第１問
a、b、cを実数とし、
f(x)=x３+ax２+bx+c
とおく。曲線C：y=f (x)上に異なる2点P(s，f (s))、Q(t，f(t))
がある。
(１) PにおけるCの接線の方程式を求めよ。
(２) PにおけるCの接線とQにおけるCの接線が平行になるための条件
をs、t、aの関係式として求めよ。
(３) (２)の条件のもとで、線分PQの中点がC上にあることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3x^2+2ax+b\end{align*}}$
なので、点PにおけるCの接線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(s^3+as^2+bs+c\right)=\left(3s^2+2as+b\right)\left(x-s\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf y=\left(3s^2+2as+b\right)x-2s^3-as^2+c}\end{align*}}$
(２)
PにおけるCの接線とQにおけるCの接線が平行なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(s)=f\ '(t)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3s^2+2as+b=3t^2+2at+b\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3\left(s^2-t^2\right)=-2a\left(s-t\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3\left(s+t\right)=-2a\ \ \ \ \left(\because\ s\ne t\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf s+t=-\frac{2a}{3}}\end{align*}}$
(３)
線分PQの中点の座標を(X，Y)とおくと、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{s+t}{2}=-\frac{a}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Y&=\sf \frac{f(s)+f(t)}{2}\\ &=\sf \frac{s^3+t^3+a\left(s^2+t^2\right)+b\left(s+t\right)+2c}{2}\\ &=\sf \frac{\left(s+t\right)^3-3st\left(s+t\right)+a\left\{\left(s+t\right)^2-2st\right\}+b\left(s+t\right)+2c}{2}\\ &=\sf \frac{\left(-\frac{2a}{3}\right)^3-3st\cdot\left(-\frac{2a}{3}\right)+a\left\{\left(-\frac{2a}{3}\right)^2-2st\right\}+b\cdot\left(-\frac{2a}{3}\right)+2c}{2}\\ &=\sf \frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c \end{align*}}$
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(X)&=\sf f\left(-\frac{a}{3}\right)\\ &=\sf \left(-\frac{a}{3}\right)^3+a\left(-\frac{a}{3}\right)^2+b\cdot\left(-\frac{a}{3}\right)+c\\ &=\sf \frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c\\ &=\sf Y\end{align*}}$
となるので、線分PQの中点(X，Y)は曲線C上にある。
(３)の対称式の処理が面倒ですが、難しくはありません。
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第２問
f(x)=|x(x- 2)|+|(x- 1)(x- 4)|+3x-10 (-2≦x≦4）とおく。
(１) 関数y=f(x)のグラフをかけ。グラフとx軸との2つの交点のx座標
$\small\sf{\alpha,\beta\ \ (\alpha\lt\beta)}$ の値も求めよ。
(２) (１)の$\small\sf{\alpha,\beta}$ に対して、定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\end{align*}}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
(ⅰ) -2≦x＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf x\left(x-2\right)+\left(x-1\right)\left(x-4\right)+3x-10\\ &=\sf 2x^2-4x-6\\ &=\sf 2\left(x-1\right)^2-8\end{align*}}$
(ⅱ) 0≦x＜1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf -x\left(x-2\right)+\left(x-1\right)\left(x-4\right)+3x-10\\ &=\sf -6\end{align*}}$
(ⅲ) 1≦x＜2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf -x\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x-4\right)+3x-10\\ &=\sf -2x^2+10x-14\\ &=\sf -2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{3}{2}\end{align*}}$
(ⅳ) 2≦x≦4のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf x\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x-4\right)+3x-10\\ &=\sf 6x-14\end{align*}}$
これを図示すると、下図のようになる。
図より、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は(ⅰ)の範囲にあり、$\scriptsize\sf{\beta}$ は(ⅳ)の範囲にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x^2-4x-6=2\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-1,3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6x-14=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{7}{3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \alpha=-1\ \ ,\ \ \beta=\frac{7}{3}}\end{align*}}$
(２)
求める定積分をIとおくと、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf I&=\sf \int_{\alpha}^{0}\left(2x^2-4x-6\right)dx+\int_0^1\left(-6\right)dx+\int_1^2\left(-2x^2+10x-14\right)dx+\int_2^{\beta}\left(6x-14\right)dx\\ &=\sf \left[\frac{2x^3}{3}-2x^2-6x\right]_{-1}^0-6+\left[-\frac{2x^3}{3}+5x^2-14x\right]_1^2+\bigg[3x^2-14x\bigg]_2^{\frac{7}{3}}\\ &=\sf \underline{\sf -\frac{40}{3}}\end{align*}}$
丁寧に場合分けしましょう。
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第３問
△ABC が、AB=2、AC=1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ 、∠ACB=45°をみたすとする。
(１) $\small\sf{\beta}$ =∠ABCとおくとき、$\small\sf{\sin\beta}$ および$\small\sf{\cos 2\beta}$ の値を求めよ。
(２) (１)の$\small\sf{\beta}$ の値をすべて求めよ。
(３) △ABCの外接円の中心をOとする。∠ABCが鋭角三角形で
あるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ をみたす実数s、tを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
