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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016九州大 理系数学1



第1問

  座標平面上の曲線C、Cをそれぞれ
      C:y=logx (x>0)
      C2:y=(x-1)(x-a)
  とする。ただし、aは実数である。nを自然数とするとき、曲線C1、C2
  2点P、Qで交わり、P、Qのx座標はそれぞれ1、n+1となっている。また、
  曲線C1と直線PQで囲まれた領域の面積をSn、曲線C2と直線PQで囲
  まれた領域の面積をTnとする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) aをnの式で表し、a>1を示せ。

 (2) SnとTnをそれぞれnの式で表せ。

 (3) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{S_n}{n\log T_n}\end{align*}}$ を求めよ。



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2016九州大 理系数学2



第2問

  tを0<t<1を満たす実数とする。面積が1である三角形ABCにおいて、
  辺AB、BC、CAをそれぞれ2:1、t:1-t、1:3に内分する点をD、E、F
  とする。また、AEとBF、BFとCD、CDとAEの交点をそれぞれP、Q、R
  とする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 3直線AE、BF、CDが1点で交わるときのtの値tを求めよ。

  以下、tは0<t<tを満たすものとする。

(2) AP=kAE、CR=$\small\sf{\begin{align*} \sf \ell\end{align*}}$ CDを満たすk、$\small\sf{\begin{align*} \sf \ell\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。

(3) 三角形BCQの面積を求めよ。

(4) 三角形PQRの面積を求めよ。
         


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2016九州大 理系数学3



第3問

  座標平面上で円x2+y2=1に内接する正六角形で、点P0(1,0)を1つの頂点と
  するものを考える。この正六角形の頂点をP0から時計回りに順にP1、P2、P3
  P4、P5とする。ある頂点に置かれている1枚のコインに対し、1つのサイコロを
  1回投げ、出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点場を動かす。

  (規則)
    (ⅰ) 1から5までの目が出た場合は、出た目の数だけコインを反時計回りに
       動かす。例えば、コインがP4にあるときに4の目が出た場合はP2まで
       動かす。
    (ⅱ) 6の目が出た場合は、x軸に関して対称な位置にコインを動かす。ただし、
       コインがx軸上にあるときは動かさない。例えば、コインがP5にあるとき
       に6の目が出た場合はP1に動かす。

  はじめにコインを1枚だけP0に置き、1つのサイコロを続けて何回か投げて、1回
  投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える。以下の
  問いに答えよ。

 (1) 2回サイコロを投げた後に、コインがP0の位置にある確率を求めよ。

 (2) 3回サイコロを投げた後に、コインがP0の位置にある確率を求めよ。

 (3) nを自然数とする。n回サイコロを投げた後に、コインがP0の位置にある確率を
    求めよ。




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2016九州大 理系数学4



第4問

  自然数nに対して、10nを13で割った余りをanとおく。anは0から12までの
  整数である。以下の問いに答えよ。

 (1) an+1は10anを13で割った余りに等しいことを示せ。

 (2) a1、a2、・・・、a6を求めよ。

 (3) 以下の3条件を満たす自然数Nをすべて求めよ。
   (ⅰ) Nを十進法で表示したとき6桁となる。
   (ⅱ) Nを十進法で表示しして、最初と最後の桁の数字を取り除くと2016と
      なる
   (ⅲ) Nは13の倍数である。



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2016九州大 理系数学5



第5問

  以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\theta}$ を0≦$\small\sf{\theta}$ <2$\small\sf{\pi}$ を満たす実数、iを虚数単位とし、zをz=cos$\small\sf{\theta}$ +isin$\small\sf{\theta}$
    で表される複素数とする。このとき、整数nに対して次の式を証明せよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos n\theta=\frac{1}{2}\left(z^n+\frac{1}{z^n}\right)\ \ ,\ \ \sin n\theta=-\frac{i}{2}\left(z^n-\frac{1}{z^n}\right)\end{align*}}$

 (2) 次の方程式を満たす実数x(0≦x<2$\small\sf{\pi}$ )を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos x+\cos 2x-\cos 3x=1\end{align*}}$

 (3) 次の式を証明せよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sin^220^{\circ}+\sin^240^{\circ}+\sin^260^{\circ}+\sin^280^{\circ}=\frac{9}{4}\end{align*}}$



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