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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016筑波大 数学1



第1問

  kを実数とする。xy平面の曲線C1:y=x2とC2: y=-x2+2kx+1-k2
  異なる共有点P、Qを持つとする。ただし点P、Qのx座標は正であると
  する。また、原点をOとする。

 (1) kのとりうる値の範囲を求めよ。

 (2) kが(1)の範囲を動くとき、△OPQの重心Gの軌跡を求めよ。

 (3) △OPQの面積をSとするとき、Sをkを用いて表せ。

 (4) kが(1)の範囲を動くとする。△OPQの面積が最大となるようなkの値と、
    そのときの重心Gの座標を求めよ。





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2016筑波大 数学2



第2問

  xy平面の直線$\small\sf{\sf y=(\tan 2\theta)x}$ をLとする。ただし$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ とする。図で示す
  ように、円C1、C2を以下の(ⅰ)~(ⅳ)で定める。
   (ⅰ)円C1は直線Lおよびx軸の正の部分と接する。
   (ⅱ)円C1の中心は第1象限にあり、原点Oから中心までの距離d1はsin2$\small\sf{\theta}$
     である。
   (ⅲ)円C2は直線L、x軸の正の部分、および円C1と接する。
   (ⅳ)円C2の中心は第1象限にあり、原点Oから中心までの距離d2はd1>d2
     を満たす。
  円C1と円C2の共通接線のうち、x軸、直線Lと異なる直線をmとし、直線mと
  直線L、x軸との交点をそれぞれP、Qとする。

 (1) 円C1、C2の半径を$\small\sf{\sin\theta\ ,\ \cos\theta}$ を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、線分PQの長さの最大値を求めよ。

 (3) (2)の最大値を与える$\small\sf{\theta}$ について直線mの方程式を求めよ。
         

       図02


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2016筑波大 数学3



第3問

  四面体OABCにおいて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおく。このとき、等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=1\end{align*}}$
  が成り立つとする。tは実数の定数で、0<t<1を満たすとする。線分OAを
  t:1-tに内分する点をPとし、線分BCをt:1-tに内分する点をQとする。
  また、線分PQの中点をMとする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a},\overrightarrow{\sf b},\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とtを用いて表せ。

 (2) 線分OMと線分BMの長さが等しいとき、線分OBの長さを求めよ。

 (3) 4点O、A、B、Cが点Mを中心とする同一球面上にあるとする。このとき、
    △OABと△OCBは合同であることを示せ。




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2016筑波大 数学4



第4問

  関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=2\sqrt{x}\ e^{-x}\ \ \left(x\geqq 0\right)\end{align*}}$
  について次の問いに答えよ。

 (1) f’(a)=0、f”(b)=0を満たすa、bを求め、y=f(x)のグラフの概形を描け。
    ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x}\ e^{-x}=0\end{align*}}$ であることは証明なしで用いてよい。

 (2) k≧0のとき $\small\sf{\begin{align*} \sf V(k)=\int_0^kxe^{-2x}dx\end{align*}}$ をkを用いて表せ。

 (3) (1)で求めたa、bに対して曲線y=f(x)とx軸および2直線x=a、x=bで囲ま
    れた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。




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2016筑波大 数学5



第5問

  △PQRにおいて、∠RPQ=$\small\sf{\theta}$ 、∠PQR=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。点Pn(n=1,2,3,・・・)
  を次で定める。
      P1=P、 P2=Q、 PnPn+2=PnPn+1
  ただし、点Pn+2は線分PnR上にあるものとする。実数$\small\sf{\theta}$ n(n=1,2,3,・・・)
  を
      $\small\sf{\theta}$ n=∠Pn+1PnPn (0<$\small\sf{\theta}$ n<$\small\sf{\pi}$ )
  で定める。

 (1) $\small\sf{\theta}$ 2、$\small\sf{\theta}$ 3を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \theta _n+\frac{\theta _n}{2}\end{align*}}$ (n=1,2,3,・・・)はnによらない定数であることを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\theta_n\end{align*}}$ を求めよ。

        img23.jpg



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2016筑波大 数学6



第6問

  複素数平面上を動く点zを考える。次の問いに答えよ。

 (1) 等式|z-1|=|z+1|を満たす点zの全体は虚軸であることを示せ。

 (2) 点zが原点を除いた虚軸上を動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z+1}{z}\end{align*}}$ が描く図形は
    直線から1点を除いたものとなる。この図形を描け。

 (2) aを正の実数とする。点zが虚軸上を動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z+1}{z-a}\end{align*}}$ が描く
    図形は円から1点を除いたものとなる。この円の中心と半径を
    求めよ。




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