△ABCで正弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin\beta}{1+\sqrt3}=\frac{\sin 45^{\circ}}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\beta=\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\underline{\sf \frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}}\end{align*}}$
倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos 2\beta&=\sf 1-2\sin^2\beta\\ &=\sf 1-\left(\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\right)^2\\ &=\sf \underline{\sf -\frac{\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
(２)
0°＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜180°-45° ⇔ 0°2$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜270°
なので、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos 2\beta=-\frac{\sqrt3}{2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2\beta=150^{\circ},210^{\circ}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \beta=\underline{\sf 75^{\circ},105^{\circ}}\end{align*}}$
(３)
△ABCは鋭角三角形なので、(２)より、
∠ABC=75°、∠BAC=60°
△ABCの外接円の半径をRとおくと、OA=OB=OC=R.
∠AOB=2∠ACB=90°より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=0\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OA}\cdot\left(s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\right)=s\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2=sR^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OB}\cdot\left(s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\right)=t\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2=tR^2\end{align*}}$
一方、円周角の定理より、∠AOC=2∠ABC=150°および
∠AOB=2∠ACB=120°なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|\cos 150^{\circ}=-\frac{\sqrt3}{2}R^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|\cos 120^{\circ}=-\frac{1}{2}R^2\end{align*}}$
これらとR≠0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=sR^2=-\frac{\sqrt3}{2}R^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{s=-\frac{\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=tR^2=-\frac{1}{2}R^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{t=-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(３)は、円周角の定理を用いると楽です。
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第４問
x、yを自然数とする。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3x}{x^2+2}\end{align*}}$ が自然数であるようなxをすべて求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3x}{x^2+2}+\frac{1}{y}\end{align*}}$ が自然数であるような組(x，y)をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{3x}{x^2+2}\end{align*}}$ とおく。
(１)
Pは自然数なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{3x}{x^2+2}\geqq 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3x\geqq x^2+2\ \ \ \left(\because\ x^2+x>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq x\leqq 2\end{align*}}$
これを満たす自然数xは、x=1またはx=2.
・x=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{3\cdot 1}{1^2+2}=1\end{align*}}$
・x=2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{3\cdot 2}{2^2+2}=1\end{align*}}$
いずれの場合もPが自然数となるので、題意を満たすようなxの値は
x=1，2
(２)
(ⅰ) y=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}=P+1\end{align*}}$ なので、これが自然数になるとき、P＞0より
Pも自然数である。よって、(１)より、x=1，2
(ⅱ) y≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{y}\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・(#)なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}\end{align*}}$ が自然数になるとき、Pは
自然数ではない。これはx≠1かつx≠2、すなわちx≧3のときであり、
このとき(１)よりP＜1となる。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt P+\frac{1}{y}<\frac{3}{2}\end{align*}}$ となり、これを満たす自然数は1のみなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{y}=1-P\end{align*}}$
これと(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-P\leqq\frac{1}{2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p=\frac{3x}{x^2+2}\geqq\frac{1}{2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 6x\geqq x^2+2\ \ \ \ \left(\because\ x^2+2>0\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-6x+2\leqq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3-\sqrt7\leqq x\leqq3+\sqrt7\end{align*}}$
これを満たす自然数x（≧3）は、x=3，4，5である。
・x=3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}=\frac{3\cdot 3}{3^2+2}+\frac{1}{y}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{11}{2}\end{align*}}$
・x=4のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}=\frac{3\cdot 4}{4^2+2}+\frac{1}{y}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=3\end{align*}}$
・x=5のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}=\frac{3\cdot 5}{5^2+2}+\frac{1}{y}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{9}{4}\end{align*}}$
以上より、題意を満たすような自然数の組(x，y)は
(x，y)=(1，1)、(2，1)、(4，3)
文系の問題でこれは難しいですね。
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