第１問
kを実数とする。xy平面の曲線C1：y=x2とC2： y=-x2+2kx+1-k2が
異なる共有点P、Qを持つとする。ただし点P、Qのx座標は正であると
する。また、原点をOとする。
(１) kのとりうる値の範囲を求めよ。
(２) kが(１)の範囲を動くとき、△OPQの重心Gの軌跡を求めよ。
(３) △OPQの面積をSとするとき、S２をkを用いて表せ。
(４) kが(１)の範囲を動くとする。△OPQの面積が最大となるようなkの値と、
そのときの重心Gの座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=-x^2+2kx+1-k^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2kx+k^2-1=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
これが異なる2つの正の実数解を持てばよい。
まず、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=k^2-2\left(k^2-1\right)>0\ \ \Leftrightarrow\ \ -\sqrt2 \lt k<\sqrt2\end{align*}}$
また、解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=k\ \ ,\ \ pq=\frac{k^2-1}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
であり、p、qはともに正なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=k>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pq=\frac{k^2-1}{2}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ k<-1\ ,\ 1\lt k\end{align*}}$
以上より、題意を満たすようなkの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 1\lt k<\sqrt2}\end{align*}}$
(２)
2曲線の共有点P、Qの座標はP(p，p2)、Q(q，q2)と表せるので、
△OPQの重心の座標をG(X，Y)とおくと、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{0+p+q}{3}=\frac{k}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Y&=\sf \frac{0+p^2+q^2}{3}\\ &=\sf \frac{\left(p+q\right)^2-2pq}{3}\\ &=\sf \frac{k^2-2\cdot\frac{k^2-1}{2}}{3}\\ &=\sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
よって、kが(１)の範囲を動くとき、Gは線分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf y=\frac{1}{3}\ \ \ \left(\frac{1}{3}\lt x<\frac{\sqrt2}{3}\right)}\end{align*}}$
上を動く。
(３)
(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S^2&=\sf \left\{\frac{1}{2}\left|p\cdot q^2-q\cdot p^2\right|\right\}\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(pq\right)^2\left(p-q\right)^2\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(pq\right)^2\left\{\left(p+q\right)^2-4pa\right\}\\ &=\sf \frac{1}{16}\left(\frac{k^2-1}{2}\right)^2\left\{k^2-4\cdot\frac{k^2-1}{2}\right\}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{16}\left(k^2-1\right)^2\left(2-k^2\right)} \end{align*}}$
(４)
t=k２とおくと、(１)より 1＜t＜2であり、(３)で求めたS２は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S^2=\frac{1}{16}\left(t-1\right)^2\left(2-t\right)=\frac{1}{16}\left(-t^3+4t^2-5t+2\right)\end{align*}}$
と表せる。これをtの関数をみなしてf(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=\frac{1}{16}\left(-3t^2+8t-5\right)=-\frac{1}{16}\left(3t-5\right)\left(t-1\right)\end{align*}}$
より、f(t)の増減は次のようになる。
Sが最大になるのは、f(t)が最大になるときなので、
そのときのtおよびkの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{5}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\sqrt{t}=\underline{\sf \frac{\sqrt{15}}{3}}\end{align*}}$
である。また、このとき△OPQの重心Gの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf G\left(\frac{k}{3}\ ,\ \frac{k^2-1}{3}\right)=\underline{\sf \left(\frac{\sqrt{15}}{9}\ ,\ \frac{1}{3}\right)}\end{align*}}$
点P、Qのx座標が正という条件を忘れないように！
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第３問
四面体OABCにおいて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおく。このとき、等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=1\end{align*}}$
が成り立つとする。tは実数の定数で、0＜t＜1を満たすとする。線分OAを
t：1-tに内分する点をPとし、線分BCをt：1-tに内分する点をQとする。
また、線分PQの中点をMとする。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a},\overrightarrow{\sf b},\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とtを用いて表せ。
(２) 線分OMと線分BMの長さが等しいとき、線分OBの長さを求めよ。
(３) 4点O、A、B、Cが点Mを中心とする同一球面上にあるとする。このとき、
△OABと△OCBは合同であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=1\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
(１)
P、QはそれぞれOA、BCをt：1-tに内分する点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=t\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OQ}=\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
MはPQの中点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}}{2}=\underline{\sf \frac{t\overrightarrow{\sf a}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}}{2}}\end{align*}}$
(２)
OBの中点をEとおくと、OM=BMよりEM⊥OBとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf EM}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\left(\frac{t\overrightarrow{\sf a}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}}{2}-\frac{\overrightarrow{\sf b}}{2}\right)\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+t\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2+t\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2-\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2=0\end{align*}}$ ←t≠0と(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf b}\right|=\sqrt2\ (>0)\end{align*}}$
よって、OB=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \sqrt2}\end{align*}}$
(３)
