第1問
三角形OABにおいて、辺 OA、辺OBの長さをそれぞれa、bとする。
また、角AOBは直角でないとする。2つのベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ の内積
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ をkとおく。次の問いに答えよ。
(1) 直線OA上に点Cを、BCがOAと垂直になるようにとる。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ をa、k、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) a=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ 、b=1とする。直線BC上に点Hを、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}\end{align*}}$ が $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ と垂直になる
ようにとる。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=u\overrightarrow{\sf OA}+v\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ とおくとき、ｕとｖをそれぞれkで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
∠AOB=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、内積の定義より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=a\ b\ \cos\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=\frac{k}{ab}\end{align*}}$
∠OCB=90°より、辺OCの長さは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OC=OB\cdot \cos\theta=b\cdot\frac{k}{ab}=\frac{k}{a}\end{align*}}$ ･････①
よって、①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\frac{OC}{OA}\ \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{k}{a^2}\ \overrightarrow{\sf OA}\ \ }\end{align*}}$
(2)
HはBC上にあるので、BH：CH=s：(1－s)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=s\ \overrightarrow{\sf OC}+(1-s)\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{ks}{a^2}\ \overrightarrow{\sf OA}+(1-s)\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ ･･････②
また、AH⊥OBより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\left(\overrightarrow{\sf OH}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OB}=0\end{align*}}$
これに②を代入して展開すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{ks}{a^2}-1\right)\ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\ +\ (1-s)\ |\ \overrightarrow{\sf OB}\ |^2=0\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=k\ \ ,\ \ |\ \overrightarrow{\sf OA}\ |=a=\sqrt2\ \ ,\ \ |\ \overrightarrow{\sf OB}\ |=b=1\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k^2s}{2}-k+1-s=0\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{2(k-1)}{k^2-2}\end{align*}}$
②に代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\frac{k(k-1)}{k^2-2}\ \overrightarrow{\sf OA}+\frac{k(k-2)}{k^2-2}\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ u=\frac{k(k-1)}{k^2-2}\ \ ,\ \ v=\frac{k(k-2)}{k^2-2}\ \ }\end{align*}}$
神戸大ではよく出てくるタイプの問題ですね。
簡単ですので、確実に得点しましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/01/28(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2005
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第2問
aを正の実数とする。関数ｆ(x)=ax2+(1－2a)xが次の2つの条件
(ⅰ) －3≦x＜0のとき、ｆ(x)≧－1
(ⅱ) x≧0のとき、ｆ(x)≧0
をともに満たすような a の値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
a＞0より、y=ｆ(x)は、下に凸な放物線であり、
ｆ(x)を平方完成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=a\left(x-\frac{2a-1}{2a}\right)^2-\frac{4a^2-4a+1}{4a}\end{align*}}$
となるので、軸の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{2a-1}{2a}\end{align*}}$ ．
また、ｆ(0)=0となるので、y=ｆ(x)は原点を通る。
よって、条件(ⅱ)を満たすためには、
軸≦0である必要があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a-1}{2a}\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$ ･･････①
以下は、この範囲で考える。
条件(ⅰ)を満たすためには、
－3≦x≦0におけるｆ(x)の最小値≧－1
であればよい。
(ア) 軸＜－3のとき 【右図1】
aの範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a-1}{2a}<-3\ \ \Leftrightarrow\ \ a<\frac{1}{8}\end{align*}}$ ．
このとき、最小値≧－1であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (-3)=15a-3\geqq -1\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq \frac{2}{15}\end{align*}}$ ．
これらを同時に満たすaは存在しない。
(イ) －3≦軸≦0のとき 【右図2】
aの範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a-1}{2a}\geqq -3\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{8}\leqq a\end{align*}}$ ．
これと①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}\leqq a\leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
このとき、最小値≧－1であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{2a-1}{2a}\right)=-\frac{4a^2-4a+1}{4a}\geqq -1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ 4a^2-8a+1\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{2-\sqrt3}{2}\leqq a\leqq \frac{2+\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2-\sqrt3}{2}-\frac{1}{8}=\frac{7-4\sqrt3}{8}=\frac{\sqrt{49}-\sqrt{48}}{8}>0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}<\frac{2-\sqrt3}{2}\end{align*}}$
よって、条件を満たすaの値の範囲は、
右の数直線より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2-\sqrt3}{2}\leqq a \leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
(ア)、(イ)より、求めるaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{2-\sqrt3}{2}\leqq a \leqq \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
この手の問題は、グラフを描いて、丁寧に場合分けしましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/01/29(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2005
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