 3直線AE、BF、CDが1点で交わるときのtの値tを求めよ。

  以下、tは0<t<tを満たすものとする。

(2) AP=kAE、CR=$\small\sf{\begin{align*} \sf \ell\end{align*}}$ CDを満たすk、$\small\sf{\begin{align*} \sf \ell\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。

(3) 三角形BCQの面積を求めよ。

(4) 三角形PQRの面積を求めよ。
         


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2016九州大 文系数学3



第3問

  袋の中に、赤玉が15個、青玉が10個、白玉が5個入っている。袋の中から
  玉を1個取り出し、取り出した玉の色に応じて、以下の操作で座標平面上に
  置いたコインを動かすことを考える。

   (操作) コインが点(x,y)にあるものとする。赤玉を取り出したときには
        コインを点(x+1,y)に移動、青玉を取り出したときには点(x,y+1)
        に移動、白玉を取り出したときには点(x-1,y-1)に移動し、取り
        出した玉は袋に戻す。

  最初に原点(0,0)にコインを置き、この操作を繰り返して行う。指定した回数
  だけ操作を繰り返した後、コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする。
  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 操作をn回繰り返したとき、白玉を1度だけ取り出したとする。このとき、
    到達点となりうる点をすべて求めよ。

 (2) 操作をn回繰り返したとき、到達点となり得る点の個数を求めよ。

 (3) 座標平面上の4点(1,1)、(-1,1)、(-1,-1)、(1,-1)を頂点とする正方形
    Dを考える。操作をn回繰り返したとき、到達点がDの内部または辺上にある
    確率をPnとする。P3を求めよ。

 (4) 自然数Nに対してP3Nを求めよ。



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2016九州大 文系数学4



第4問

  自然数nに対して、10nを13で割った余りをanとおく。anは0から12までの
  整数である。以下の問いに答えよ。

 (1) an+1は10anを13で割った余りに等しいことを示せ。

 (2) a1、a2、・・・、a6を求めよ。

 (3) 以下の3条件を満たす自然数Nをすべて求めよ。
   (ⅰ) Nを十進法で表示したとき6桁となる。
   (ⅱ) Nを十進法で表示しして、最初と最後の桁の数字を取り除くと2016と
      なる
   (ⅲ) Nは13の倍数である。



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