第１問
曲線y=x2上に2点A(-1，1)、B(b，b2)をとる。ただしb＞-1とする。
このとき、次の条件を満たすbの範囲を求めよ。
条件：y=x2上の点T(t，t2) （-1＜t＜b）で、∠ATBが直角になる
ものが存在する。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AT}=\left(t+1\ ,\ t^2-1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BT}=\left(t-b\ ,\ t^2-b^2\right)\end{align*}}$
∠ATB=90°なので、これら2つのベクトルの内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AT}\cdot\overrightarrow{\sf BT}&=\sf \left(t+1\right)\left(t-b\right)+\left(t^2-1\right)\left(t^2-b^2\right)\\ &=\sf \left(t+1\right)\left(t-b\right)\left\{1+\left(t-1\right)\left(t+b\right)\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\left(t-1\right)\left(t+b\right)=0\ \ \ \ \left(\because\ -1\lt t\lt b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2+\left(b-1\right)t-b+1=0\end{align*}}$ ・・・・・・(*)
条件を満たすためには、(#)が-1＜t＜bの範囲に実数解をもてばよい。
まず(#)の判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D&=\sf \left(b-1\right)^2-4\left(-b+1\right)\\ &=\sf b^2+2b-3\\ &=\sf \ｌｅｆｔ(b+3\ｒｉｇｈｔ)\ｌｅｆｔ(b-1\ｒｉｇｈｔ)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b\geqq 1\ \ \left(\because\ b\gt -1\right)\end{align*}}$ ・・・・・・(A)
であり、(ⅰ)を満たすとき、(*)の2解をp、q （p≧q）とおく。
また、(*)の左辺をf(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)=\left(t+\frac{b-1}{2}\right)^2-\frac{b^2+2b-3}{4}\end{align*}}$
(ⅰ) -1＜p≦q＜bのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-1\right)=-2b+3\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\lt \frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(b\right)=2b^2-2b+1=2\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2\lt -\frac{b-1}{2}\lt b\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}\lt b\lt 3\end{align*}}$
これらと(A)を同時に満たすbの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq b\lt \frac{3}{2}\end{align*}}$
(ⅱ) -1=p＜q＜bのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{3}{2}\end{align*}}$
f(b)＞0は常に成り立つ。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2\lt -\frac{b-1}{2}\lt b\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}\lt b\lt 3\end{align*}}$
これらと(A)を同時に満たすbの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{3}{2}\end{align*}}$
(ⅲ) -1＜p＜q=bのとき
常にf(b)＞0なので、この場合はあり得ない。
(ⅳ) -1＜p＜b＜q または p＜-1＜q＜bのとき
常にf(b)＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-1\right)\lt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{2}\lt b\end{align*}}$
これは(A)も満たす
(ⅰ)～(ⅳ)より、題意を満たすbの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 1\leqq b}\end{align*}}$
である。
二次方程式の解の配置の問題です。丁寧に場合分けしましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第２問
nを正の整数とし、kを1≦k≦n+2を満たす整数とする。n+2のカードがあり、
そのうちの1枚には数字0が、ほかの1枚には数字2が、残りのn枚には数字1
が書かれている。このn+2枚のカードのうちから無作為にk枚のカードを取り
出すとする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) 取り出したk枚のカードの書かれているすべての数字の積が1以上になる
確率を求めよ。
(２) 取り出したk枚のカードの書かれているすべての数字の積が2になる確率
Qn(k)を求めよ。
(３) 与えられたnに対して、確率Qn(k)が最大となるkの値と、その最大値を求
めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
カードの取り出し方の総数はnCk通り。
積が1以上になるためには、0以外のカードn+1枚の中からk枚
取り出せばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_{n+1}C_k}{_{n+2}C_k}=\frac{\left(n+1\right)!}{k!\left(n-k+1\right)!}\cdot\frac{k!\left(n-k+2\right)!}{\left(n+2\right)!}=\underline{\sf \frac{n-k+2}{n+2}}\end{align*}}$
(２)
積が1になるのは、0と2以外のカードn枚の中からk枚取り出すとき
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_{n}C_k}{_{n+2}C_k}=\frac{\left(n\right)!}{k!\left(n-k\right)!}\cdot\frac{k!\left(n-k+2\right)!}{\left(n+2\right)!}=\frac{\left(n-k+2\right)\left(n-k+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\end{align*}}$
これと(１)より、積が2になる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(k\right)=\frac{n-k+2}{n+2}-\frac{\left(n-k+2\right)\left(n-k+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\underline{\sf \frac{k\left(n-k+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}}\end{align*}}$