OAの中点をDとおくと、OM=AMよりDM⊥OAとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DM}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\left(\frac{t\overrightarrow{\sf a}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}}{2}-\frac{\overrightarrow{\sf a}}{2}\right)\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(t-1\right)\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2=\frac{1}{1-t}\end{align*}}$ ←t≠1と(#)より
OCの中点をFとおくと、OM=CMよりFM⊥OCとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf FM}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\left(\frac{t\overrightarrow{\sf a}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}}{2}-\frac{\overrightarrow{\sf c}}{2}\right)\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\left(t-1\right)\left|\overrightarrow{\sf c}\right|^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf c}\right|^2=\frac{1}{1-t}\end{align*}}$ ←t≠1と(#)より
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA=OC=\frac{1}{\sqrt{1-t}}\end{align*}}$
さらに、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle AOB=\frac{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}}{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|\left|\overrightarrow{\sf b}\right|}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1-t}}\cdot\sqrt2}=\sqrt{\frac{1-t}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle COB=\frac{\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf b}}{\left|\overrightarrow{\sf c}\right|\left|\overrightarrow{\sf b}\right|}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1-t}}\cdot\sqrt2}=\sqrt{\frac{1-t}{2}}\end{align*}}$
なので、∠AOB=∠COBとなる。
以上より、△OABと△OCBは合同となる。
(２)は、そのまま
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\sf \left|\overrightarrow{\sf OM}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf BM}\right|^2}\end{align*}}$
を計算してもいいのですが、計算が面倒です。
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第４問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=2\sqrt{x}\ e^{-x}\ \ \left(x\geqq 0\right)\end{align*}}$
について次の問いに答えよ。
(１) f’(a)=0、f”(b)=0を満たすa、bを求め、y=f(x)のグラフの概形を描け。
ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x}\ e^{-x}=0\end{align*}}$ であることは証明なしで用いてよい。
(２) k≧0のとき $\small\sf{\begin{align*} \sf V(k)=\int_0^kxe^{-2x}dx\end{align*}}$ をkを用いて表せ。
(３) (１)で求めたa、bに対して曲線y=f(x)とx軸および2直線x=a、x=bで囲ま
れた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)&=\sf 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^{-x}+2\sqrt{x}\cdot\left(-e^{-x}\right)\\ &=\sf \frac{\left(1-2x\right)e^{-x}}{\sqrt{x}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)&=\sf \left(-\frac{1}{2x\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)e^{-x}+\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}\right)\cdot\left(-e^{-x}\right)\\ &=\sf \frac{\left(4x^2-4x-1\right)e^{-x}}{2x\sqrt{x}} \end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(a)=\frac{\left(1-2a\right)e^{-a}}{\sqrt{a}}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf a=\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(b)=\frac{\left(4b^2-4b-1\right)e^{-b}}{2b\sqrt{b}} =0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf b=\frac{1+\sqrt2}{2}\ \left(>0\right)}\end{align*}}$
よって、f(x)の増減および曲線y=f(x)の概形は次のようになる。
(２)
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V(k)&=\sf \int_0^kxe^{-2x}dx\\ &=\sf \left[-\frac{1}{2}xe^{-2x}\right]_0^k+\frac{1}{2}\int_0^k e^{-2x}dx\\ &=\sf \left[-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}\right]_0^k\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1-\left(2k+1\right)e^{-2k}}{4}}\end{align*}}$
(３)
求める体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_a^b\left\{f\ (x)\right\}^2dx\\ &=\sf 4\pi\int_a^bx^{-2x}dx\\ &=\sf 4\pi\left(\int_0^bx^{-2x}dx-\int_0^a x^{-2x}dx\right)\\ &=\sf 4\pi\left\{V(b)-V(a)\right\}\\ &=\sf 4\pi\left\{\frac{1-\left(2b+1\right)e^{-2b}}{4}-\frac{1-\left(2a+1\right)e^{-2a}}{4}\right\}\\ &=\sf \pi\left\{\left(2a+1\right)e^{-2a}-\left(2b+1\right)e^{-2b}\right\}\\ &=\sf \underline{\sf \pi\left\{2e^{-1}-\left(2+\sqrt2\right)e^{-1-\sqrt2}\right\}} \end{align*}}$
(１)の計算は丁寧に。ここを間違えると全滅です！
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第５問
△PQRにおいて、∠RPQ=$\small\sf{\theta}$ 、∠PQR=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。点Pn（n=1，2，3，・・・）
を次で定める。
P1=P、 P2=Q、 PnPn+2=PnPn+1
ただし、点Pn+2は線分PnR上にあるものとする。実数$\small\sf{\theta}$ n（n=1，2，3，・・・）
を
$\small\sf{\theta}$ n=∠Pn+１PnPn （0＜$\small\sf{\theta}$ n＜$\small\sf{\pi}$ ）
で定める。
(１) $\small\sf{\theta}$ 2、$\small\sf{\theta}$ 3を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \theta _n+\frac{\theta _n}{2}\end{align*}}$ （n=1，2，3，・・・）はnによらない定数であることを示せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\theta_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
