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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016北海道大 理系数学1



第1問

  複素数平面上の点0を中心とする半径2の円C上に点zがある。aを実数の
  定数とし、
         w=z2-2az+1
  とおく。

 (1) |w|2をzの実部xとaを用いて表せ。

 (2) 点zがC上を一周するとき、|w|の最小値をaを用いて表せ。



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  1. 2018/11/03(土) 01:10:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2016
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2016北海道大 理系数学2



第2問

  a>0に対し、関数f(x)が
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\int_{-a}^a\left\{\frac{e^{-x}}{2a}+f(t)\sin t\right\}dt\end{align*}}$
  をみたすとする。

 (1) f(x)を求めよ。

 (2) 0<a≦2$\small\sf{\pi}$ において、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf g(a)=\int_{-a}^af(t)\sin t dt\end{align*}}$
    の最小値とそのときのaの値を求めよ。




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2016北海道大 理系数学3



第3問

  机のひきだしAに3枚のメダル、ひきだしBに2枚のメダルが入っている。
  ひきだしAの各メダルの色は金、銀、銅のどれかであり、ひきだしBの各
  メダルの色は金、銀のどちらかである。

 (1) ひきだしAのメダルの色が2種類である確率を求めよ。

 (2) ひきだしA、Bをあわせたメダルの色が2種類である確率を求めよ。

 (3) ひきだしA、Bをあわせてちょうど3枚の金メダルが入っていることが分
    かっているとき、ひきだしAのメダルの色が2種類である確率を求めよ。



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2016北海道大 理系数学4



第4問

 (1) 次の方程式が異なる3つの0でない実数解を持つことを示せ。
        x3+x2-2x-1=0   ・・・・・・①

 (2) 方程式①の3つの実数解をs、t、uとし、数列{an}を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{s^{n-1}}{\left(s-t\right)\left(s-u\right)}+\frac{t^{n-1}}{\left(t-u\right)\left(t-u\right)}+\frac{u^{n-1}}{\left(u-s\right)\left(u-t\right)}\end{align*}}$
    (n=1,2,3,・・・・・)
    によって定める。このとき、
         an+3+an+2-2an+1-an=0  (n=1,2,3,・・・)
    が成り立つことを示せ。

 (3) (2)のanがすべて整数であることを示せ。




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2016北海道大 理系数学5



第5問

  空間の2点A(0,0,2)、B(0,1,3)を通る直線をLとし、2点C(1,0,0)
  、D(1,0,1)を通る直線をmとする。aを定数として、L上にもm上にもな
  い点P(s,t,a)を考える。

 (1) PからLに下した垂線とLの交点をQとし、Pからmに下した垂線とmの
    交点をRとする。Q、Pの座標をそれぞれs、t、aを用いて表せ。

 (2) Pを中心とし、Lとmがともに接するような球面が存在するための条件
    をs、t、aの関係式で表せ。

 (3) s、tと定数aが(2)の条件を満たすとき、平面上の点(s,t)の軌跡が
    放物線であることを示し、その焦点と準線をaを用いて表せ。




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