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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016東北大 理系数学1



第1問

  鋭角三角形△ABCにおいて、頂点A、B、Cから各対辺に垂線AD、
  BE、CFを下ろす。これらの垂線は垂心Hで交わる。このとき、以下
  の問いに答えよ。

 (1) 四角形BCEFとAFHEが円に接することを示せ。

 (2) ∠ADE=∠ADFであることを示せ。



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  1. 2018/10/28(日) 01:11:00|
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2016東北大 理系数学2



第2問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 6以上の整数nに対して不等式
         2n>n2+7
    が成り立つことを数学的帰納法により示せ。

 (2) 等式
         pq=qp+7
    を満たす素数の組(p,q)をすべて求めよ。
         



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2016東北大 理系数学3



第3問

  サイコロを3回振って出た目の数をそれぞれ順にa、b、cとする。
  以下の問いに答えよ。

 (1) a、b、cがある直角三角形の3辺の長さとなる確率を求めよ。

 (2) a、b、cがある鈍角三角形の3辺の長さとなる確率を求めよ。



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2016東北大 理系数学4



第4問

  多項式P(x)を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf P(x)=\frac{\left(x+i\right)^7-\left(x-i\right)^7}{2i}\end{align*}}$
  により定める。ただし、iは虚数単位とする。以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7\end{align*}}$ とするとき、
    係数a0、・・・、a7をすべて求めよ。

 (2) 0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ に対して
         $\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7\theta}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) (1)で求めたa1、a3、a5、a7を用いて、多項式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7\end{align*}}$
    を考える。$\small\sf{\theta}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{7}\end{align*}}$ として、k=1,2,3について
         $\small\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{\cos^2k\theta}{\sin^2k\theta}\end{align*}}$
    とおく。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf Q\left(x_k\right)=0\end{align*}}$ が成り立つことを示し、x1+x2+x3
    値を求めよ。


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2016東北大 理系数学5



第5問

  空間内に、直線Lで交わる2平面$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ と交線L上の1点Oがある。
  さらに、平面$\small\sf{\alpha}$ 上に直線mと平面$\small\sf{\beta}$ 上に直線nを、どちらも点Oを通り
  Lに垂直にとる。m、n上にそれぞれ点P、Qがあり、
        OP=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ 、 OQ=2 、PQ=1
  であるとする。線分PQ上の動点Tについて、PT=tとおく。点Tを中心
  とした半径$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ の球Sを考える。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) Sの平面$\small\sf{\alpha}$ による切り口の面積をtを用いて表せ。

 (2) Sの平面$\small\sf{\alpha}$ による切り口の面積とSの平面$\small\sf{\beta}$ による切り口の面積の
    和をf(t)とおく。Tが線分PQ上を動くとき、f(t)の最大値と、そのとき
    のtの値を求めよ。
         



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2016東北大 理系数学6



第6問

  関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\int_0^{\pi}\left|\sin\left(t-x\right)-\sin 2t\right|dt\end{align*}}$
  の区間$\small\sf{0\leqq x\leqq\pi}$ における最大値と最小値を求めよ。




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