二等辺三角形PnPn+1Pn+2の底角の大きさは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle P_nP_{n+1}P_{n+2}=\angle P_nP_{n+2}P_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta_2&=\sf \angle P_1P_2R-\angle P_1P_2P_3\\ &=\sf \frac{\pi}{2}-\frac{\pi-\theta_1}{2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\theta}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta_3&=\sf \pi-\angle P_1P_3P_2-\angle P_2P_3P_4\\ &=\sf \pi-\frac{\pi-\theta_1}{2}-\frac{\pi-\theta_2}{2}\\ &=\sf \frac{\theta_1}{2}+\frac{\theta_2}{2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{3\theta}{4}}\end{align*}}$
(２)
(１)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta_{n+2}&=\sf \pi-\angle P_nP_{n+2}P_{n+1}-\angle P_{n+1}P_{n+2}P_{n+3}\\ &=\sf \pi-\frac{\pi-\theta_{n}}{2}-\frac{\pi-\theta_{n+1}}{2}\\ &=\sf \frac{\theta_{n+1}}{2}+\frac{\theta_n}{2}\end{align*}}$
両辺に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\theta_{n+1}}{2}\end{align*}}$ を加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta_{n+2}+\frac{\theta_{n+1}}{2}=\theta_{n+1}+\frac{\theta_{n}}{2}\end{align*}}$
これが任意に自然数nに対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta_{n+1}+\frac{\theta _n}{2}=\theta _2+\frac{\theta_1}{2}=\theta\end{align*}}$ （一定） ・・・・・・(#)
となり、題意は示された。
(３)
(#)を変形すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta_{n+1}-\frac{2\theta}{3}=-\frac{1}{2}\left(\theta_{n}-\frac{2\theta}{3}\right)\end{align*}}$
となるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\theta_{n}-\frac{2\theta}{3}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta_{n}-\frac{2\theta}{3}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(\theta_{1}-\frac{2\theta}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \theta_{n}=\frac{2\theta}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot\frac{\theta}{3}\end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1<-\frac{1}{2}<0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\theta_n=\underline{\sf \frac{2\theta}{3}}\end{align*}}$
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第６問
複素数平面上を動く点zを考える。次の問いに答えよ。
(１) 等式|z-1|=|z+1|を満たす点zの全体は虚軸であることを示せ。
(２) 点zが原点を除いた虚軸上を動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z+1}{z}\end{align*}}$ が描く図形は
直線から1点を除いたものとなる。この図形を描け。
(２) aを正の実数とする。点zが虚軸上を動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z+1}{z-a}\end{align*}}$ が描く
図形は円から1点を除いたものとなる。この円の中心と半径を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z-1\right|^2=\left|z+1\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(z-1\right)\left(\overline{z}-1\right)=\left(z+1\right)\left(\overline{z}+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z\overline{z}-z-\overline{z}+1=z\overline{z}+z+\overline{z}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{z}=-z\end{align*}}$
となるので、zは純虚数である。
よって、条件を満たす点zの全体は虚軸である。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z+1}{z}\ \ \Leftrightarrow\ \ wz=z+1\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\frac{1}{w-1}\ \ \ \left(w\ne 1\right)\end{align*}}$
zは純虚数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z}=-z&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overline{\left(\frac{1}{w-1}\right)}=-\frac{1}{w-1}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{\overline{w}-1}=-\frac{1}{w-1}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf w-1=-\overline{w}+1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{w+\overline{w}}{2}=1\end{align*}}$
これは、wの実部が1であることを表すので、wは下図の直線上を動く。
（ただし、点1は除く）
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z+1}{z-a}\ \ \Leftrightarrow\ \ wz-aw=z+1\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\frac{aw+1}{w-1}\ \ \ \left(w\ne 1\right)\end{align*}}$
zは純虚数、aは正の実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z}=-z&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overline{\left(\frac{aw+1}{w-1}\right)}=-\frac{aw+1}{w-1}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{a\overline{w}+1}{\overline{w}-1}=-\frac{aw+1}{w-1}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(a\overline{w}+1\right)\left(w-1\right)=-\left(aw+1\right)\left(\overline{w}-1\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf aw\overline{w}+w-a\overline{w}-1=-aw\overline{w}+aw-\overline{w}+1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf w\overline{w}-\frac{a-1}{2a}w-\frac{a-1}{2a}\overline{w}-\frac{1}{a}=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(w-\frac{a-1}{2a}\right)\left(\overline{w}-\frac{a-1}{2a}\right)=\frac{1}{a}+\left(\frac{a-1}{2a}\right)^2=\frac{a^2+2a+1}{4a^2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|w-\frac{a-1}{2a}\right|^2=\left(\frac{a+1}{2a}\right)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|w-\frac{a-1}{2a}\right|=\frac{a+1}{2a}\end{align*}}$
これより、点wは、中心が点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{a-1}{2a}}\end{align*}}$ で、半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{a+1}{2a}}\end{align*}}$ の円周上を動く。
（ただし、点1は除く）
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