(３)
(２)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(k\right)\lt Q_n\left(k+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{Q_n\left(k+1\right)}{Q_n\left(k\right)}=\frac{\frac{\left(k+1\right)\left(n-k+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}}{\frac{k\left(n-k+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}}=\frac{\left(k+1\right)\left(n-k+1\right)}{k\left(n-k+2\right)}\gt 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(k+1\right)\left(n-k+1\right)\gt k\left(n-k+2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k\lt \frac{n+1}{2}\end{align*}}$
同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(k\right)\gt Q_n\left(k+1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ k\gt \frac{n+1}{2}\end{align*}}$
(ⅰ) nが偶数のとき、n=2m （m：自然数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(1\right)\lt Q_n\left(2\right)\lt \ldots \lt Q_n\left(m\right)\lt Q_n\left(m+1\right)\gt Q_n\left(m+2\right)\gt \ldots\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=m+1=\underline{\sf \frac{n+2}{2}}\end{align*}}$
のとき、最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(k\right)_{MAX}=\frac{\left(\frac{n+2}{2}\right)^2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\underline{\sf \frac{n+2}{4\left(n+1\right)}}\end{align*}}$
(ⅱ) nが奇数のとき、n=2m-1 （m：自然数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(1\right)\lt Q_n\left(2\right)\lt \ldots \lt Q_n\left(m\right)=Q_n\left(m+1\right)\gt Q_n\left(m+2\right)\gt \ldots\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=m,m+1=\underline{\sf \frac{n+1}{2}\ ,\ \frac{n+3}{2}}\end{align*}}$
のとき、最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(k\right)_{MAX}=\frac{\frac{n+1}{2}\cdot\frac{n+3}{2}}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\underline{\sf \frac{n+3}{4\left(n+2\right)}}\end{align*}}$
(３)は難しいかもしれませんね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第３問
正の数nに対して、その（1と自分自身も含めた）すべての正の約数の
和をs(n)と書くことにする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) kを正の整数、pを3以上の素数とするとき、s(2kp)を求めよ。
(２) s(2016)を求めよ。
(３) 2016の正の約数nで、s(n)=2016となるものをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s\left(2^kp\right)&=\sf \sum_{L=0}^k2^L\cdot\sum_{M=0}^1p^M\\ &=\sf \frac{2^{k+1}-1}{2-1}\cdot\left(1+p\right)\\ &=\sf \underline{\sf \left(2^{k+1}-1\right)\left(p+1\right)}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s\left(2016\right)&=\sf \sum_{L=0}^52^L\cdot\sum_{M=0}^23^M\cdot\sum_{N=0}^i7^N\\ &=\sf 63\cdot 13\cdot 8\\ &=\sf \underline{\sf 6552}\end{align*}}$
(３)
2016の正の約数nは、整数a、b、cを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n=2^a\cdot 3^b\cdot 7^c\ \ \left(0\leqq a\leqq 5\ \ ,\ \ 0\leqq b\leqq 2\ \ ,\ \ 0\leqq c\leqq 1\right)\end{align*}}$
と表すことができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s\left(n\right)=\sum_{L=0}^a2^L\cdot \sum_{M=0}^b3^M\cdot \sum_{N=0}^c7^N=2016\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\sum_{L=0}^a2^L\ \ ,\ \ B=\sum_{M=0}^b3^M\ \ ,\ \ C=\sum_{N=0}^c7^N\end{align*}}$
とおくと、A、B、Cの取りうる値はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=1,3,7,15,31,63\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=1,4,13\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C=1,8\end{align*}}$
このうちで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s\left(n\right)=ABC=2016\end{align*}}$
を満たすのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A,B,C\right)=\left(63,4,8\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a,b,c\right)=\left(5,1,1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n=2^5\cdot 3^1\cdot 7^1=\underline{\ 672}\end{align*}}$
約数の和の求め方は知ってますよね？？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
