第１問
平面上で原点Oと3点A(3，1)、B(1，2)、C(-1，1)を考える。
実数s、tに対し、点Pを
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
により定める。以下の問いに答えよ。
(１) s、tが条件
-1≦s＜1、 -1≦t≦1、 -1≦s+t≦1
を満たすとき、点P(x，y)の存在する範囲Dを図示せよ。
(２) 点Pが(１)で求めた範囲Dを動くとき、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ の最大値
を求め、そのときのPの座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ に成分を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x,y\right)=s\left(3,1\right)+t\left(1,2\right)=\left(3s+t,s+2t\right)\end{align*}}$
これをs、tについて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{2x-y}{5}\ ,\ t=\frac{-x+3y}{5}\end{align*}}$
これらをs、tについての条件に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq s\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -1\leqq\frac{2x-y}{5}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2x-5\leqq y\leqq 2x+5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq t\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -1\leqq\frac{-x+3y}{5}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\leqq y\leqq \frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq s+t\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -1\leqq\frac{x+2y}{5}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\leqq y\leqq -\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\end{align*}}$
これらを同時に満たす領域Dを図示すると、下図のようになる。
（境界線上の点も含む）
ただし、図中の各点の座標は
P1(3，1)、P2(1，2)、P3(-2，1)
P4(-3，-1)、P4(-1，-2)、P6(2，-1)
(２)
求める内積をkとおくと、P、Cの座標はそれぞれ(x，y)、(-1，1)なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=-x+y\ \ \Leftrightarrow\ \ y=x+k\end{align*}}$
となり、この式は、傾き1、切片kの直線（Lとする）を表す。
Lが領域Dと共有点をもつように動くとき、切片kが最大になるのは、
P3を通るときである。
よって、P(-2，1)のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ は最大となり、その値は3である。
(１)は、成分で考える方が楽です。
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第２問
放物線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=-\frac{1}{2}x^2\end{align*}}$
を考える。以下の問いに答えよ。
(１) 関数y=-2|x|+kのグラフが放物線Cと共有点をもつような実数k
の範囲を求めよ。
(２) a、bを実数とする。関数y=-2|x-a|+bのグラフが放物線Cと共有
点をちょうど4個もつような点(a，b)全体のなす領域Dをxy平面に
図示せよ。
(３) (２)で求めた領域Dの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
折れ線y=-2|x|+kおよび放物線Cはy軸について対称なので、
x≧0の場合だけを考えればよい。
x≧0のとき、2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}x^2=-2|x|+k\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-4x+2k=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
となるので、(ⅰ)がx≧0の範囲に実数解をもてばよい。
(ⅰ)の左辺をf(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left(x-2\right)^2+2k-4\end{align*}}$
となる。放物線y=f(x)の軸を考えると、x=2＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(2)=2k-4\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf k\leqq 2}\end{align*}}$
が求める条件である。
(２)
x≧aのとき、2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}x^2=-2|x-a|+b\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-4x+4a+2b=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
となるので、(ⅱ)がx＞aの範囲に異なる2つの実数解をもてばよい。
(ⅱ)の左辺をh1(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h_1(x)=\left(x-2\right)^2+4a+2b-4\end{align*}}$
となるので
・軸 a＜2
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h_1(2)=4a+2b-4<0\ \ \Leftrightarrow\ \ b<-2a+2\end{align*}}$
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h_1(a)=a^2+2b>0\ \ \Leftrightarrow\ \ b>-\frac{1}{2}a^2\end{align*}}$
を満たせばよい。
x＜aのとき、2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}x^2=-2|x-a|+b\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+4x-4a+2b=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅲ)
となるので、(ⅲ)がx＜aの範囲に異なる2つの実数解をもてばよい。
(ⅲ)の左辺をh2(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h_2(x)=\left(x+2\right)^2-4a+2b-4\end{align*}}$
となるので
・軸 -2＜a
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h_2(-2)=-4a+2b-4<0\ \ \Leftrightarrow\ \ b<2a+2\end{align*}}$
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(a)=a^2+2b>0\ \ \Leftrightarrow\ \ b>-\frac{1}{2}a^2\end{align*}}$
を満たせばよい。
以上より、題意を満たす点(a，b)全体のなす領域Dを図示すると、
下図のようになる。（境界線上の点は含まない）
(３)
領域Dはy軸について対称なので、その面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &S=\sf 2\int_0^2\left\{\left(-2x+2\right)-\left(-\frac{1}{2}x^2\right)\right\}dx\\ &=\sf 2\left[\frac{1}{6}x^3-x^2+2x\right]_0^2\\ &=\sf \underline{\sf \frac{8}{3}}\end{align*}}$
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第３問
ある工場で作る部品A、B、Cはネジをそれぞれ7個、9個、12個使って
いる。出荷後に残ったこれらの部品のネジをすべて外したところ、ネジ
が全部で54個あった。残った部品A、B、Cの個数をそれぞれL、m、n
として、可能性のある組(L，m，n)をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ネジの個数についての関係式は
7L+9m+12n=54 ・・・・・・(#)
(#)は、7L=3(18-3m-4n) と変形でき、3は7互いに素なので、
Lは3の倍数である。
よって、0以上の自然数kを用いて、L=3kとおくと、
(#) ⇔ 21k+9m+12n=54
⇔ 7k+m3+4n=18
・k=0のとき
3m+4n=18 となり、これを満たす0以上の整数m、nの組は
(m，n)=(6，0)、(2，3)
・k=1のとき
3m+4n=11 となり、これを満たす0以上の整数m、nの組は
(m，n)=(1，2)
・k=2のとき
3m+4n=4 となり、これを満たす0以上の整数m、nの組は
(m，n)=(0，1)
・k≧3のとき
3m+4n＜0 となり、これを満たすような0以上の整数m、nの
組は存在しない。
以上より、
(Lmn)=(0，6，0)、(0，2，3)、(3，1，2)、(6，0，1)
頑張って書き出すだけです。
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第４問
鋭角三角形△ABCにおいて、頂点A、B、Cから各対辺に垂線AD、
BE、CFを下ろす。これらの垂線は垂心Hで交わる。このとき、以下
の問いに答えよ。
(１) 四角形BCEFとAFHEが円に接することを示せ。
(２) ∠ADE=∠ADFであることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
四角形BCEFにおいて、
∠BFC=∠BEC=90°
なので、円周角の定理の逆より
4点B、C、E、Fは同一円周上にある。
よって、四角形BCEFは円に内接する。
一方、四角形AFHEにおいて、
∠AFH+∠AEH=180°
なので、内接四角形の定理の逆より、
四角形AFHEは円に内接する。
(２)
(１)より、四角形BCEFは円に内接するので、円周角の定理より
∠ECH=∠FBH
また、(１)と同様に考えると、四角形CEHD、BDHFも円に内接
するので、円周角の定理より、
∠ECH=∠HDE
∠FBH=∠HDF
以上より、
∠HDE=∠HDF すなわち ∠ADE=∠ADF
が成り立つ。
理系との共通問題ですが簡単です
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